指数函数典型例题详细解析汇报

指数函数典型例题详细分析报告指数函数典型例题详细分析报告PAGE/NUMPAGES指数函数典型例题详细分析报告适用 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 指数函数·例题分析第一课时【例1】（基础题）求以下函数的定义域与值域：1(2)y＝2x2(3)y＝33x1(1)y＝32x1解(1)定义域为{x|x∈R且x≠2}．值域{y|y＞0且y≠1}．由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为{|y|y≥0}．由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是0≤y＜3．1.指数函数Y=ax（a>0且a≠1）的定义域是R，值域是（0，+∞）求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a≠0)3.求函数的值域:①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2)先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)文档适用标准【例2】（基础题）指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜c．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．文档适用标准【例3】（基础题）比较大小：(1)2、32、54、88、916的大小关系是：．431(2)0.652()2(3)4.54.1________3.73.611234解(1)∵222，3223，5425，8828，91629，函数y＝x，2＞，该函数在－∞，＋∞)上是增函数，21(又1＜3＜2＜4＜1，∴32＜88＜5＜9＜．385924162文档适用标准431解(2)∵0.65＞1，1＞()2，210.65＞(3)2．2解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不一样底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不一样底且指数也不一样的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂拥有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特色，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．例题4（中档题）文档适用标准【例4】比较大小n1an与nan1(a＞0且a≠1，n＞1)．n1an1an(n1)解an1n1当0＜a＜1，∵n＞1，＞0，n(n1)1an(n1)＜1，∴n1an＜nan11＞0，当a＞1时，∵n＞1，n(n1)1an(n1)＞1，n1an＞nan1【例5】（中档题）作出以下函数的图像：图像变换法(1)y＝(1)x1(2)y＝2x－2，2(3)y＝2|x-1|(4)y＝|1－3x|解(1)y＝(1)x1的图像(如图2．6－4)，过点(0，1)及(－1，1)．22是把函数y＝(1)x的图像向左平移1个单位获取的．2解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位获取的．文档适用标准解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而获取．(如图2．6－7)文档适用标准例6（中档题）：用函数单调性定义证明：当a＞1时，y=ax是增函数.【分析】设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2=x1+h(h＞0，h∈R)，很独到的方式则有ax2ax1ax1hax1ax1(ah1)，∵a＞1，h＞0，∴ax10,ah1，∴x2ax10，即a故y=ax(a＞1)为R上的增函数，同理可证0＜a＜1时，y=axax1ax2是R上的减函数.例题7中档题）指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析）二次函数为内层函数，指数函数为外层函数文档适用标准【例6】求函数y＝(3)x2－5x＋6的单调区间及值域．42－5x＋6，则y＝3u2－5x解令u＝x()是关于u的减函数，而u＝x4＋6在x∈(∞，5]上是减函数，在x∈[5，∞)上是增函数．∴函数22y＝(3)x2－5x＋6的单调增区间是(∞，5]，单调减区间是[5，∞)．422又∵u＝x2－5x＋6＝(x5)21≥1，24431函数y＝)u，在u∈[，∞)上是减函数，(44所以函数32的值域是(0，4108y＝()x－5x＋63]．4变式1求函数y=（1）x22x的单调区间，并证明之.2解法一（在解答题）：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，1x22xy2()2211=2=（则1）（x2－x1）（x2+x1－2）【（）为底数，红色部分为y1(x122x122)2指数】，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，则y2y11.∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递加.文档适用标准当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即y2＜1.（此处评论：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性）∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.综上，函数y在（－∞，1］上单调递加，在［1，+∞）上单调递减.合作研究：在填空、选择题顶用上述方法就比较麻烦，所以我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：设：ux22x则：yu12对任意的1x1x2，有u1u2，u1又∵y是减函数21x22x∴y1y2∴y在[1,)是减函数2对任意的1x21，有u1u2x文档适用标准u又∵y1是减函数2x22x∴y1y21在[1,)是增函数∴y2u在该问题中先确立内层函数（ux22x）和外层函数（y1）的单调状况，再2依据内外层函数的单调性确立复合函数的单调性.变式2已知a0且a1，谈论f(x)ax23x2的单调性.【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数谈论单调性题，指数x23x2(x3)217，当x≥3时是减函数，x≤3时是增函数，2422而f(x)的单调性又与0a1和a1两种范围有关，应分类谈论.【分析】设ux23x2(x3)217，243时，u是减函数，当3则当x≥x≤时，u是增函数，22又当a1时，yau是增函数，当0a1时，yau是减函数，所以当a1时，原函数f(x)ax23x2在[3,)上是减函数，在(,3]上是22增函数.文档适用标准当0a1时，原函数f(x)ax23x2在[3,)上是增函数，在(,3]上是减22函数.【小结】一般状况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；；假如两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但必定注意考虑复合函数的定义域.第二课时例题8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数换元法先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)【例7】求函数y＝(1)x1x＋1(x≥0)的单调区间及它的最大值．4()2解y＝1x21x1x123，令＝1x，∵x≥，[()]()1[()]u()0222242∴＜≤，又∵＝1x是∈，＋∞上的减函数，函数y＝1)20u1u()x[0)(u22文档适用标准3在∈，1上为减函数，在[1，1)上是增函数．但由0＜1)x≤14u(02]2(2≥，由11112得≤x≤，得≤≤，∴函数y＝xx＋单调增x12()10x1()()1242区间是，＋∞)，单调减区间[0，1][1当x＝0时，函数y有最大值为1．内层指数函数u=(1/2)x为减，当u在（0，1/2】时，此时外层二次f（u)为减函数，即x在【1，正无量大），，则复合函数为增（画草图分析法）评论：（1）指数函数的有界性（值域）：x2≥0;ax>02）上述证明过程中，在两次求x的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是要点及疑难点。变式：求（3）y4x2x11的值域.解Qy4x2x11xRy(2x)222x1(2x1)2,且2x0,y1.故y4x2x11的值域为{y|y1}.文档适用标准【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数自己的要求，并利用好指数函数的单调性.例题9（中档题）分式型指数函数【例8】已知f(x)＝ax1(a＞1)xa1判断f(x)的奇偶性；求f(x)的值域；证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R．af(－x)＝axx1ax1＝－f(x)，1ax1文档适用标准∴函数f(x)为奇函数．ax1x1yy1(2)函数y＝ax1，∵y≠1，∴有a＝y11y＞0－1＜y＜1，反函数法，用指数函数值域即f(x)的值域为(－1，1)．设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)＝axl1ax212(axlax2)xxx＋1)x1ax1＝xx，∵a＞1，x1＜x2，a1＜a2，(a1al2(al1)(a21)(ax2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，故f(x)在R上为增函数．变式1设a是实数，f(x)2(xR)a试证明关于任意a,f(x)为增函数；2x1证明：设x1,x2∈R,且x1x2则f(x1)f(x2)(a2(a2))2x112x21222(2x12x2)2x212x1(2x11)(2x21)文档适用标准因为指数函数y=2x在R上是增函数,且x1x2,所以2x12x2即2x12x2<0，又由2x>0得2x1+1>0,2x2+1>0所以f(x1)f(x2)<0即f(x1)f(x2)因为此结论与a取值没关，所以关于a取任意实数，f(x)为增函数例题10（中档题）文档抽象函数适用标准例题10变式1（疑难题）文档适用标准文档适用标准文档适用标准第三课时文档适用标准复合函数文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准文档适用标准作业课本：课本P习题文档