第十一章圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第必定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
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_1714005491853_0方程，若焦点在x轴上，列标准方程为x2y21(a>b>0)，a2b2xacos为参数）。参数方程为（ybsin若焦点在y轴上，列标准方程为y2y21(a>b>0)。a2b23．椭圆中的有关看法，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2y21，a2b2a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±c,0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为xa2，c与右焦点对应的准线为a2cx；定义中的比e称为离心率，且eca222，由c+b=a知0b>0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(x,4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆2b2a1第十一章圆锥曲线y)是椭圆上的随意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0y1；a2b22）斜率为k的切线方程为ykxa2k2b2；3）过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为l2ab2。2c2cos2a6．双曲线的定义，第必定义：满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|,a>0)的点P的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为x2y21，a2b2xasec为参数）。参数方程为（ybtan焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2x21。a2b28．双曲线的有关看法，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2y21(a,b>0),a2b2a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0)，对应的左、右准线方程分别为xa2,xa2.离心率eccca，由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为ykx，双曲线x2y21与x2y21有同样的渐近aa2b2a2b2线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。2第十一章圆锥曲线x2y21，F1（-c,0）,F2(c,0)是它9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线b2a2的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若Px,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是2ab2。c2cos2a210．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l订交于K，以线段KF的垂直均分线为y轴，成立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为(p,0)，准线方程为xp，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率e=1.2211．抛物线常用结论：若P(x0,y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=xp；22）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为2p。1cos212．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就成立了极坐标系，对于平面内随意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）独一确立点P的地点，（ρ，θ）称为极坐标。13．圆锥曲线的统必定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若01，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线一致的极坐标方程为ep1。ecos二、方法与例题1．与定义有关的问题。例1已知定点A（2，1），F是椭圆x2y21的左焦点，点P为椭圆上的动点，当25163|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。例2已知P，P'为双曲线C：x2y21右支上两点，PP'延伸线交右准线于K，PF延a2b21长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠P'F1K=∠KF1Q.3第十一章圆锥曲线2．求轨迹问题。例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。例4长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。例5在座标平面内，∠AOB=，AB边在直线l:x=3上挪动，求三角形AOB的外心的轨迹3方程。3．定值问题。例6过双曲线x2y21(a>0,b>0)的右焦点F作B1B2x轴，交双曲线于B1，B2两点，a2b2B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连接B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不如一试。4第十一章圆锥曲线2例7设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。例8椭圆x2y21上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：11a2b2|OA|2|OB|2为定值。4．最值问题。例9设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为3，若圆C：x2(y3)2122上点与这椭圆上点的最大距离为17，试求这个椭圆的方程。5．直线与二次曲线。例11若抛物线y=ax2-1上存在对于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。