向量知识点归纳与常见题型总结新课标人教版

向量知识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员2021年11月•、向量知识点归纳。与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量〔称标量〕，而向量既有大小又有方向；数量可以比拟大小，而向量不能比拟大小，只有它的模才能比拟大小。记号“a>b〞错了，而|a|>|b|才有意义。⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关。由于一切向量有其共性〔大小和方向〕，故我们只研究与起点无关的向量〔既自由向量〕。当遇到与起点有关向量时，可平移向量。⑶平行向量〔既共线向量〕不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件。⑷单位向量是模为1的向量，其坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为〔x，j〕，其中x、y满足x2y2=1〔可用〔cos，sin〕〔0w&2氏〕表示〕。特别：AB表示与AB同向的单位向量。|AB|uuuuuur例如：向量〔-ABL-A『〕〔0〕所在直线过ABC的内心〔是BAC的角平分线所在IAB||AC|uuruuur〔铅斑r〕[0，〕。|AB||AC直线〕；uuuuurr例1、。是平面上一个定点，A日C不共线，P满足OPOA那么点P的轨迹一定通过三角形的内心。AC1——=-，那么△ABE〔〕|AC|D。等边三角形〔06陕西〕一一ABaC—aB〔变式〕非零向量abWaO足〔-+〕七〔=0且-^-A。三边均不相等的三角形B。直角三角形C。等腰非等边三角形⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数。⑹有向线段是向量的一种表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，并不是说向量就是有向线段^—F-9-〔7〕相反向量〔长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。〕2。与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量。〔三角形法那么和平行四边形法那么〕①当两个向量a和b不共线时，ab的方向与a、b都不相同，且|ab|v|a|+|b|；②当两个向量5和b共线且同向时，ab、1、b的方向都相同，且|gb||a||b|；TOC\o"1-5"\h\z—b-f—rf-►—b--fc--t—r—t—ir③当向量a和b反向时，假设|a|>|b|，ab与a方向相同，且|ab|=|a|-|b|；—►—w-Ir-r—fc--fc--fc--l!—fc-假设|a|v|b|时，ab与b方向相同，且|a+b|=|b|-|a|。⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量。向量减法的实质是加法的逆运算。三角形法那么适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法那么适用于共起点的向量求和。ABBCAC；ABACCB例2：P是三角形ABC内任一点，假设CBPAPB，R，那么P一定在()AABC内部B、AC边所在的直线上C、AB边上D、BC边上2例3、假设ABBCAB0，那么^ABC是：A。RtAB。锐角△C。钝角△D。等腰RtA特别的：abab|a|b，例4、向量a(cos，sin)，b(J3，1)，求12ab|的最大值。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：通过向量的坐标运算，转化为函数(这里是三角)的最值问题，是通法。解：原式=|(2cos3，2sin二188sin(—)。当且仅当，31)|(2cos3)2(2sin1)25评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式简洁明快。原式|2a||b|=2|a||b|量同向)。⑶围成一周(首尾相接)的向量(有向线段表示)a||a||b|||ab||a||b|"就显得2124，但要注意等号成立的条件(向的和为零向量2k-y(kZ)时，|2ab|有最大值4。如，ABBCCA0，(在4ABC中)ABBCCDDA0。(DABCD^)⑷判定两向量共线的考前须知：共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bw0)，a//b存在实数入使a=Xb。如果两个非零向量a，b，使a=入b(入eR)，那么a//b；f-+—F-—+■反之，如a//b，且bw0，那么a=入b。