PAGE第三章函数一、基础知识定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射．定义2单射，若f:A→B是一个映射且对任意x，y∈A，xy，都有f(x)f(y)则称之为单射．定义3满射，若f:A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f:A→B是A到B上的满射．定义4一一映射，若f:A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:A→B．定义5函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数．A称为它的定义域，若x∈A，y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象．集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0，x∈R}.定义6反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x，y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称．定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数．定义7函数的性质．（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1，x2∈I并且x1
f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间．（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期．定义8如果实数aa}记作开区间（a，+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞，a].定义9函数的图象，点集{(x，y)|y=f(x)，x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域．通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a，b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称．定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”．例如y=，u=2-x在（-∞，2）上是减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞，2）上是增函数．注：复合函数单调性的判断方法为同增异减．这里不做严格论证，求导之后是显然的．二、方法与例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1．数形结合法．例1求方程|x-1|=的正根的个数.xyx11x【解】分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根．例2求函数f(x)=的最大值．【解】f(x)=，记点P(x，x 2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示动点P到点A和B距离的差．因为|PA|-|PA|≤|AB|=，当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立．所以f(x)max=2.函数性质的应用．例3设x，y∈R，且满足，求x+y.【解】设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增．事实上，若a0，所以f(t)递增．由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围．【解】因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)0，则由①得n<0，设f(t)=t(+1)，则f(t)在（0，+∞）上是增函数．又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=ⅱ)若m<0，且n>0．同理有m+n=0，x=，但与m<0矛盾．综上，方程有唯一实数解x=3.配方法．例7求函数y=x+的值域．【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1=(+1)-1≥-1=-.当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）．4．换元法．例8求函数y=(++2)(+1)，x∈[0，1]的值域．【解】令+=u，因为x∈[0，1]，所以2≤u2=2+2≤4，所以≤u≤2，所以≤≤2，1≤≤2，所以y=，u2∈[+2，8]．所以该函数值域为[2+，8]．5．判别式法．例9求函数y=的值域．【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①当y1时，①式是关于x的方程有实根．所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.又当y=1时，存在x=0使解析式成立，所以函数值域为[，7]．6．关于反函数．例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数．若f(x)在(-∞，+∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞，+∞)上也是增函数．【证明】设x10，所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增．在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0，所以x，y∈[-，+∞）.若xy，设xy也可得出矛盾．所以x=y.即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0，即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0，因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1.三、基础训练题1．已知X={-1，0，1}，Y={-2，-1，0，1，2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个．2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f(x)]=f(x)的映射有_______个．3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点．4．函数y=f(x)的值域为[]，则函数g(x)=f(x)+的值域为_______．5．已知f(x)=，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______．6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______．7．设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______．8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称．9．函数f(x)满足=1-，则f()=_______．10.函数y=，x∈(1，+∞)的反函数是_______．11．求下列函数的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=12.已知定义在R上，对任意x∈R，f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[-2，0]时，求f(x)的解析式．四、高考水平训练题1．已知a∈，f(x)定义域是（0，1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______．2．设0≤a<1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值．则f(x)定义域为_______．3．映射f:{a，b，c，d}→{1，2，3}满足100，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数．11．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α<β），已知函数f(x)=，（1）求f(α)、f(β)；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1，x2，求证：<2|α-β|.五、联赛一试水平训练题1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.2．若a>0，a1，F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是________（奇偶性）.3．若=x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=________.5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1．若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=________.6.函数f(x)=的单调递增区间是________.7.函数f(x)=的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）．8.函数y=x+的值域为________.9．设f(x)=，对任意的a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1，3]}-min{f(x)-ax|x∈[1，3]}，试求V(a)的最小值．10．解方程组：（在实数范围内）11．设k∈N+，f:N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+，有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈N+，都有n≤f(n)≤六、联赛二试水平训练题1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0，f(x)=x·f；（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0，f(x)f=1，试求f(1).3.f:[0，1]→R满足：（1）任意x∈[0，1]，f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x，y，x+y∈[0，1]时，f(x)+f(y)≤f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.4.试求f(x，y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0，y>0)的最小值．5．对给定的正数p，q∈(0，1)，有p+q>1≥p2+q2，试求f(x)=(1-x)+在[1-q，p]上的最大值．6．已知f:(0，1)→R且f(x)=.当x∈时，试求f(x)的最大值．7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求f(100)的值．8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变．（1）求证：方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数．9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f:Q+→Q+，满足这样的条件：f(xf(y))=x，y∈Q+.
浙公网安备 33021202002483