5第十一章圆锥曲线2例12若直线y=2x+b与椭圆xy21订交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，4求b的值。三、基础训练题1．A为半径是R的定圆⊙O上必定点，B为⊙O上任一点，点P是A对于B的对称点，则点P的轨迹是________.2．一动点到两订交直线的距离的平方和为定值m2(>0)，则动点的轨迹是________.3．椭圆x2y21上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.100364．双曲线方程x2y21，则k的取值范围是________.|k|25k5．椭圆x2y20100641，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=60，则F1PF2的面积是________.6．直线l被双曲线x2y21所截的线段MN恰被点A（3，-1）均分，则l的方程为________.47．ABC的三个极点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________.8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.9．已知曲线y2=ax，与其对于点（1，1）对称的曲线有两个不一样的交点，假如过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________.10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，|PF1||PF2|的取值范围是________.|PO|6第十一章圆锥曲线11．已知椭圆x2y21与双曲线x2y21有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个a12b12a22b22焦点，求∠F1PF2和PF1F2的面积。12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延伸线垂直，垂足为T，设|AT|=2a(2a
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1．双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x3y=0，则此双曲线的标准方程是_________.2．过抛物线焦点F的直线与抛物线订交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别1111是A，B，则∠AFB=_________.3．双曲线x2y21的一个焦点为F，极点为A，A，P是双曲线上任一点，以|PF|为a2b21121直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的地点关系为_________.4．椭圆的中心在原点，离心率e1，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M横坐标为-1，3M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.22x2y21恰有一个公共点的_________条件.5．4a+b=1是直线y=2x+1与椭圆a2b26．若参数方程xm2t2（t为参数）
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示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直y2m22t线的方程是_________.7．假如直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x2y2m的范围是51总有公共点，则m_________.7第十一章圆锥曲线8．过双曲线x2y21的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.969．过坐标原点的直线l与椭圆(x3)2y21订交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰62好经过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________.10．以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个极点C（0，1）为直角极点作此椭圆的内接等腰直角三角ABC，这样的三角形最多可作_________个.11．求椭圆x2y21上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。a2b212．设F，O分别为椭圆x2y21的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的随意弦AB，点a2b2O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。13．已知双曲线C1：x2y21(a>0)，抛物线C2的极点在原点O，C2的焦点是C1的左焦a22a21点F。1）求证：C1，C2总有两个不一样的交点。2）问：能否存在过C2的焦点F1的弦AB，使AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SAOB的最值，若不存在，说明原由。五、联赛一试水平训练题1．在平面直角坐标系中，若方程222m的取值m(x+y+2y+1)=(x-2y+3)表示的曲线为椭圆，则范围是_________.2．设O为抛物线的极点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，OPQ面积为_________.3．给定椭圆x2y21，假如存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ，a2b2则离心率e的取值范围是_________.4．设F1，F2分别是双曲线x2y21(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1a2b2作∠FPF均分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_________.128第十一章圆锥曲线5．ABC一边的两极点坐标为B（0，2）和C（0，2），另两边斜率的乘积为1，2若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________.6．长为l(l<1)的线段AB的两头点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________.7．已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M改动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_________.8．