课题：一次函数与“将军饮马”问题授课班级：初二7班授课教师：陈璐玲授课时间：2019年5月16日【
教材
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分析
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】最短路径问题是中考热点问题之一，本节课是在学生学完了轴对称、勾股定理、平行四边形、一次函数等章节后以课本上数学史中的一个经典问题——“将军饮马”问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题，主要是运用数形结合的思想，综合一次函数与轴对称、勾股定理、特殊平行四边形的性质解决线段之和最小问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通，使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣。【学情分析】通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免机械地重复做题。本班为中等班，代表了年级的平均水平，学生整体基础尚可，但自觉性仍不够，学习有待提升，所以本节课
设计
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为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功。【教学目标】知识与技能：研究“将军饮马”模型与一次函数的综合题，并把解析法融入到几何题目当中；需要学生掌握一会画图，二会根据点的坐标求直线解析式，最后再求交点坐标。过程与
方法
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：培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。情感与态度：1、进一步培养学生好奇心和探究心理，体会到数学知识在生活中的应用；2、通过学生间的相互交流、沟通，培养他们的合作意识。【教学重点】将一次函数的“将军饮马”问题转化为“两点之间，线段最短”问题。【教学难点】在实际问题中会运用最短路径模型灵活解决问题。【教学过程】活动一：问题导航（8分钟）问题图形原理1.在直线l上求一点P，使AP+BP最短AP+BP=两点之间，线段最短2.在直线l上求一点P，使AP+BP最短AP+BP=（或）两点之间，线段最短3.在直线、上分别求点M、N，使周长最小两点之间，线段最短4.在直线、上分别求点M、N，使四边形周长最小两点之间，线段最短设计意图：创设问题情境，让学生熟悉“将军饮马”问题的几种变形，通过探究、归纳、交流，培养学生的合作意识，并为一次函数与“将军饮马”问题的综合运用作铺垫。活动二：例题精讲（5分钟）例题：（海淀期末）已知直线经过点，与轴交于点.求点坐标；若点是轴上一动点，当的值最小时，求点坐标.解：（1）将点代入，得，（2）点关于轴的对称点的坐标为，设直线的解析式为，根据题意得解得：直线的解析式为，与轴的交点即为点，坐标为.设计意图：真题示范，要求学生掌握三点：会画图（抓关键点,画出草图）；会根据点的坐标求直线解析式；会求交点坐标。活动三：变式练习（10分钟）变式1已知平面直角坐标系中有点，，为原点，在轴上找一点，使最小，并求出点的坐标和的最小值.解：；.变式2如图，平面直角坐标系中两点，，点P是y轴上一动点.画出点P的位置，使的周长最短；（不用证明）当的周长最短时，求点P的坐标.解：（1）图略；（2）设计意图：通过变式训练，使学生熟练掌握数形结合思想与函数思想、方程思想的综合应用.活动四：能力提升（15分钟）1、已知，，在轴上找一点，使最小，则点的位置应在（）（第1、2题图）A、①B、②C、③D、无法确定2、已知，，在轴上找一点，使最小，则点的坐标为，的最小值为.（）A、B、C、D、3、已知，，是轴上一动点，是轴上一动点，则当最小时，点和点的位置应在（）（第3、4题图）A、①B、②C、③D、无法确定4、（拓展题）已知，，是轴上一动点，是轴上一动点，则最小值是.5、（拓展题：济宁中考）去年夏天，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后，工程人员涉及图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为，.若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？（参考
公式
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：若，则）活动五：总结提炼（2分钟）1、今天研究了将一次函数的“将军饮马”问题转化为“两点之间，线段最短”问题；2、数形结合思想、函数思想、方程思想的综合运用.活动六：课后作业完成配套练习；做《金牌》P73、75.课题学习：一次函数与“将军饮马”问题（学案卷）初二（）班姓名：学习目标：1、研究“将军饮马”模型与一次函数的综合题，学会把解析法融入到几何题目当中；2、熟练掌握三步：一会画图，二会根据点的坐标求直线解析式，最后再求交点坐标。活动一：问题导航（8分钟）问题图形原理1.在直线l上求一点P，使AP+BP最短AP+BP=两点之间，最短2.在直线l上求一点P，使AP+BP最短AP+BP=两点之间，最短3.在直线、上分别求点M、N，使周长最小两点之间，最短4.在直线、上分别求点M、N，使四边形周长最小两点之间，最短活动二：例题精讲（5分钟）例题：（海淀期末）已知直线经过点，与轴交于点.（1）求点坐标；（2）若点是轴上一动点，当的值最小时，求点坐标.小结：我们要熟练掌握三点：1、会画图（抓关键点,画出草图）；2、会根据点的坐标求直线解析式；3、会求交点坐标。活动三：变式练习（10分钟）变式1已知平面直角坐标系中有点，，为原点，在轴上找一点，使最小，并求出点的坐标和的最小值.解：点关于轴的对称点的坐标为，设变式2如图，平面直角坐标系中两点，，点P是y轴上一动点.（1）画出点P的位置，使的周长最短；（不用证明）（2）当的周长最短时，求点P的坐标.解：（1）如图所示；（2）活动四：能力提升（15分钟）1、已知，，在轴上找一点，使最小，则点的位置应在（）（第1、2题图）A、①B、②C、③D、无法确定2、已知，，在轴上找一点，使最小，则点的坐标为，的最小值为.（）A、B、C、D、3、已知，，是轴上一动点，是轴上一动点，则当最小时，点和点的位置应在（）（第3、4题图）A、①B、②C、③D、无法确定4、（拓展题）已知，，是轴上一动点，是轴上一动点，则最小值是.5、（拓展题：济宁中考）去年夏天，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后，工程人员涉及图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为，.（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？（参考公式：若，则）
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