初中正方形的判定专项重点学习的练习30题

正方形的判断专项练习30题（有答案）1．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．1）求证：四边形ABCD是菱形；2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．2．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角均分线，过点（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．3．已知：如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF．（1）小明发现四边形BCEF的形状是平行四边形，请你帮他把说理过程补齐．原由是：由于△BDF是由△ADE绕点D旋转180°获取的所以△ADE与△BDF全等且点A、D、B在同一条直线上点D、F也在同一条直线上．所以BF=AE，∠F=∠_________可得BF∥_________又由于E是AC的中点，所以EC=AE，所以BF=_________所以，四边形BCEF是平行四边形（依据_________）E、2）小明还发此刻原有的△ABC中增加一个条件后，就可以使四边形BFEC成为一种特别的平行四边形．你也来试一试．你以为增加条件_________后，四边形BFEC是_________．（友谊提示：我们将依据你所提出问题的难易程度，恩赐不一样的分值．）原由是：_________．4．如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角均分线，边形EMFN是正方形．E、M、F、N是其交点，求证：四5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC订交于点F．求证：1）点F为AC中点；2）试确立四边形ADCE的形状，并说明原由；3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应增加什么条件并证明你的结论．6．求证：对角线相等的菱形是正方形．已知：四边形ABCD是菱形，且AC=BD（又：AC，BD相互均分）求证：四边形ABCD是正方形．7．在△ACD中，∠D=90°，∠D的均分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．8．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件试说明原由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么地址时，矩形PEMF变成正方形为何9．如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．1）求证：△BFD≌△CED；2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形．10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD订交于点F．求证：四边形ABCD是正方形．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．1）求证：DE=DF；（2）若再增加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是_________．12．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的均分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．13．已知：如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD均分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：四边形CFDE是正方形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．1）试说明△BED≌△CFD；2）若∠A=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明原由．15．如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的均分线于点E，交∠GCA的均分线于点F．1）说明EO=FO．2）当点O运动到哪处，四边形AECF是矩形说明你的结论．（3）当点O运动到哪处，AC与BC拥有如何的关系时，四边形AECF是正方形为何16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E1）求证：PD=PE；2）DE与BC平行吗请说明原由；3）请增加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．17．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的均分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，1）求∠ADB的度数；2）试说明四边形CEDF是什么形状的特别四边形．18.证明：对角线相等的菱形是正方形．19．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明原由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为何③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明原由．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．21．以以下图，在Rt△ABC中，CF为直角的均分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是如何的四边形，为何22．以以下图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD均分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形．23．以以下图，按序延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．24．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的均分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．25．以以下图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角均分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形．26．以以下图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形并说明原由．27．已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，试增加合适的条件使四边形ABCD成为特别的平行四边形，并说明原由．28．如图，已知在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．1）求证：四边形ABCD是菱形；2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．29．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．1）假如∠BAC=90°那么四边形AEDF是_________形；2）假如AD是△ABC的角均分线，那么四边形AEDF是_________形；（3）假如∠BAC=90°，AD是△ABC的角均分线，那么四边形AEDF是第3）题结论）_________形，证明你的结论（仅需证明30．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即（1）说明四边形ADEF是什么四边形（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形△ABD，△BCE，△ACF．