已知点P（1，2）既在椭圆x2y222a22b2a21内部（含界限），又在圆x+y=3外面（含b2界限），若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.9．已知椭圆x2y21的内接ABC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、43右极点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上改动时，试求点P的轨迹。210．设曲线C1：xy21（a为正常数）与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。a2（1）务实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当00),P(x,y)为轨迹上任一点，则22|kxy||kxy|m2。化简为2k2x2+2y2=m2(1+k2).k211k2当k≠1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。3．12．由题设a=10,b=6,c=8，从而P到左焦点距离为10e=10×8=8,所以P到右焦点的距10离为20-8=12。4．-25或-20,设x1,x2是方程②的两根，由韦达定理12第十一章圆锥曲线x1x22k(2k1)2k(2k1)2k2k2.③2由①，③得y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)=k(x1+x2)+2(1-2k)=4(2k1).④k22设P1P2的中点P坐标(x,y)，由中点公式及③，④得xx1x2k(2k1)y1y22(2k1)2k22,y2k2,2消去k得12(x1)2(y2)1.7784点（2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。高考水平测试题1．x2y21.由椭圆方程得焦点为(43,0)，设双曲线方程x2y21，渐近线为3612a2b2ybx.由题设b1，所以a2=3b2,又c43,c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36.aa3900。见图1，由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。3．相切，若P(x,y)在左支上，设F为左焦点，F为右焦点，M为PF中点，则121|MO|=1|PF2|=1(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和1(-a-ex)+a=1(a-ex)=|MO|，2222所以两圆外切。当P(x,y)在右支上时，同理得两圆内切。4．10.与F对应的另一条准线为x=-11，因|MF|与M到直线x=-11距离d之比为e，且3111|MF1|1，所以10.d1=|xm+11|=10.所以3|MF1|=1035．充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2(1-b2)=0.①若=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直线与椭圆有一个公共点。6．y=2(x-1)。消去参数得(y-2m)2=4(x-m)，焦点为xm1,它在直线y=2(x-1)上。y2m,13第十一章圆锥曲线7．1≤m<5。直线过定点(0,1)，所以01x轴上，所以5>m,所以1≤m<5。≤1.又因为焦点在m8．3．双曲线实轴长为6，通径为4，故线段端点在异支上一条，在同支上有二条，一共有三条。9．或5与椭圆交于A(x,y),B(x,y)，把y=kx代入椭圆方程得。设直线l:y=kx266112(1+3k2)x2-6x+3=0，由韦达定理得x1x26,①13k2x1x232.②13k因F（1，0），AFBF，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即xx-(x+x)+1+k2x1x=0.③12122把①，②代入③得k21,k3，所以倾斜角为或5.336610．3．第一这样的三角形必定存在，不如设A，B分别位于y轴左、右双侧，设CA斜率为k(k>0)，CA的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或x2a2k，于是A(2a2k2a2k1k2a2k21a2k2,0)，|CA|=.1a2k21由题设，同理可得|CB|=2a2k1k2a2k21,利用|CA|=|CB|可得(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,解得k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①对于①，当13时，①有两个不等实根，故最多有3个。11．解设焦点为F，F，椭圆上任一点为P(x,y),∠FPF=θ,依据余弦定理得120012|F222|?|PF|cosθ,F|=|PF|+|PF|-2|PF112122又|PF1|+|PF2|=2a，则4c2=(2a)2-2|PF1|?|PF2|(1+cosθ),再将|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2x02)(1+cosθ).于是有cos2b21.2e2x02a14第十一章圆锥曲线由0x02a2，得b2a2e2x02a2，所以2b2a2cos1。因θ∈[0，π]，所a2以cosθ为减函数，故0arccos2b2a2.a222即a2b时，2b2a20，arccos2b2a2]，sinθ为增函,[0,当2b>aa2a222数，sinθ取最大值sinarccos222bc；当2b≤a时，arccos222ba2ba,22a2a2a22θ∈[0,π]，则sinθ最大值为1。12．解设A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不为0，设为k，直线AB方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程并化简得(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.①则x1,x2为方程①的两根，由韦达定理得x1x22a2k2c,②2a2k2bx1x2a2(k2c2b2).③b2a2k222+c)，再由②，③得y1y2b2k2.因为y1y2=k(x1+c)(xb2a2k2所以OAOB=xx+yk2(a2c2b4)a2b2,O点在以AB为直径的圆内，等价1y=122a2k2b2OAOB<0，即k2(a2c2-b4)-a2b2<0对随意k∈R成立，等价于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以00，所以方程②必有两个不一样实根，设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a2<0，所以②必有一个负根设为x1,把x1代入①得y2=43ax1,所以y23ax1（因为x1≠0），所以C1，C2总有两个不一样交点。