这里在“反之〞中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与入b的方向规定为平行⑸数量积的8个重要性质①两向量的夹角为0WW兀。由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数。②设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，那么eaae|a|cos。(|e|1)③abab0(。'=90°，cos0)④在实数运算中ab=0a=0或b=0。而在向量运算中ab=0a=0或b=0是错误的，—&-*-k-¥■—*—►故a0或b0是ab=0的充分而不必要条件。T，——►1—«»■—⑤当a与b同向时ab=|a||b|(二0，cos=1);当a与b反向时，ab=-|a||b|(二兀，cos=-1)，即a//b的另一个充要条件是rrrr|ab||a||b|。当为锐角时，a？b>0，且a、b不同向，ab0是为锐角的必要rrrr非充分条件；当为钝角时，a？b<0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件；例5。如a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，那么的取值范围是41(答：—或0且一)；33例6、i，j为相互垂直的单位向量，ai2j，bi｝。且a与b的夹角为锐角，求实数的取值范围。分析：由数量积的定义易得“a，bab0"，但要注意问题的等价性。1解：由a与b的夹角为锐角，得ab120。有_。2t1而当atb(t0)，即两向量同向共线时，有得2。此时其夹角不为锐角。t2一1故，22，。2评析：特别提醒的是：a，b是锐角与ab0不等价；同样a，b是钝角与ab。不等价。极易疏忽特例“共线〞。特殊情况有aaa=|a|。或|a|=aa=。a2=x2如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么|a|=。(xX2)2(y1y2)2⑥|ab||a||b|。(因cos1)⑦数量积不适合乘法结合律。如(ab)ca(bc)。(因为(ab)c与c共线，而a(bc)与a共线)⑧数量积的消去律不成立。假设a、b、c是非零向量且acbc并不能得到ab这是因为向量不能作除数，即^是无意义的。c(6)向量b在a方向上的投影|bIcos=2e2〔1，2唯一"〕(7)&和e2是平面一组基底，那么该平面任一向量a1e1特别：。op=1OA2OB那么121是三点p、a、b共线的充要条件。注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线1uuruuruur例7、等差数列｛an｝的前n项和为Sn，假设-BO=a1OA+a2000c，且A、B、C三点共线(该直线不过点A。50B。51C。100例8、平面直角坐标系中，。，那么S200=()D。101O为坐标原点，两点A(3，1)，B(1，3)，假设点C满足OC1OA2OB，其中1，2R且121，那么点C的轨迹是(直线AB)例9、点A，，B，C的坐标分别是〔3，1〕，〔5，2〕，〔2t，2〕。假设存在实数使OCOA(1)OB，那么t的值是：A。0B。1定C。01D。不确例10以下条件中，能确定三点A，B，P不共线的是:A。MPC。MPsin220MAsin220MAcos220cos270MBMB此题应知：1〞。“A，B，P共线，B。等价于存在MPMPsec220MAcsc231MAR，使MPtan220cot231MAMBMBMB且(8)①在ABC中，uuurduuuuuuPG3(PAPBuurPC)ABC的重心，特别地uuuuuuPAPBUULTPCP为ABC的重心；AB1BC2AD那么AD过三角形的重心;例11、设平面向量a1、a2、a3的和a1且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中a2A。b1b2C。b，uuu②PAb2uuuPBb3b3uuuPBa30。如果向量匕、b2、b3，满足b21，2，3，那么〔D〕〔06河南高考〕b1b2b30③向量〔TuuuAD0uuirPCuiuruuinPCDuuuPAP为。bib2b3ABC的垂心；|AB|3)(|AC|0〕所在直线过ABC的内心〔BAC的角分线所在直线〕；uuuruuruuuruuuuuuuuur④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0⑤S」AOk2|xAyBxByA;ABC的内心;(选)uuruuur例12、假设。是VABC所在平面内一点，且满足OBOC的形状为〔答：直角三角形〕例13、假设D为uuuuuuuurABC的边uuuBC的PABPCP0，设片u？|PD|例14、假设点O是^ABC的外〔9〕、P分PF2的比为，那么PP=加=OP10P2；假设入=1那么。