请回答以下问题：5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为极点的四边形不存在（第（2）（3）（4）（5）题不用说明原由）矩形的判断30题参照答案：1.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AO=CO．∵△ACE是等边三角形，AE=CE．BE⊥AC．四边形ABCD是菱形．2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO=90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60，°∴∠AEB=30°∵∠AEB=2∠EAB，∴∠EAB=15，°∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60﹣°15°=45．°又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠BAO=90°∴四边形ABCD是正方形．2．（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角均分线，∴∠ACE+∠ACF=×180=90°，°AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC=∠AFC=90，°∴四边形AECF是矩形．（2）答：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，原由是：∵∠ACE=∠ACB=45°，∵∠AEC=90，°∴∠EAC=45=°∠ACE，AE=CE，∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．3．（1）故答案为∠AED（1分）；BF∥AC（2分）；EC（3分）；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．2）A层次：（提出问题（1分），说理1分）增加条件∠C=90°后四边形BFEC为矩形．（5分）原由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．（6分）．B层次：（提出问题分，说理1分）增加条件AC=2BC后四边形BFEC为菱形．原由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形又知AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，即一组邻边相等的平行四边形是菱形．C层次：（提出问题（3分），说理3分）增加条件∠C=90°且AC=2BC时四边形BFEC为正方形．（7分）原由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此时四边BFEC为矩形，又由于AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，一组邻边相等的矩形是正方形，所以此时四边形BFEC为正方形．4．∵四边形ABCD是矩形，∴四个内角均为90°，∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的均分线，∴∠EBC=∠ECB=45，°∴△EBC为等腰直角三角形，∴∠E=90，°同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，∴四边形MFNE为矩形，AD=BC，∠E=∠F=90，°∠DAF=∠EBC=45，°∴△DAF≌△CBE（AAS）AF=BE，∵AM=BM，AF﹣AM=BE﹣BM，即FM=EM，四边形MFNE是正方形．5．（1）∵四边形DBEC是平行四边形，DE∥BC，∵D为AB中点，DF为△ABC的中位线，即点F为AC的中点；（2）∵平行四边形BDEC，CE平行等于BD．∵D为AB中点，AD=BD，CE平行且等于AD，四边形ADCE为平行四边形，又∵AD=CD=BD，四边形ADCE为菱形；3）应增加条件AC=BC．证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90．°∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90．°四边形ADCE为正方形．（对角线相互垂直且相等的四边形是正方形）6．∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD也是平行四边形，又∵AC=BD（且AC，BD相互均分），∴四边形ABCD也为矩形，又∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形．7．∵DE均分∠ADE，EF⊥AD，EF⊥AD，EF=EG，∵DE=DE，△DEF≌△DGE（HL），∠DEF=∠EDG，∠DEG=∠EDF，FE∥DG，GE∥DF，四边形EFDG是平行四边形，∵∠EFD=90，°四边形EFDG是矩形，EF=EG，∴四边形EFDG是正方形．8．Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90，°AB=DC，又∵AM=DM，∴△AMB≌△DMC（SAS）∴∠AMB=∠DMC∵四边形PEMF为矩形，∴∠BMC=90，°∴∠AMB=∠DMC=45°AM=DM=DC，即AD=2DC．当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；法2：∵四边形PEMF为矩形，∴∠M为直角，B、C、M三点共圆，BC为直径，又∵M为AD的中点，BC=2CD，当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变成正方形．∵△AMB≌△DMC，MB=MC．∵四边形PEMF为矩形，PE∥MB，PF∥MC又∵点P是BC中点，PE=PF=MC四边形PEMF为正方形．9．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90，°在Rt△BDF和Rt△CDE中，，Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，DF=DE，四边形AFDE是正方形10．∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90，°AB=CD，∴∠CBE=∠ABE=45，°∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，AB=AD=BC=CD，四边形ABCD是正方形．11．（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90，°又∵D是BC中点，AB=AC，BD=CD，在△BFD与△CED中，∴△BED≌△CFD（AAS），DE=DF．（2）解：当△ABC为等腰直角三角形时，则有AE=DE=DF=AF，四边形AEDF为菱形，又∵∠A=90°，∴菱形AEDF为正方形12．过点D作DG⊥AB，垂足为G，∵∠CFD=∠CED=∠C=90，°∴四边形CEDF是矩形．AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的均分线，∴DF=DG，DG=DE．∴DF=DE．∴四边形CFDE是正方形．13．∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CFDE是矩形．又∵CD均分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，DE=DF．四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．14．（1）∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵D为BC边的中点，BD=CD．在△BED与△CFD中，∵，∴△BED≌△CFD（AAS）；2）四边形AEDF是正方形．原由以下：∵∠DEB=90，°∠A=90，°∴∠DEB=∠A，AF∥ED．同理，AE∥FD，四边形AEDF是矩形．又由（1）知，△BED≌△CFD，ED=FD，矩形AEDF是正方形15．