1.3.2.2一、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则( )A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9)C．f(7)>f(9)D．f(7)>f(10)[答案] D[解析] ∵y＝f(x＋8)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝8对称，又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(x)在(－∞，8)上为增函数，∴f(10)＝f(6)
0时，f(x)＝2x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．2x－1B．－2x＋1C．2x＋1D．－2x－1[答案] D[解析] x<0时，－x>0，∴f(－x)＝2·(－x)－1，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－2x－1.4．偶函数f(x)＝ax2－2bx＋1在(－∞，0]上递增，比较f(a－2)与f(b＋1)的大小关系( )A．f(a－2)f(b＋1)D．f(a－2)与f(b＋1)大小关系不确定[答案] A[解析] 由于f(x)为偶函数，∴b＝0，f(x)＝ax2－1，又在(－∞，0]上递增，∴a<0，因此，a－2<－1<0<1＝b＋1，∴f(a－2)0的解集为( )A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)[答案] C[解析] 如图，∵x<0时，f(x)＝x＋2，又f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可画出在(0，＋∞)上的图象，∴f(x)>0时，－22.6．对于函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－1)2 (x≥0),(x＋1)2(x<0)))，下列结论中正确的是( )A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数[答案] D[解析] 画出函数图象如图，可见此函数为偶函数，在(－∞，－1]上为减函数．7．(曲师大附中2009～2010高一上期末)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )A．(－∞，3)∪(3，＋∞)B．(－∞，3)C．(3，＋∞)D．(－3,3)[答案] D[解析] ∵f(x)为偶函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故－30，故03时，f(x)>0，故使f(x)<0成立的x∈(－3,3)．[点评] 此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决．8．(09·浙江)若函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a∈R)，则下列结论正确的是( )A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数[答案] C[解析] 显见当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选C.[点评] 本题是找正确的选项，应从最简单的入手，故应从存在性选项考察．若详加讨论本题将变得复杂．对于选项D，由f(－x)＝－f(x)得x＝0，故不存在实数a，使f(x)为奇函数；对于选项B，令a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调增，故B错；对于选项A，若结论成立，则对∀x1，x2∈R，x1eq\f(a,x1x2)恒成立，这是不可能的．9．(2010·安徽理，6)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a<0，则只能是A或B选项，A中－eq\f(b,2a)<0，∴b<0，从而c>0与A图不符；B中－eq\f(b,2a)>0，∴b>0，∴c<0与B图也不符；若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，则当b>0时，有c>0与C、D不符．当b<0时，有c<0，此时－eq\f(b,2a)>0，且f(0)＝c<0，故选D.10．(2010·广东文，10)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算、⊗如下：那么d⊗(ac)＝( )A．aB．bC．cD．d[答案] A[解析] 要迅速而准确地理解新规则，并能立即投入运用，ac＝c，d⊗c＝a，故选A.二、填空题11．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，它的对称轴为直线x＝2，则这个二次函数的解析式为________．[答案] y＝x2－4x－5[解析] 设解析式为y＝a(x－2)2＋k，把(0，－5)和(5,0)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5＝4a＋k,0＝9a＋k))，∴a＝1，k＝－9，∴y＝(x－2)2－9，即y＝x2－4x－5.12．函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．[答案] eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))[解析] 解法1：f(x)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)可视作反比例函数y＝eq\f(1－2a,x)经平移得到的．由条件知1－2a<0，∴a>eq\f(1,2).解法2：∵f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，故对于任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x10，x2＋2>0，若要f(x1)－f(x2)<0，则必须且只需2a－1>0，故a>eq\f(1,2).∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).三、解答题13．设函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．[解析] 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴eq\f(ax2＋1,bx＋c)＋eq\f(ax2＋1,c－bx)＝0，∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，∵f(2)<3，∴eq\f(4a＋1,2b)<3，∴eq\f(4a＋1,a＋1)<3，解得：－12时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．[解析] (1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.∵f(x)的图象过点A(2,2)，∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.设x∈(－∞，－2)，则－x>2，∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．(2)图象如图所示．(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．*16.已知函数f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)(1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性；(3)判断单调性；(4)作出其图象，并依据图象写出其值域．[解析] (1)函数的定义域为R.(2)∵f(－x)＝eq\f(－2x,1＋x2)＝－f(x)∴f(x)是奇函数，其图象关于原点O对称，故在区间(0，＋∞)上研究函数的其它性质．(3)单调性：设x1、x2∈(0，＋∞)且x10，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数，由于f(x)是奇函数，且f(0)＝0，因此，f(x)的减区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，增区间为[－1,1]．并且当x→＋∞时，f(x)→0，图象与x轴无限接近．其图象如图所示．可见值域为[－1,1]．
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