第三节三重积分及其应用一、三重积分的定义二、直角坐标系下的计算三、柱面坐标系下的计算四、球面坐标系下的计算五、三重积分的应用一、三重积分的定义一物体,其质量体密度为连续函数=(x,y,z)，求该物体质量M解仍采用“分割、取近似、求和、取极限”把物体任意分割成n个小块:Vi,在每个Vi上任取一点(i,i,i)对应的(i,i,i)视为Vi上匀质的密度，则Mi(i,i,i)Vi当每个Vi的直径i都越小,上式也近似。引例1.三重积分的定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将闭区域Ω任意分成n个小闭区域Δv1,Δv2,…,Δvi,其中Δvi
表
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示第个i小闭区域，也表示它的体积,在每则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分。积分区域积分和被积函数积分变量体积元素被积表达式若f(x,y,z)在有界闭域上连续,则f(x,y,z)在上可积.因此：一物体，其质量体密度=(x,y,z)，则该物体质量2.性质(1)(2)(3)设=1+2,则二、直角坐标系下的计算空间直角坐标系下，体积元素常表为计算总体
原则
组织架构调整原则组织架构设计原则组织架构设置原则财政预算编制原则问卷调查设计原则
：将其化为三次定积分。dv=dxdydz.D1.先单后重(先一后二)y=y1(x)xyz0z=z2(x,y)z=z1(x,y)bay=y2(x)将其化为先对一个变量的定积分，后对两个变量重积分。(1).是Z－型区域平行于z-轴且穿过内部的直线与的边界曲面的交点不多于两个。一般步骤①.把投影到xoy面上得平面区域Dxoy;②.过Dxoy的边界曲线作母线平行于z轴的柱面与边界曲面的交线L分边界曲面成两个部分z1(x,y)z2(x,y);③.P(x,y)Dxoy,过P作平行于z轴直线与边界曲面的交点为(x,y,z1(x,y))与(x,y,z2(x,y));④.先把x,y看成常数，f(x,y,z)是z的函数z(z1(x,y)，z2(x,y))，作⑤.计算⑥.如果Dxoy是X－型的，则有这样，将三重积分化为先对z、次对y、再对x的三次积分。(2).若是X－型或Y－型或区域，类似可得。zxy0x+y+z=1例1.计算其中：由x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：D:0≤y≤1–x,0≤x≤1解如图,将Ω投影到平面zox得先对y积分，再求Dzx上二重积分,例22.先重后单(先二后一)截面法将其化为先对两个变量重积分，后对一个变量的定积分。xyz0Dzcdz一般步骤①.把投影到z轴上，czd;②.z(c,d),作平面z=z与相交得一区域Dz；③.先把z看成常数,f(x,y,z)是x,y的函数,(x,y)Dz,作④.计算⑤.如果Dz是X－型的，则有这样，将三重积分化为先对y、次对x、再对z的三次积分。解例3原式Dy例4zyxoz=HDz例5计算下列积分yxoz=8Dzz=2z••oxyz例6计算下列积分••oxyzxyzo规定：M(r,,z)r0xzzM•yyx三、利用柱面坐标计算三重积分柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．(0≤r<+,0≤≤2,
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