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2020高考数学 课后作业 2-8 函数与方程、函数模型及其应用

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2020高考数学 课后作业 2-8 函数与方程、函数模型及其应用PAGE2-8函数与方程、函数模型及其应用1.(2020·湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(  )[答案] C[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)0,f(eq\f(1,3))=(eq\f(1,2))eq\s\up16(\f(1,3))-(eq\f(1,3))eq\s\up16(\f(1,3))>0,f(eq\f(1,2))=(eq\f(1,2))eq\s\up16(\f(1,2)...

2020高考数学 课后作业 2-8 函数与方程、函数模型及其应用
PAGE2-8函数与方程、函数模型及其应用1.(2020·湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(  )[答案] C[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0,D选项中零点两侧函数值同号,故选C.2.(文)若函数f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线,且f(x)在(-2,2)内有一个零点,则f(-2)·f(2)的值(  )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定[答案] D[解析] 若函数f(x)在(-2,2)内有且仅有一个零点,且是变号零点,才有f(-2)·f(2)<0,故由条件不能确定f(-2)·f(2)的值的符号.(理)(2020·北京东城一模)已知函数f(x)=(eq\f(1,2))x-xeq\f(1,3),在下列区间中,含有函数f(x)零点的是(  )A.(0,eq\f(1,3))B.(eq\f(1,3),eq\f(1,2))C.(eq\f(1,2),1)D.(1,2)[答案] B[解析] f(0)=1>0,f(eq\f(1,3))=(eq\f(1,2))eq\s\up16(\f(1,3))-(eq\f(1,3))eq\s\up16(\f(1,3))>0,f(eq\f(1,2))=(eq\f(1,2))eq\s\up16(\f(1,2))-(eq\f(1,2))eq\s\up16(\f(1,3))<0,∵f(eq\f(1,3))·f(eq\f(1,2))<0,且函数f(x)的图象为连续曲线,∴函数f(x)在(eq\f(1,3),eq\f(1,2))内有零点.[点评] 一个简单的零点存在性判断 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理,难度不大,但有一定的综合性,要多加强这种小题训练,做题不一定多,但却能将应掌握的知识都训练到.3.(文)(2020·杭州模拟)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为(  )A.0    B.1    C.2    D.3[答案] C[解析] 在同一坐标系内作出函数y=|x-2|与y=lnx的图象,∵lne=1,e<3,∴由图象可见两函数图象有两个交点,∴函数f(x)有两个零点.(理)(2020·吉林市质检)函数f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x-sinx在区间[0,2π]上的零点个数为(  )A.1个  B.2个  C.3个  D.4个[答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与y=sinx的图象,易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点.4.(2020·深圳一检)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-eq\r(x)-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(  )A.x11,即x3>1,从而可知x10)上是单调函数,且f(0)·f(a)<0,则方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数是(  )A.3    B.2    C.1    D.0[答案] B[解析] ∵f(0)·f(a)<0,∴f(x)在[0,a]中至少有一个零点,又∵f(x)在[0,a]上是单调函数,∴f(x)在[0,a]上有且仅有一个零点.又∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)在[-a,0)中也只有一个零点,故f(x)在[-a,a]内有两个零点,即方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数为2个.故选B.6.(文)(2020·北京西城区抽检)某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务.它的部分机票价格如下:A—B为2000元;A—C为1600元;A—D为2500元;B—C为1200元;C—D为900元.若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比,则B—D的机票价格为(  )(注:计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内)A.1000元B.1200元C.1400元D.1500元[答案] D[解析] 注意观察各地价格可以发现:A、C、D三点共线,A、C、B构成以C为顶点的直角三角形,如图可知BD=5×300=1500.[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力,要在学习过程中加强培养.(理)(2020·济南一中)如图,A、B、C、D是四个采矿点,图中的直线和线段均表示公路,四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形,A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6:2:3:4,且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比.现从P、Q、R、S中选一个中转站,要使中转费用最少,则应选(  )A.P点   B.Q点   C.R点   D.S点[答案] B[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1,A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0),设si(i=1,2,3,4)表示运矿费用的总和,则只需比较中转站在不同位置时si(i=1,2,3,4)的大小.