2021年人教版高中数学选择性必修第三册4.3.1《等比数列的概念》（1)导学案 (含答案)

4.3.1等比数列的概念(1)导学案1.理解等比数列及等比中项的概念．2．掌握等比数列的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，能运用公式解决相关问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ．重点：等比数列及等比中项的概念难点：等比数列的函数特征及综合运用等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用 字母表 26个大写字母表一年级语文拼音字母表乘法分配律用字母表示aoe拼音字母表声母韵母整体认读音节字母表 示(显然)．符号语言：2.等比中项：1．下列数列为等比数列的是(　　)A．m，m2，m3，m4，…B．22,42,62,82，…C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…D．eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，eq\f(1,a4)，…2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　)A．eq\f(5,2)B．±2C．±eq\r(5)D．2新知探究我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”。类比等差数列的研究思路和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:①②③2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是④3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64,…⑤4.某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是⑥如果用{an}表示数列①，那么有其余几个数列也有这样的取值规律吗？，请你试着写一写。探究1类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？等差数列的概念文字语言如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2；前一项；同一个常数；常数；d探究2类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？．探究3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？探究4.你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？探究.5在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？探究6：类比指数函数的性质，你能说说公比的等比数列的单调性吗？()二、典例解析例1.若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.例2已知等比数列的公比为，试用的第项表示.1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.跟踪训练1在等比数列{an}中，(1)若a2＝4，a5＝－eq\f(1,2)，求an；(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.例3.数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.1．已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝eq\f(1,2)，则a5＝(　　)A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)2．设an＝(－1)n(n∈N*)，则数列{an}是(　　)A．等比数列B．等差数列C．递增数列D．递减数列3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝(　　)A．1B．2C．3D．44.若数列－1，a，b，c，－9成等比数列，则实数b的值为(　　)A．－3B．3C．±3D．不能确定5．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16.求{an}的通项公式．参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：知识梳理1．D　解析：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；eq\f(62,42)≠eq\f(42,22)，所以B不是等比数列．2．B　解析：设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±eq\r(x1x2)＝±2.学习过程新知探究探究4.设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，可得=所以=,=,=,…于是+,+=(+)++2,+=(+)++3,……归纳可得+()(n)当n时，上式为+()，这就是说,上式当时也成立。因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为+()请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？设一个等比数列的为,根据等比数列的定义，可得所以,=(),=()……归纳可得(n)又，这就是说，当n时，上式也成立。因此，首项为,公比为的等比数列的通项公式为探究5.当,()当,()即指数型函数（为,常数，,且）构成一个等比数列，其首项为，公比为探究6：()二、典例解析例1.分析：等比数列由唯一确定，可利用条件列出关于的方程（组），进行求解。解法1：由，，得的两边分别除以①的两边，得解得或.把代入①，得.此时.把代入①，得.此时.因此的第5项是24或.解法2：因为是与的等比中项，所以.所以.因此，的第5项是24或-24.例2解：由题意，得，①.②的两边分别除以①的两边，得=所以.跟踪训练1解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1q＝4，,a5＝a1q4＝－\f(1,2)，))∴q＝－eq\f(1,2)，a1＝－8，∴an＝a1qn－1＝－8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝(－2)4－n.(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，∴q＝eq\f(1,2).由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，由an＝a1qn－1＝1知n＝6.例3.分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方程组求解.解：设前三项的公比为,后三项的公差为，则数列的各项依次为,80,80,80,于是得解方程组，得所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.跟踪训练2.解法1：设这四个数依次为,于是得解方程组，得所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法2：设这四个数依次为,于是得解方程组，得所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝3，时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.达标检测1．A　解析：∵等比数列的通项公式an＝a1qn－1，∴a5＝a1×q4＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)，故选A．2．A　解析：由已知数列an＝(－1)n(n∈N*)的前5项为－1,1，－1,1，－1，明显数列{an}不是等差数列，也不是单调递增数列，也不是单调递减数列，排除BCD．又当n≥2，n∈N*时，eq\f(an,an－1)＝eq\f(－1n,－1n－1)＝－1为常数，故数列{an}是等比数列．故选A．3．C　解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q>0，解得q＝3.故选C．4.A　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，∴－1，a，b成等比数列，a，b，c成等比数列，b，c，－9成等比数列，∴a2＝－b，b2＝ac，c2＝－9b.∴b4＝a2c2＝(－1)×(－9)b2.∴b2＝9.又a2＝－b>0，∴b<0，∴b＝－3.5．解：设数列{an}的公比为q.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝2，,a1q4＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2.))所以{an}的通项公式为an＝2n－1.