P1XP2(X2，y2)那么yX11v1X2uurOA；中点y2uuuuuuruuuOBOC2OA，那么VABC中点，ABC所在平面内有一点P，满足的值为—〔答：2〕；uuruuurr，OBCO0，那么内角C为(答:120°);PF2，>0内分；<0且w-1外分。1=2(OP1+OP2)；设P(X，y)，P1(X1，y1)，X1X22重心%y2HYPERLINK\l"bookmark33"\o"CurrentDocument"2。X1X2X33y〔y2y33说明：特别注意各点的顺序，子分母的位置。分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和分例15、A(4，-3)，B(-2，6)，点P在直线AB上，且|AB|3|AP|，那么P点的坐标是()(2，0)，(6，-6)uuirxxh(10)、点P(xy)按a(h，k)平移得P(x，y)，那么PP=a或函数yf(x)按yyka(h，k)平移得函数方程为：ykf(xh)说明：(1)向量按向量平移，前后不变；(2)曲线按向量平移，分两步：i确定平移方向----与坐标轴的方向一致；ii按左加右减，上加下减(上减下加)2r例16、把函数y2x2的图象按向量a(2，2)平移后得到的解析式是。2y2x8x6例17、函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，那么a=(答：(—，1))4结论：A(x1，yJB(x2，y2)，l：AxByC0，过A，B的直线与l交于点P，那么P分AB所成的比是Ax1By〔C〜什一、『…一1——-——，假设用此结论，以下两题将变得很简单。Ax2By2C例18、有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是(1，1)，(2，2)，假设直线l的方程是xmym0，直线l与PQ的延长线相交，那么m的取值范围是解：由解得3Ax1By1C/日得Ax2By2C2m-L^m，因为直线l与PQ的延长线相交，故23m1，3变式：点A(2，-1)，B(5，3)。假设直线l:kx提不':由Ax1By1Ax？By？C(11)对空间任一点。和不共线的三点y12k25k20与线段AB相交，求k的范围。0及直线过端点得1那么四点P、A、B、C是共面A、1。(12)空间两个向量的夹角公式cos=一■，a2B、C，满足注意：(1)a1bluuuuuuOPxOA起点相同a2b2a3b3a2a3b2uurk25uuuryOBzOC，(2)系数和是1。：(a=(a11a2，a3)，b=(Dbh))。(13)空间两点间的距离公式uurruuruurdA，B=|AB|VABAB假设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2Z)，那么(14)点Q到直线l距离humuuu。(x2x1)2(y2y1)2(Z2z1)2。—7(|a||b|)2~(ab)2(点P在直线l上，直线l的方向向量|a|a=PA，向量b=PQ)。(15)正弦定理sinAsinBsinC2R(R是三角形的外接圆半径)说明：正弦定理可直接进行边角转换;例15:在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC―b—，求B的大小。2ac提示:cosBcosCb2acsinBB22sinAsinC3例16:在ABC中，假设sinC2cosAsinB，那么此三角形必是三角形(等腰)提示:c2cosAbc2bc2，2ab(16)a2b余弦定理22'c2bccosA;b2(17)面积定理①S1-aha22c1bh222cacosB;c1，一，-chc(ha、hb、22，2abhc分别表示2abcosC。a、b、c边上的高)。③Soab1，•八一absinC21。。„1。--bcsinA-casinB。1—uuu——uuu--——uuuuuuc1uuuuuu1，(|OA||OB|)2(OAOB)2=，OAgDBtan22uuuuuu为OA，OB的夹角)(18)三角形内角和定理在△ABC中，有ABC/ac、CAB(AB)2C22222(AB)。说明：(1)三角形具有丰富的内涵(隐含条件)ivviiviii两边之和大于第三边；ii：面积公式；v：内角和是tanAtanBtanC正弦、余弦函数的单调性;斜边大于直角边；话：正(余)弦定理;1800;vi：大角对大边tanAtanBtanC锐角三角形中有：AB—2sinAsin(-B)2cosB钝角三角形中有(C是钝角)：sinAsin(—2B)cosB例17:定义在R上的偶函数f(x1)角形的两个角，那么()A、f(sinCf(sin)f(sin)D(19)平面两点间的距离公式f(x)，且在[f(cos)3，f(cos)f(cos2］上是减函数，B、f(sin))，是锐角f(cos)uuuuumuuudA，B=|AB|VABAB(20)向量的平行与垂直allbb=入aab(a0)x〔y2a-b=0(21)线段的定比分公式J(x2Xi)2(y2y。