PAGE3.1.1归纳推理自主整理1.根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断这类事物中每一个都有这种属性,我们把这种推理方式称为_____________.2.归纳推理是由_____________到_____________,由_____________到_____________的推理.3.归纳推理得出的结论_____________(填“一定”或“不一定”)正确.高手笔记1.欧拉公式:一个凸多面体中,多面体的面数(F)、棱数(E)、顶点数(V),它们之间的关系为:V-E+F=2.2.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠,学习中通过实例去分析、归纳问题的一般性命题,加强应用.特别注意,由归纳推理所获得的结论,仅仅是一种猜测,并不一定可靠,其可靠性需要通过证明.3.对于数列的通项公式和前n项和的求法,常用归纳猜想.4.归纳推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径,通过归纳推理发现许多未知的内容是科学前沿结论的重要手段.名师解惑1.归纳推理得到的结论一定正确吗?剖析:归纳推理是根据已经知道的个别事例具有的属性推断出所有这类事物所具有的共性,有时结论正确,有时结论不正确.在归纳结论时,要对大量的个体进行观察,其正确性还需要通过严格的证明,不正确的结论只需举出一个特例不符合即可.讲练互动【例1】如下图是由一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=…=1,记OA1、OA2、OA3、…、OA8、…、OAn的长度所成的数列为{ln}(n∈N),(1)写出数列的前4项;(2)求{ln}的通项公式.分析:(1)利用勾股定理可逐项求出前4项;(2)观察归纳规律得通项公式.解:(1)∵l1=OA1=1,由勾股定理得l2===.l3===.l4===2.(2)观察{ln}的前n项,可以发现数列的项恰好是序号n的算术平方根.∴通项公式an=.绿色通道本题目显然有ln+1=,∴ln+12=ln2+1,{ln2}为等差数列,首项为1,∴ln2=1+(n-1)=n.∴ln=.数列问题可通过求得前n项、观察得到通项公式.变式训练1.根据所给数列前几项的值,,,,,…,猜想数列的通项公式.解:=,=,,,,……于是猜想该数列的通项公式为an=.【例2】已知数列{an}满足an+1=an2-nan+1(n=1,2,3,…),当a1=2时,求a2、a3、a4,并由此猜想出an的一个通项公式.分析:本题主要考查猜想、归纳推理及分析和解决问题的能力,先求出a2、a3、a4,并结合a1,观察它们之间有什么共同的特征,然后猜想通项公式.解:由a1=2,得a2=3,由a2=3,得a3=4,由a3=4,得a4=5,由此猜想an=n+1(n≥1且n∈N+).绿色通道解决此类问题,要写出前几项,通过观察、分析、比较找出规律,从而猜测出可能的结果.变式训练2.已知数列{an}的第1项a1=1,且an+1=(n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.解:当n=1时,a1=1,a2=,a3==,a4==.观察可得an=.【例3】在平面内观察:凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线,……由此猜想凸n边形有几条对角线?分析:在找规律时,尽量发现对角线的条数与凸n边形的边数n之间的直接关系,或寻找与前面n-1边形的对角线条数之间的关系.解:凸四边形有2条对角线.凸五边形的对角线比凸四边形多3条.凸六边形的对角线比凸五边形多4条.……于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线,由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2)=n(n-3)(n≥4,n∈N+).绿色通道在归纳推理的过程中,应注意探求前后联系,如本题中随多边形边数及对角线条数的共变现象作定量分析,才能发现其对角线条数的增加规律.变式训练3.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,试归纳它们的交点个数.解:n=2时,交点个数f(2)=1,n=3时,交点个数f(3)=3=1+2,n=4时,交点个数f(4)=6=3+3=1+2+3,n=5时,交点个数f(5)=10=6+4=1+2+3+4.……猜出f(n)=1+2+3+…+n-1=(n≥2).【例4】猜想不等式1+++…+>满足什么条件成立?分析:不等式的左边不能合并,但当n取较小的自然数时,可以合并,n可从1开始取值进行探讨.解:当n=1时,左边=1,右边==,不等式不成立.当n=2时,左边=1+=,右边===.∵2+<,∴左边<右边,不等式不成立.当n=3时,左边=1++=,右边==2,左边>>2=右边.∴不等式成立.猜想当n∈N且n≥3时不等式成立.绿色通道有些结论是在某些条件下成立,不一定恒成立,需探究其成立的条件.变式训练4.zf(n)=n2+n+41,n∈N+，计算f(1),f(2),…,f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数,∴归纳猜想f(n)=n2+n+41的值都为质数.当n=40时,f(40)=402+40+41=40×41+41=41×41,∴f(40)是合数.∴上面归纳推理得到的猜想不正确.
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