PAGE数学竞赛第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试及答案1.有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握手，第三个到会的女生只差2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？2.分子小于6而分母小于60的不可约真分数有多少个？3.已知五个数依次是13，12，15，25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数，请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个0（参见图）？4.用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少不同的凑法？5.有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速每小时40千米，空车每小时50千米，问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几？（学生上下车时间不计）6.下面是两个1989位整数相乘！问乘积的各位数字之和是多少？1．28名男生2．共有197个3．可以连续地数到10个04．共有541种凑法5．第一班学生步行了全程的6．17，9011．【解】可以设想每个女生与最后一个与她握手的男生一同跳舞，不再与其他人握手.这样，一对对舞伴离开后，最后留下6(＝7－1)名男生，所以男生比女生多6名，由和差问
题
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的解法立即得到男生有(50＋6)÷2＝28名。2．【解】分子的取值范围是从1到5。当分子为1时，分母可从2到59．共有58个真分数。它们当然都是不可约分数。由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只须适合下列二个条件：1)分母大于分子且小于60.2)分母不是分子的倍数。经过简单的计算可以知道： 当分子为2时，适合条件的分母有29个； 当分子为3时，适合条件的分母有38个； 当分子为5时，适合条件的分母有44个；最后来看分子为4的情形，与分子为2基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为3所以共有28(＝29－1)个。总之。符合要求的分数共有：58＋29＋38＋44＋28＝197(个)答：分子小于6而分母小于60的不可约真分数共有197个。3．【解】几个整数的乘积，如果要确定它后面的几个0，可以用这样的办法：把每个乘数分解质因数，把分解中2的重数加起来，5的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就是乘积尾部0的个数。我们可以分别计算质因数2和5的重数。为此我们画两个图(如下)：图中的数是这样填的：以2的重数为例，第一行第一个数13不含因数2，在这个位置填O，第二个数12含2个因数2(12＝2×2×3)，在这个位置填2，等等。下面各行的数都是肩上两数的和(因为乘积的因数2的重数等于各乘数的因数2的重数的和)这样我们就把题中每个圈中数的质因数分解中的2的重数和5的重数分别标在两个图中了。特别地，最下面一个数的质因数分解中2的重数是10，5的重数是15，所以它尾部应该有10个0。答：可以连续地数到1O个0。4．【解】全部是5分的硬币，20枚可凑成一元钱。拿出1枚5分的硬币换成1分和2分的，有3种换法（2个2分的，1个2分的和0个2分的）；拿出2枚5分的硬币换成1分和2分的，有6种换法；拿出3枚5分的硬币换成1分和2分的，有8种换法。依此类推，当拿出的5分硬币为奇数n时，换法为（n×5＋1）÷2，当拿出的5分硬币为偶数n时，换法为n×5÷2＋1，所以，用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有1＋（（1＋3＋5＋…＋19）×5＋10）÷2＋（2＋4＋6＋…＋20）×5÷2＋10＝541种不同的凑法。5．【解】首先注意，由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此耍同时到达少年宫．两个班的同学步行的路程一定要一样长。我们画一个圈(见上图)来
分析
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，图中A是学校，B是少年宫，C是第一班学生下车的地点，D是第二班学生上车的地点，由上所述AD和CH一样长。设第一班同学下车时，第二班同学走到E处由于载学生时车速为每小时40千米，而步行的速度为每小时4千米．是车速的，因而AE是AC的。在第一班学生下车后，汽车从C处迎着第二班学生开。车速是每小时50千米，而第二班学生从E处以每小时4千米的速度向前走，汽车和第二班学生在D点相遇不难算出ED是EC的。由于EC是AC的1一＝，可见ED是AC的×＝，这样AD就是AC的＋＝。最后，由于AD＝CB，AD就是AB的÷(1＋)＝。答：第一班学生步行了全程的。6．【解】＝×9， ×9＝＝101989－1 因此×＝1234567901234…012345679×(101989一1)＝1234567901234…012345679一＝123456790…012345678987654320987654320…0987654321↑如果把最末一个1并到箭头所指的8上去，我们就得到221个12345679和221个98765432。所以数字和是221×81＝19，448答：乘积的数字和是19，448。
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