二项式定理知识点及典例跟踪练习（含答案）[重点，难点解析]1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律二项式定理:,叫二项式系数（）通项用
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示，为展开式的第项，且注意项的系数和二项式系数的区别0≤r≤n.Tr+1r+1,.2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式.①对称性：②增减性和最大值:先增后减.n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为；n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为.③[例题分析]:一、与通项有关的一些问题例1．在的展开式中，指出1）第4项的二项式系数2）第4项的系数3）求常数项解:展开式的通项为展开式中的第r+1项.1），二项式系数为；2）由1）知项的系数为；3）令6-3r=0,∴r=2,∴常数项为.例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析:通项为,1∵前三项的系数为，且成等差，∴即解得:n=8.从而，要使为有理项，则能被整除Tr+1r4.例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.解:1）通项，令6-2r=0,r=3,∴常数项为.2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5∴展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到.即为，因而其系数为240.例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为.例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为2（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式=,
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x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为.二、有关二项式系数的问题.例6．(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.分析:二项式系数最大的为第5项，解得:x=1或.例7．的展开式中系数最大的项为第______项.分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.设第r+1项的系数最大，则解得:，∴r=7,因而第8项系数最大.三、赋值法:例8．已知）求）求1a0,2a1+a2+a3+a4+a5）求22）求3(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)4a1+a3+a5）5|a0|+|a1|+……+|a5|分析:）可以把5用二项式定理展开求解从另一个角度看，为时右式的结果，因而令1(1-2x).a0x=0x=0,∴5∴(1-0)=a0,a0=1.2）令x=1,则(1-2)=a+a+a+a+a+a又a=1,∴a+a+a+a+a=-2.5012345012345）令，得令得3x=1a0+a1+a2+……+a5=-1(*)x=-1,35=a0-a1+a2-a3+a4-a5(**)因而22,(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)3）联立两方程，解得4(*),(**)a1+a3+a5=-122.5）因而即为5的展开式的所有系数和，|a0|+|a1|+……+|a5|(1+2x)∴55|a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)=3=243.小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解；②赋值法也需合情合理的转化.例．已知其中9,b0+b1+b2+……+bn=62,则n=_________.分析:令x=1，则,由已知，2n+1-2=62,∴2n+1=64,∴n=5.例10．求的展开式中有理项系数的和.分析:研究其通项.显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和.设n2+……+an令，即n令，(2+t)=a0+a1t+a2tntt=13=a0+a1+a2+……+ant=-1即n1=a0-a1+a2-……+(-1)an上两式相加，解得奇数项系数和.四、逆用公式例11．求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1解:例12．求值:原式=4五、应用问题例13．求证:32n+2-8n-9能被64整除.证明:能被64整除.例14．9192除以100的余数为________.分析:9192=(90+1)92∴被9192100除的余数为81.小结:若将9192整理成(100-9)92随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大.例15．求0.9983的近似值（精确到0.001)解:选择题1．(a+b+i)10的展开式中含ab的项的系数是（）A、B、C、D、2．在（1-x）(1+x)的展开式中，x的系数是（）A、-297B、-252C、297D、2073．如果展开式(1+x)2·(1-x+x2)k中，x3的系数是0，那么自然数k的值是（）A、2B、3C、4D、554．若展开式中第6项系数最大，则不含x的项是（）A、210B、120C、461D、4165．在的展开式中，系数是有理数的项共有（）项A、4B、5C、6D、76．f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)10的展开式中各项系数之和等于（）A、211-2B、211-1C、211D、211+1答案与解析答案：1.C2.D3.C4.A5.A6.A解析：1．答案：C.解法：，s∴含ab的项为r=8的项，即第9项，系数为.2．答案D.3．答案：C.解法：∵(1+x)2·(1-x+x2)k=(1+2x+x2)·[1+(x2-x)]k,其中x2系数必与[1+(x2-x)]k中x，x,x012系数有关.又(1-x+x2)k的通项是：故x的系数为，x'的系数为，x的系数为，02即有k2-3k-4=0∴k=4,k=-1(舍).124．答案：A.解法：n=10,x3(10-x)·x-2r=1,r=6∴为不含x的项.5．答案：A解法：∵，∴为有理数，即为整数，则r为2,8,14,20,故有4项.6．答案：A.解法：取x=1，6789
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