如果选在P点,s1=6a+2a×2+3a×3+4a×4=35a,如果选在Q点,s2=6a×2+2a+3a×2+4a×3=32a,如果选在R处,s3=6a×4+2a×3+3a+4a×2=33a,如果选在S处,s4=6a×4+2a×3+3a×2+4a=40a,显然,中转站选在Q点时,中转费用最少.7.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)单调递增,f(1)·f(2)<0.则函数y=f(x)的图象与x轴的交点个数是________.[答案] 2[解析] 由已知可知,在[0,+∞)上存在惟一x0∈(1,2),使f(x0)=0,又函数f(x)为偶函数,所以存在x′0∈(-2,-1),使f(x′0)=0,且x′0=-x0.故函数的图象与x轴有2个交点.8.(2020·浙江金华十校联考)有一批 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 可以建成200m长的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计).[答案] 2500m2[解析] 设所围场地的长为x,则宽为eq\f(200-x,4),其中00)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.[答案] -8[解析] 解法1:由已知,定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点,又f(x)在区间[0,2]上为增函数,所以方程f(x)=m(m>0)在区间[0,2]上有且只有一个根,不妨设为x1;∵f(x1)=-f(-x1)=-[-f(-x1+4)]=f(-x1+4),∴-x1+4∈[2,4]也是一个根,记为x2,∴x1+x2=4.又∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴f(x)是周期为8的周期函数,∴f(x1-8)=f(x1)=m,不妨将此根记为x3,且x3=x1-8∈[-8,-6];同理可知x4=x2-8∈[-6,-4],∴x1+x2+x3+x4=x1+x2+x1-8+x2-8=-8.解法2:∵f(x)为奇函数,且f(x-4)=-f(x),∴f(x-4)=f(-x),以2-x代入x得:f(-2-x)=f(-2+x)∴f(x)的图象关于直线x=-2对称,又f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于直线x=2也对称.又f(x-8)=f((x-4)-4)=-f(x-4)=f(x),∴f(x)的周期为8.又在R上的奇函数f(x)有f(0)=0,f(x)在[0,2]上为增函数,方程f(x)=m,在[-8,8]上有四个不同的根x1、x2、x3、x4.∴必在[-2,2]上有一实根,不妨设为x1,∵m>0,∴0≤x1≤2,∴四根中一对关于直线x=2对称一对关于直线x=-6对称,故x1+x2+x3+x4=2×2+2×(-6)=-8.10.当前环境问题已成为问题关注的焦点,2020的哥本哈根世界气候大会召开后,为减少汽车尾气对城市空气的污染,某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 ,原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污染,或者说非常小.请根据以下数据:①当前汽油价格为2.8元/升,市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12千米;②当前液化气价格为3元/千克,一千克液化气平均可跑15~16千米;③一辆出租车日平均行程为200千米.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱);(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元,请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱.[解析] (1)设出租车行驶的时间为t天,所耗费的汽油费为W元,耗费的液化气费为P元,由题意可知,W=eq\f(200t,12)×2.8=eq\f(140t,3)(t≥0且t∈N)eq\f(200t,16)×3≤P≤eq\f(200t,15)×3 (t≥0且t∈N),即37.5t≤P≤40t.又eq\f(140t,3)>40t,即W>P,所以使用液化气比使用汽油省钱.(2)①设37.5t+5000=eq\f(140t,3),解得t≈545.5,又t≥0,t∈N,∴t=546.②设40t+5000=eq\f(140t,3),解得t=750.所以,若改装液化气设备,则当行驶天数t∈[546,750]时,省出的钱等于改装设备的钱.11.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(  )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100[答案] C[解析] 观察前四个月的数据规律,(1,100),(2,200),(3,400),(4,790),接近(4,800),可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律,故选C.[点评] 也可以将x=1,2,3,4,依次代入四个选项中,通过对比差异大小来作判断,但计算量比较大.12.(文)(2020·舟山月考)函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx+2x-6 x>0,-xx+1x≤0))的零点个数是(  )A.0    B.1    C.2    D.3[答案] D[解析] 令-x(x+1)=0得x=0或-1,满足x≤0;当x>0时,∵lnx与2x-6都是增函数,∴f(x)=lnx+2x-6(x>0)为增函数,∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0,∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点,故f(x)共有3个零点.(理)(2020·瑞安中学)函数f(x)在[-2,2]内的图象如图所示,若函数f(x)的导函数f′(x)的图象也是连续不间断的,则导函数f′(x)在(-2,2)内有零点(  )A.0个B.1个C.2个D.至少3个[答案] D[解析] f′(x)的零点,即f(x)的极值点,由图可知f(x)在(-2,2)内,有一个极大值和两个极小值,故f(x)在(-2,2)内有三个零点,故选D.13.(2020·安徽江南十校联考)某 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(  )A.f(x)=eq\f(|x|,x)B.f(x)=eq\f(1,2x-1)+eq\f(1,2)C.f(x)=eq\f(ex-e-x,ex+e-x)D.f(x)=lgsinx[答案] C[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数,并且此函数存在零点. 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 证:f(x)=eq\f(|x|,x)不存在零点;f(x)=eq\f(1,2x-1)+eq\f(1,2)不存在零点;f(x)=eq\f(ex-e-x,ex+e-x)的定义域为全体实数,且f(-x)=eq\f(e-x-ex,e-x+ex)=-f(x),故此函数为奇函数,且令f(x)=eq\f(ex-e-x,ex+e-x)=0,得x=0,函数f(x)存在零点;f(x)=lgsinx不具有奇偶性.14.