版中考数学压轴题解题策略等腰三角形存在性问题

《挑战中考数学压轴题》上海马学斌华东师大第一版社中考数学压轴题解题策略（1）等腰三角形的存在性问题解题策略《挑战中考数学压轴题》的作者上海马学斌专题攻略假如△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种状况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直均分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：排列三边长，分类列方程，解方程并检验．例题 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 例?如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，假如△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1在【分析】分三种状况谈论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点DOP的垂直均分线上，所以点P的坐标为(6,0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5,0)（如图1-3）．③当PO＝PD时，画OD的垂直均分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．在Rt△OPE中，cosOE3525DOP，OE，所以OP．此时点P的坐标为(25OP526,0)．6图1-2图1-3图1-4上边是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，此中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P的坐标为(x,0)，此中x＞0，而后排列△DOP的三边长（的平方）．《挑战中考数学压轴题》上海马学斌华东师大第一版社DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．当x＝0时既不吻合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）．③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有独一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直均分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种状况的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示图，但是计算量比较大，并且要进行检验．图1-5例?如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C挪动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中此中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点挪动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．图2-1【分析】在P、Q两点挪动的过程中，△PQC的6个元素（3个角和3条边）中，独一不变的就是∠PCQ的大小，夹∠PCQ的两条边CQ＝t，CP＝10－2t.所以△PQC吻合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C就可以了，在∠C的边上取点P或Q画圆．图2-2图2-3图2-4①如图2-2，当CP＝CQ时，t＝10－2t，解得t10(秒).31PC5t.②如图2-2，当QP＝QC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM24CM5t25(秒).在Rt△QMC中，cosQCMCQt，解得t59③如图2-4，当PQ＝PC时，过点P作PN⊥BC于N，则CN.《挑战中考数学压轴题》上海马学斌华东师大第一版社4CN1t802(秒).在Rt△PNC中，cosPCNCP102t，解得t521这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无穷”的∠PCQ，使得画图简洁，计算精练．例?如图3-1，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，假如△APQ是等腰三角形，求点的坐标．图3-1【分析】我们先用代数法解这道题．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．如图3-2，因为∠QPA＝∠ABO，所以OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．所以AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①当AP＝AQ时，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得m0或m4．所以吻合条件的点P3不存在．②当PA＝PQ时，解方程(2m＋1)2＝5m2，得m25．所以P(425,0)．③当QA＝QP时，解方程1．所以P(1,0)．m2＋1＝5m2，得m2图3-2图3-3图3-4我们再用几何法考据代数法，并进行比较．如图3-3，在直线PQ平移的过程中，依据“两直线平行，同位角相等”，可知∠QPO的大小是不变的，所以△PQA也吻合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠P，点P在点A的右边，临时不画y轴（如图3-4）．①假如AP＝AQ，以A为圆心、AP为半径画圆，获取点Q（如图3-5）．因为点Q在y轴上，于是“奇观”出现了，点A(－1,0)怎么可以在y轴的右边呢？《挑战中考数学压轴题》上海马学斌华东师大第一版社图3-5图3-6②当PA＝PQ时，以P为圆心、PA为半径画圆，获取点Q，再过点Q画y轴．此时由2m15m，解得m25，所以P(425,0)（如图3-6）．请问代数法解得的点P(425,0)在哪里？看看图3-7就理解了．③当QA＝QP时，点Q在AP的垂直均分线上，因为A(－1,0)，所以P(1,0)（如图3-8）．我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，并且计算比较简略．例?图如图4-1，已知正方形3-7图OABC的边长为2，极点A、C3-8分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．当△APD是等腰三角形时，求m的值．图4-1【分析】点P(0,m)在运动的过程中，△APD的三个角都在变化，所以不吻合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PC//DB，M是BC的中点，所以BD＝CP＝2－m．所以D(2,4－m)．于是我们可以排列出△APD的三边长（的平方）：AD2(4m)2，AP2m24，PD222(42m)2．①当AP＝AD时，(4m)2m24．解得m3（如图4-2）．②当PA＝PD时，m2222m)2．24(4解得m4（如图4-3）或m4（不合题意，舍去）．3③当DA＝DP时，(4m)222(42m)2．解得m2（如图4-4）或m2（不合题意，舍去）．3综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为3，4或2．233《挑战中考数学压轴题》上海马学斌华东师大第一版社图4-2图4-3图4-4其实①、②两种状况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图4-2，当AP＝AD时，AM垂直均分PD，那么△PCM∽△MBA．所以PCMB1．所以PC1，m3．CMBA222②如图4-3，当PA＝PD时，P在AD的垂直均分线上．所以DA＝2PO．所以4m2m．解得m4．3例?如图5-1，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，假如△ADE为等腰三角形，求x的值．图5-1【分析】在△ADE中，∠ADE＝∠B大小确立，但是夹∠ADE的两条边DA、DE用含有x的式子表示太麻烦了．本题的已知条件∠ADE＝∠B＝∠C特别典型，因为∠ADC＝∠ADE＋∠1，∠ADC＝∠B＋∠2，∠ADE＝∠B，所以∠1＝∠2．于是获取典型结论△DCE∽△ABD．①如图5-2，当DA＝DE时，△DCE≌△ABD．所以DC＝AB，8－x＝6．解得x＝2．②如图5-3，假如AD＝AE，那么∠AED＝∠ADE＝∠C．因为∠AED是△DCE的一个外角，所以∠AED＞∠C．假如∠ADE＝∠C，那么E与C重合，此时D与B重合，x＝0．③如图5-4，当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝∠B＝∠C，所以△DAC∽△ABC．所以8x6．解得x7．682图5-2图5-3图5-4更多、更详细内容，请查察华东师大第一版社《挑战中考数学压轴题》。