立体几何空间向量教法举例下载_Word模板_10

立体几何(B)空间向量教法举例杭师院附咼观点：向量法是解题的重要工具，教法得当,对空间想象能力的提高应有促进作用【渗透型】教学中不宜将向量法与传统方法对立起来,应相辅相成，相得宜彰.1•四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB_平面ABCD.证明无论四棱锥的高如何变化，平面PAD与平面PCD所成的二面角的平面角恒为钝角.证：如图建立空间直角坐标系，C(a,O,O),A(O,a,O),P(O,O,h).CD—平面PBC,CD二平面PCD,.平面PCD_平面CxPBC.作BE_PC,.BE_平面PCD.同理作BF_PA,有BF_平面PAD.■EBF是二面角A-PD-C的平面角的补角.由于PC=(a,O,-h),BEPC=0,BE=(h,O,a).同理PA二(O,a,-h),BFPA二O,.BF=(O,h,a).a2cos也EBF=―BEBF|BE|JBF|丁2O,即.EBF是锐角.a2h2CD则二面角A-PD-C的平面角是钝角，与h(hO)无关.2.己知三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等，CAB=9O°,E为PB中点，D为BC中点，AC=AB=PB=a.求AE与底面所成的角；求PC到平面AED的距离.解：(1)如图建立A-xyz坐标系.'■PA,PB,PC与底面成等角，RtABC斜边中点为D,.PD_平面ABC..平面PBC_平面ABC.作EF_BC于F,则EF-平面ABC.且CF:FB=3:1.二NEAF是AE与平面ABC所成的角.BC二2a,PB=a,BD二二a,BE2.EF」PD-a.24即有E-43a、2a4，4F-旦熒,O.442.3a4AEAF=2a2..cosAE,AF30,.EAF二arccos山0.1666TOC\o"1-5"\h\z113.正方体ABCDA,B1C1D1中，BEBB,,CFCG,42DG=3DD1,试判断A,E,F,G四点是否共面.4解：如图建立D-xyz坐标系,设棱长为1.DE=(1,1,4),DA=(1,0,0),DF=(0,1,2),DG=(0,0，劭,设DE二xDAyDFzDG.(1,1®=(x,0,0)(0,y冷y)(0,0得z)=(x,y冷y气z),x=1,y=1冷y=专=z--3.xy•z--1",.代E,F,G不共面.【对比型】教学中建议适当对比，让学生产生正确的认识.既达到空间想象能力的DCD\F提高,又达到简化运算的目的.如图，在正方体ABCD-ABQD1中,E,F分别是BB1,CD的中点，且正方体的棱长为2.(I)求直线D1F与AB所成的角；(n)求D1F与平面AED所成的角.解：(I)如图建立空间直角坐标系.得A(2,0,0),B(220),C(020),A(2,0,2),B1(2,2,2)Q(0,0,2),E(2,2,1),F(0,1,0).AB二(0,2,0),D1F二(0,1,-2),DA二(2,0,0),DE二(2,2,1).则cos：：D1F,AB二ABID1FIIABI5-.故所成角为arccos5-(n)DA=20-2=0,D^—DA.又DfDE=02-2=0,D^—DE.而DADE二A,—平面AED.故线面所成角为90°.另解：(I)CD//AB,.D1FD为所求角，DQ=2,DF=1,D1FD二arccos.-(n)取AB中点G,连AG交AE于H,连GF.可知AGFD1为平行四边形，Df//AG,RtAAG也RtABE,AGH=/AEB,从而.BAE.AGH=•BAE.AEB=90°=AQ_AE,._AE.又AD_平面D1DCC1,D1F平面D1DCC1 评价】两种方法均有优点.正四棱柱AC1,侧棱是底面边长的2倍,P是侧棱CG上一点.a(I)求证不论P在侧棱CC1上何位置，总有BD_AP;(n)若CCi=3CiP,求平面ABiP与平面ABCD所成二面角的余弦值；A(川)当P点在侧棱CCi上何处时，AP在平面RAC上的射影是.BiAC的平分线.(I)证：无论P点在CCi任何位置,AP在底面的射影都是AC,BD_AC,BD_CC「BD_AP.(n)延长BiP,BC交于M,连AM,则AM为平面AR与底面的交线,P.过B作BQ_AM于Q,连结BiQ,则BiQ_AM,.•BiQB为所求二面角的平面角TOC\o"1-5"\h\z,CMPC22口由PCBBi二CM=2BC,且BM=3BC.BMBBi33ABBMABBM3“在RtABM中,BQ2=BC,AMv'AB^BM2Vi0BBiBBi2BC2i03在RtBiBQ中，tan—BQB-cos—BQBBQ3口Q37Bc,i0(n)另解.以D为原点建立空间直角坐标系.设平面AB,P的法向量n^(x,y,z),平面ABCD的法向量m二AA二(0,0,6),A3,0,0,A3,0,6,Bi3,3,6,P0,3,4得AR=(0,3,6)AP=(—3,3,4),二

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