(文)(2020·山东济宁一模)已知a是函数f(x)=2x-eqlog\s\do8(\f(1,2))x的零点,若00D.f(x0)的符号不确定[答案] B[解析] 分别作出y=2x与y=eqlog\s\do8(\f(1,2))x的图象如图,当00)),把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为(  )A.an=eq\f(nn-1,2)(n∈N*)B.an=n(n-1)(n∈N*)C.an=n-1(n∈N*)D.an=2n-2(n∈N*)[答案] C[解析] 当x≤0时,f(x)=2x-1;当00;当s>20时,v′<0.所以当s=20时,v取得最大值.因此李明向张林要求赔付价格s为20元/吨时,获得最大净收入.1.(2020·江苏南通九校)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则eq\f(1,m)+eq\f(1,n)的取值范围是(  )A.(3.5,+∞)B.(1,+∞)C.(4,+∞)D.(4.5,+∞)[答案] B[分析] 欲求eq\f(1,m)+eq\f(1,n)的取值范围,很容易联想到基本不等式,于是需探讨m、n之间的关系,观察f(x)与g(x)的表达式,根据函数零点的意义,可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4的交点的横坐标,因为指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数,故其图象关于直线y=x对称,又因直线y=-x+4垂直于直线y=x,指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4的交点的横坐标之和是直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍,这样即可建立起m,n的数量关系式,进而利用基本不等式求解即可.[解析] 令ax+x-4=0得ax=-x+4,令logax+x-4=0得logax=-x+4,在同一坐标系中画出函数y=ax,y=logax,y=-x+4的图象,结合图形可知,n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x,y=-x+4)),解得x=2,所以n+m=4,因为(n+m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)+\f(1,m)))=1+1+eq\f(m,n)+eq\f(n,m)≥4,又n≠m,故(n+m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)+\f(1,m)))>4,则eq\f(1,n)+eq\f(1,m)>1.2.(2020·温州十校模拟)已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是(  )A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-∞,0)[答案] B[解析] 当m≤0时,显然不合题意;当m>0时,f(0)=1>0,①若对称轴eq\f(4-m,2m)≥0即04,只要Δ=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0即可,即40,a≠1),那么函数f(x)的零点个数是(  )A.0个B.1个C.2个D.至少1个[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y=ax与y=x+a的图象,a>1时,如图(1),00,所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1=1+a-b≤0,f2=8+2a-b≥0)),解得a+1≤b≤8+2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有:a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8.a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12.a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12.a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为eq\f(11,16).7.设函数y=x3与y=(eq\f(1,2))x-2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是(  )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)[答案] B[解析] 令g(x)=x3-22-x,可求得g(0)<0,g(1)<0,g(2)>0,g(3)>0,g(4)>0.易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2).8.(2020·福建理,4)函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+2x-3,x≤0,,-2+lnx,x>0))的零点个数为(  )A.0    B.1    C.2    D.3[答案] C[解析] 令x2+2x-3=0得,x=-3或1∵x≤0,∴x=-3,令-2+lnx=0得,lnx=2∴x=e2>0,故函数f(x)有两个零点.9.(2020·龙岩模拟)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(08时,在x=a时,矩形面积取最大值u=a(16-a),在[a,12]上为减函数,故选C.10.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0.①有三个实根②当x<-1时,恰有一实根③当-11时,恰有一实根正确的有________.[答案] ①②[解析] ∵f(-2)=-5.99<0,f(-1)=0.01>0,即f(-2)·f(-1)<0,∴在(-2,-1)内有一个实根,结合图象知,方程在(-∞,-1)上恰有一个实根.所以②正确.又∵f(0)=0.01>0,结合图象知f(x)=0在(-1,0)上没有实数根,所以③不正确.又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,f(1)>0.所以f(x)=0在(0.5,1)上必有一实根,在(0,0.5)上也有一个实根.∴f(x)=0在(0,1)上有两个实根.所以④不正确.由f(1)>0结合图象知,f(x)=0在(1,+∞)上没有实根,∴⑤不正确,由此可知①正确.
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分类:高中数学
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