圆锥曲线与方程单元知识
总结
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、公式及规律一、圆锥曲线1椭圆定义定义1:平面内一个动点到两个定点Fi、F2的距离之和等于常数(大于|FiF2|),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).定义2:点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=c(0vev1)时，这个点的轨迹是椭圆.a图形和标准方程22图8—1的标准方程为：X2+每=1(a>b>0)ab22图8—2的标准方程为：Xy+£=1(a>b>0)ba几何性质条件{M|MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}|MF1||MF2|{M|点M到J的距离=点M到l2的距离=e，0VeV1}标准方程22xy—+^=1(a>b>0)ab22务+%=1(a>b>0)ba顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0，—b),By(0,b)A1(0,—a),a2(0，a)B1(—b,0),By(b,0)轴对称轴：x轴，y轴.长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦占八'、八、、F1(—c,0),Fy(c,0)F1(0，—c),Fy(0,c)焦距|F1F2|=2c(c>0),c2=a2—b2离心率e=C(0vev1)a准线方程22aaI1:x=；I2:x=cc22aaI1:y=;I2:y=cc焦点半径|MF1|=a+ex0,|MF2|=a—ex0|MF1|=a+ey°,|MF2l=a—ey°点和椭圆的关系>外22工+卑=1二(xo,y°)在椭圆上abv内切线方程(k为切线斜率)2,2y=kx士Qak+b(k为切线斜率)22y=kx±Qbk+axox,yoy=12十.21ab(x0,y0)为切点x0x,Y0Y=1.2十21ba(x0,y0)为切点切点弦方程(x0,y0)在椭圆外X0X丄y°y2+u2=1ab(x0,y0)在椭圆外X0X丄yoyu2+2=1ba弦长公式lx2x1N1+k或“1『2屮+k2其中(x1,y1),(x2,y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率2•双曲线⑴定义定义1:平面内与两个定点Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|FiF2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)•定义2:动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e>1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)•(2)图形和标准方程y上FiLxF：iEi7U3-3图8—3的标准方程为:2X2a2—yy=1(a>0,b>0)b图8—4的标准方程为:22yx2—2=1(a>0,b>0)ab(3)几何性质条件P={M|MF1|—|MF2|=2a,a>0,2av|F1F2|}.crhfll|MF1||MF2|>diP{M|点M到l1的距离点M到l2的距离e，e1}标准方程22X2—y2=1(a>0,b>0)ab22y2—x2=1(a>0,b>0)ab顶点A1(—a,0),A2(a，0)A1(0，—a),A2(0，a)轴对称轴：x轴，y轴，实轴长|A1A2|=2a，虚轴长|B1B2|=2b焦占八'、八\、F1(—c,0),F2(c,0)F1(0，—c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c(c>0),c2=a2+b2离心率e=c(e>1)a准线方程22aal1:x；l2:x=—cc22aa11:y;12:y=—cc渐近线方程b22y=±-x(或笃—笃=0)aab22y=±ux(或y22=0)bab共渐近线的双曲线系方程22筈—J=k(k工0)a2b222%2=k(k工0)a2b2焦点半径|MF11=ex。+a,lMF21=丄ex0—a,_2|MF〔|=ey°+a,|MF2|=巧0—a2切线方程-y=kx±ka_k—b(k为切线斜率)k>—或kv——x^xay^yay一kx±\bka(k为切线斜率)k>-或kv——aycybx“xb八0八T07a2.2=1ab((xo,y°)为切点y0y八0八—a2.2=1ab((x°,y°)为切点xy=a的切线方程：=a((x0,y0)为切点2切点弦方程(x0,y0)在双曲线外X°xy°y—2.21ab(x0,y0)在双曲线外y0yx°x—2.21ab弦长公式|X2_x11+k2或|y1—y21(1+右其中(x1,y1),(x2,y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率3.抛物线⑴定义定点F叫做抛物线平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,的焦点，定直线I叫做抛物线的准线.(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下
表
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：抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离.p的几何意义：焦点F到准线I的距离.弦长公式：设直线为y=kx+b抛物线为y2=2px,|AB|=•.1k21ix2-xii=J1+谆“2-yii焦点弦长公式：|AB|=p+Xi+X24•圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当Ovev1时，是椭圆，当e>1时，是双曲线，当e=1时，是抛物线.二、利用平移化简二元二次方程1.定义缺xy项的二元二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程.A=C是方程※为圆的方程的必要条件.A与C同号是方程※为椭圆的方程的必要条件.A与C异号是方程※为双曲线的方程的必要条件.A与C中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件.2.对于缺xy项的二元二次方程：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法.椭圆：屮+空/=惚吋+叶=1abba中心O'(h,k)双曲线：2222(x—h)(y—k)，或(y—k)(x—h),2,21或2,2—1abab中心O'(h,k)抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为(y—k)2=2p(x—h)或(y—k)2=—2p(x—h),顶点O'(h,k).对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(x—h)2=2p(y—k)或(x—h)2=—2p(y—k)顶点O'(h,k).以上方程对应的曲线按向量a=(—h,—k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式.
浙公网安备 33021202002483