2(A(x1，y1)，b(X2，y2))。设a=(x1，y[)，b=(X2，y2)，且b0，那么X2y10。X1X2y1y20。设R(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)是线段PP2的分点，是实uur数，且PPXiX2X1y*__汉1uuLrPP2，那么uurOPuuuruuurOFOP21uuuuuuruuiriOPtOPi(1t)OP，(t——1(22)平面向量的综合问题向量的“双重身份〞注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使得它与“函数，三角，数列，不等式，导数〞有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。形的特性又使它必然与“平面几何，解析几何，立体几何〞紧密相关，以表达它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译〞能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言〞或者可操作的“运算形式〞一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题那么从模的运算性质开始(一般需先平方)，而共线，共点问题多由数乘向量处理。例19。设平面向量311\3(——，-)，b(-，——)，假设存在不同时为。的两个实数s，t及实数22222k0，使xa(tk)b，ysatb且xy。(1)求函数关系式sf(t);(2)假设函数sf(t)在［1，)是单调函数，求k的取值范围。分析：由数量积的坐标运算，不难得出sf(t)的解析式，含参数必引起讨论，运用“整体思想〞可简化计算；f(t)在［1，)是单调函数，等价于"f'(t)0或f'(t)0在［1，)上恒成立〞。TOC\o"1-5"\h\z一-311。3、一斛：(1)a(——，-)，b(-，——)，|a||b|1，且ab0，又xy2222—*_2-3xy0即［a(tk)b］(satb)0由此得：stkt2⑵f(t)3tk，又f(t)是单调函数，假设f(t)是增函数，那么f'(t)0，恒有3t2kMt［1，)，0k3假设f(t)是减函数，那么f'(t)0，恒有3t2k，而t［1，)，这样的k不存在综上0k3。评析：此题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 〞的高考命题思想相吻合。例20、在ABC^，AB_AC-，BA_BC及，又E点在BC边上，且满足3BE2EC，|AB|2|BA|2以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点。求此双曲线的方程。分析：遇到的首要问题即“建系〞和“向量语言〞的解读。深刻理解向量运算的几何意义，就显得万分重要了。解：以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，•，A(-1，0)，B(1，0)作CD!AB于D，由ABAC|AC|cosA=1，即|AD|=1，IAB|同理又「巴生|BA||BD|=3，2设双曲线的方程为2X-2a2匕b2(a>0，b>0)，C(-1-，h)，E(x1，y1)2X1y1252h5又••・E、C两点在双曲线上，14a24h2bT4h，解答:25a225b21，ab2a2=l，b2=。6，•••双曲线的方程为:777x2-7y2=16，评析：解析几何与向量的综合，主要表现为用向量的语言来表述题意〔如共线，垂直常表现为向量等式，有时也涉及向量的坐标形式〕，其实其本质内容仍是本章节的知识的整合。此题中关键在理解两个向量等式〔也即“向量的投影〞〕的几何意义，我们只要具备数学语言的“翻译〞能力和简单的向量坐标运算的根底知识就可以了。例21。设x，yR，且xy1，求证：〔1-〕〔11〕xy分析：观察不等式的结构特征，可以联想向量数量积的性质“解决，不失为一种别致的想法。ab|a||b|"，构造向量证：设a〔1，十〕_1、——，b(1，-i=)，那么ab1，y，而|a||b|。，-(11)(11)。由ab|a||b|得，(ab)2|a|2|b|2，(11)(1-)(1xy2(1-xy—)29。y评析：根据题目所含代数式的结构特征，合理构造向量的坐标，运用向量数量积的性质"ab|a||b|"可以解决很多代数问题。同样将几何图形中的线段“向量化〞也可研究几何图形的性质。这就是新颖别致的解题方法--向量法。“构造法〞是一种创造性思维，表达了更高层次的思维价值。该例子在于唤起大家的“向量应用意识〞，仔细体会，别有情趣。