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竞赛辅导第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组将原方程组改写为解由方程②得x=6+4y,代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④义3+⑤义4得33y+8y=-57+16，所以y=-1．将丫=-1代入⑤，得z=2.将丫=-1代入②，得x=2.所以为原方程组的解．
说明
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本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得.所以口=4代入③得z=3.将乂=1代入①得丫=2将解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x,即x=-15+16x,解之得x=1.将乂=1代入⑧得u=4.将尸4代入⑦得.所以丫=2代入⑥得z=3.将z=3.为原方程组的解.解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①义2-④得4y-u=4,⑦⑥+⑦得y=2.以下略.说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅.解方程组3例分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3,⑥②+③得y+v=5,⑦③+④得z+x=7,⑧④+⑤得u+y=9.⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15.⑩⑩-⑥-⑦得z=7,把％=7代入⑧得x=0,把乂=0代入⑥得u=3,把u=3.所以1-丫=代入⑦得y=6,把丫=6代入⑨得.为原方程组的解.例4解方程组②得2+①义1解法由③得代入④得为原方程组的解.为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．已知5例分析与解一般想法是利用方程组求出x,y,z的值之后，代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x,y,z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．得x②消去-①①义3+②消去y得得z消去3②义5+①义的方程组y,x已知关于6例分别求出当a为何值时，方程组⑴有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解.分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④时，方程④有1-Wa且2/a,即0W2)(a+1)-(a当(1)因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)/0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1,a=-2代入原方程得到一个方程组代入原方程得1,Wx=3y=-(a-1)•3+(a+2)•(-1)+5-2a=0.值a所以对任何都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0,方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解.分析与解因为甲只看错了方程①中的a,所以甲所得到的解③.2-1)=-(Xb-3)-(X4.4=13义.④5+5aX解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组．,x,,x,.若2xxx满足方程组54321.+2x的值.试确定3x543.将式子3x+2x-5写成a(x+1)+b(x+1)+c的形式，试求22为何值时，方程组k.4有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0,试求m的值.本资料来源于《七彩教育网》
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