（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，CE，CF分别为∠BCA，∠GCA的角均分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，OE=OF，2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，原由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，OA=OC=OE=OF，AC=EF，四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，原由：∵O点为AC的中点，OA=OC，OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．16．1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠PDB=∠PEC=90，°P是BC的中点，BP=PC，即∠BDP=∠PEC=90°，∠B=∠C，PB=PC，∴△PDB≌△PEC，PD=PE．2）答：DE∥BC，原由是：∵△PDB≌△PEC，BD=CE，∵AB=AC，=，DE∥BC．3）答：当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形，证明：∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE，∴矩形ADPE是正方形，即当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形．17．（1）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90，°∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90=45°，°∴∠ADB=180﹣°45°=135；°2）四边形CEDF是正方形．过D作DG⊥AB于G，∵AD、BD是∠CAB、∠CBA的均分线，∴DF=DG，DE=DG，DF=DE，∵△ABC是直角三角形，∠C=90，°DE⊥BC于E，DF⊥ACF，∴四边形CEDF是正方形．18．连接AC、BD订交于O∵菱形ABCDOA=OC=AC，OB=OD=BDAC=BDOA=OB∵OA⊥OB（菱形的对角线相互垂直）∴∠OAB=∠OBA=45°同理∠OBC=∠OCB=45°∴∠OBA+∠OBC=90°∴∠ABC=90°∴ABCD是正方形．19．①∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形；②∵四边形AEDF为菱形，AD均分∠BAC，则AD均分∠BAC时，四边形AEDF为菱形；③由四边形AEDF为正方形，∴∠BAC=90°，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可20．∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED=90，°∠AFD=90°∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形在△BDE和△CDF中AB=AC∴∠ABC=∠ACBDE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB=∠DFC又∵D是BC的中点BD=DC△BDE≌△CDFDE=DF□AEDF是正方形21．四边形CDFE是正方形原由以下：FD⊥AC，FE⊥BC，AC⊥BC∴四边形CDFE是矩形CF均分∠ACB∴∠FCD=45°CD=DF四边形CDFE是正方形22．∵∠ABC=90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90．°∴四边形BEDF为矩形．又∵BD均分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，DF=DE．矩形BEDF为正方形．23．∵四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG，又∵BE=CF=DG=AH，CG=DH=AE=BF△AEH≌△CGF≌△DHG，EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA，四边形EFGH为菱形，∵∠EFB+∠FEB=90，°∠EFB=∠HEA，∴∠FEB+∠HEA=90，°∴四边形EFGH是正方形．24．∵CD均分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，DE=DF，∠DFC=90，°∠DEC=90，°又∵∠ACB=90°，四边形DECF是矩形，DE=DF，∴矩形DECF是正方形．25．∵矩形的ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角均分线，∴∠BAE=∠ABE=45．°∴∠E=90．°同理，∠F=∠G=90°．∴四边形EFGH为矩形．AD=BC，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45，°∴△ADH≌△BCF（AAS）．AH=BF．又∵∠EAB=∠EBA，AE=BE．AE+AH=EB+BF，即EH=EF．矩形EFGH是正方形．26．四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．原由以下：E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，EF∥AC，且EF=AC，EH∥BD，且EH=BD，∵四边形EFGH是正方形，EF=EH，EF⊥EH，AC=BD，AC⊥BD，四边形ABCD满足对角线相互垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．即四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．27．本题答案不独一，以下是此中两种解法：1）增加条件AB∥DC，可得出该四边形是矩形；原由：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形．AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．2）增加条件AC垂直均分BD，那么该四边形是正方形．原由：∵AC垂直均分BD，AB=AD，BC=CD．∵AB=DC，AB=AD=BC=DC．四边形ABCD是菱形．AC垂直BD，∴四边形ABCD是正方形．28．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AO=CO=AC，EA=EC，EO⊥AC，即BD⊥AC，平行四边形ABCD是菱形；2）∵∠1=∠EAD+∠AED，∠DAC=∠EAD+∠AED，∴∠1=∠DAC，AO=DO，∵四边形ABCD是菱形，AC=2AO，DB=2DO，AC=BD，四边形ABCD是正方形．29．（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形；2）∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE=∠DAF，四边形AEDF是平行四边形，又∵AD是△ABC的角均分线，∴∠DAE=∠DAF，∴∠ADE=∠DAE，AE=DE，AEDF是菱形；（3）由（1）知四边形AEDF是矩形，由（2）知四边形AEDF是菱形，所以四边形AEDF是正方形．30．（1）四边形ADEF是平行四边形．∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，BE=BC，BD=BA．又∵∠DBE=60°﹣∠ABE，∠ABC=60°﹣∠ABE，∴∠DBE=∠ABC．在△BDE和△BCA中，∴△BDE≌△BCA．（2分）DE=AC．∵在等边三角形ACF中，AC=AF，DE=AF．同理DA=EF．四边形ADEF是平行四边形．2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（5分）原由：∵∠DAF=360°﹣∠DAB﹣∠BAC﹣∠CAF=90°，ADEF是矩形．3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是菱形．（6分）原由：∵AB=AC，AD=AF，ADEF是菱形．4）当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形．（7分）5）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为极点的四边形不存在．（8分）