（2）设过F1(3a,0)的直线AB为my=(x+y243ax,3a),由得myx3a22，因为222，设y,y分别为A，B的纵坐标，则y+43may-12a=0=48ma+48a>021y+y=43ma,yy=-12a2222所以S1.所以(y-y)=48a(m+1).=121212AOB2|y-y|?|OF|=32a?11243a?m216a2m216a2，当且仅当m=0时，SAOB的面积取最小值；当m→+∞时，S→+∞，无最大值。所以存在过F的直线x=3a使AOB面积有最小值26a.AOB联赛一试水平训练题1．m>5.由已知得x2(y1)25，说明(x,y)到定点（0,-1）与到定直线x-2y+3=0x2y3m12(2)2的距离比为常数5，由椭圆定义5<1，所以m>5.mm2.aab.因为b=|PQ|=|PF|+|QF|=2a2a4a,所以1cos1cos()sin2sin2a。所以SOPQ=1absinθ=aab.b23.51,1。设点P坐标为(r1cosθ,rsinθ),点Q坐标为(-rsinθ,rcosθ)，因为P，2122Q在椭圆上，可得1111r1r2ab≤r12r22a2b2，RtOPQ斜边上的高为r12r22a2b216第十一章圆锥曲线|OF|=c.所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得51≤e<1.24.以O为圆心，a为半径的圆。延长FM交PF延伸线于N，则OM//1FN，而1222|F2N|=|PN|-|PF|=|PF1|-|PF2|=2a，所以|OM|=a.25.t∈(0,1]时|AT|min=2t2,t>1时|AT|min=|t-2|.由题设kAB?kAC=-1,设A(x,y)，则2y2y21(x≠0)，整理得x2y2≠0)，所以xx242=1(x2222x212+2-t2≤2,所以当t∈(0,1]时取|AT|=(x-t)+y=(x-t)+22(x-2t).因为|x|2x=2t,|AT|取最小值2t2。当t>1时，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.6.l2.设点M(x0,y0)，直线AB倾斜角为θ，并设A(x0-x01cos,y01sin),422B(x+1cos,y01sin),因为A，B在抛物线上，所以022y01sin(x01cos)2,①22y01sin(x01cos)2,②22由①，②得2x0cosθ=sinθ.③所以y0(x01cos)21sin1(1l2cos2)1.224cos24因为l2<1，所以函数f(x)=1l2x.在（0，1]在递减，x所以y01l21l2l2(1)。当cosθ=1即l平行于x轴时，距离取最小值.44447．a,2pa.设My02,y0,M1y12,y1,M2y22,y2，由A，M，M1共线得b2p2p2pyby02pa，同理B，M，M共线得y22pa，设(x,y)是直线MM上的点，则=1y0b2y0b12yy=y(y+y)-2px，将以上三式中消去y,y2得12121y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.17第十一章圆锥曲线当x=a,y=2pa时上式恒成立，即定点为a,2pa.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mbb．36。由题设141且22≤15，解得5≤2≤6.8a2b2a+2bb所以a+b≥b2bt4t42∈[1,2])t4t4b24t(t=b-4，而t63t46t4t22(t2)，又t≤2可得3tt463tt(t4)上式成立。9．解设A(2cosθ,3sin),B(2cosα,3sinα),C(2cosβ,3sinβ)，这里α≠β，则过A，B的直线为lAB：3(sinsin)(x2cos)3siny，因为直线AB过点2(coscos)F1(-1,0)，代入有3(sinθ-sinα)?(1+2cosθ)=23sinθ(cosθ-cosα)，即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2sin2?cos,故2cos2cos23coscos222sinsin0，即tan?tan3。又l:y3sin(x2)3tan2222BD2(1cos)22?(x+2)=33(x2tan23(x2)332tan22两直线方程联立，得2)，同理得tantan21。lCE:23tan?(x-2).22tan2263tan2P点坐标为2,tan21tan21223siny(x-2)=2(cos1)，消去tan得点P(x,y)在222椭圆xy1上（除掉点(-2,0),(2,0)）.42710.解x2y21,2222①设f(x)=x2222（1）由a2消去y得x+2ax+2am-a=0,+2ax+2am-a，问y22(xm)18第十一章圆锥曲线题（1）转变成方程①在x∈(-a,a)上有独一解或等根。只要谈论以下三种状况：0a21220?f(-a)<0，1．=0，得m，此时xp=-a，当且仅当-a<-a0，从而xpa2xp2aa2，故Saaa2；当ma21时，xp=-a2，yp=1a2,此时2S1a1a2.以下比较aaa2与1a1a2的大小。令aaa21a1a2，222得a1，故当00，所以k15，从而p25.225所以直l的方程y125x，抛物C的方程y245x.5二水平1．以A原点，直ACx，成立直角坐系，C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，直DF的方程xffxDy0.①kxD直BC的方程cxxcBy0.②c×①-f×②得(c-f)x+1[cf11(cf)]y0.③kxDxB③表示一条直，它原点，也DF与BC的交点G，因此③就是直AG的方程。同理，直AE的方程(c-f)x+111(cf)]y0.④[cfxDxBk③，④的斜率相互反数，所以∠GAC=∠EAC。2．明假的折存在，不如坐原点是此中一个点，它A0，其余点坐：A1a1,c1，⋯，Anan,cn，此中ai,ci都是既分数，并An+1=A0.b1d1bndnbidi若p与q奇偶性同样，p≡q，否p≠q，下边用数学法明。bk≡1,dk≡1(k=1,2,⋯,n)，ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,⋯,n,n+1)。20第十一章曲22当k=1，由a1c11，得a12d12d12c12，因a1,b1互，所以d1被b1b1d1b12整除，反之亦然（即b1被d1整除）。所以b1=±d1，从而b12d12a12c12.a1,c1不行能都是偶数（否b1也是偶数，与互矛盾）；不行能都是奇数，因两个奇数的平方和模8余2不是4的倍数，也不行能是完整平方数，所以，a1≠c1,b1≡d1≡1，而且a1+c1≠0=a0+c0.k=1,2,⋯,m-1≤n都成立，令amam1a,cmcm1c.bmbm1bdmdm1d
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