甘肃省2020届高三数学第二次诊断考试试题 文（含解析）

PAGE2020年甘肃省第二次高考诊断考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的平方运算法则求出z=2i,即得|z|.【详解】由题得z=2i,所以|z|=2.故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出N={-1,0,1,2,3},再求得解.【详解】由题得N={x|-1≤x≤3，={-1,0,1,2,3},所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知向量，向量，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用向量平行的坐标表示求m的值.【详解】由题得.故选：B【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.等差数列的前项和为，若，，则（）A.12B.15C.18D.21【答案】A【解析】【分析】由已知求出的值，再利用等差数列的通项求得解.【详解】由题得.所以.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.若实数，满足约束条件则的最大值为（）A.2B.4C.16D.20【答案】C【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域为图中的三角形，再利用数形结合分析得到z=x+y的最大值.【详解】由题得不等式组对应的可行域为图中的三角形区域，由z=x+y得y=-x+z,所以当直线经过点A时，直线的纵截距最大，z最大.联立得A(7,9).所以z最大值为7+9=16.故选：C【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示.现用一与下底面平行且与下底面距离为的平面去截该几何体，则截面面积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．【详解】由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为，大圆半径为2，设小圆半径为，则，得到，所以截面圆环的面积.故选：．【点睛】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积．7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，再利用和角的正切公式求的值.【详解】由题得，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查解三角方程，考查和角的正切公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.若，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质、对数指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于选项A,不一定成立，如a=1＞b=-2,但是，所以该选项是错误的；对于选项B,所以该选项是错误的；对于选项C,ab符合不确定，所以不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D,因为a>b,所以，所以该选项是正确的.故选：D【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查对数指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.设直线与圆相交于，两点，若，则（）A.-1或1B.1或5C.-1或3D.3或5【答案】B【解析】【分析】先求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离为求出a的值.【详解】由题得圆的方程为，所以圆心为(-1,2),半径为.所以圆心到直线的距离为.故选：B【点睛】本题主要考查圆的标准方程，考查圆心到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.若点在函数的图象上，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题得再利用导数求函数g(m)最小值得解.【详解】由题得所以，所以函数g(m)的增区间为，减区间为，所以.所以的最小值是.故选：C【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最小值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.根据如下样本数据：12345-10.52.5得到的回归方程为.样本点的中心为，当增加1个单位，则近似（）A.增加0.8个单位B.减少0.8个单位C.增加2.3个单位D.减少2.3个单位【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到a+b=-1.5,0.1=3b+a，解方程组即得b的值，即得解.【详解】由题得因为0.1=3b+a,所以解方程组得a=-2.3,b=0.8.所以y=0.8x-2.3,所以当增加1个单位，则近似增加0.8个单位.故选：A【点睛】本题主要考查回归方程的意义和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.函数的图象关于直线对称，如图所示，则方程的所有根之和为（）A.8B.6C.4D.2【答案】A【解析】【分析】由题得f(x)=2或3，再求出f(x)=2两根之和为4，f(x)=3两根之和为4，即得解.【详解】因为，所以f(x)=2或3，由函数的图象得f(x)=2有两个根，且两个根关于直线x=2对称，所以，同理f(x)=3的两个根的和为，所以方程的所有根之和为4+4=8.故选：A【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数则________.【答案】-2【解析】【分析】先计算出,再求得解.【详解】由题得，所以=f(-2)=.故答案为：-2.【点睛】本题主要考查对数和指数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.14.数列的前项和为，且满足，，则________.【答案】.【解析】【分析】因为，所以数列是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求.【详解】因为，所以，所以数列是以为首项，以2为公比等比数列，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列性质的判断，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.直三棱柱-中，，，则直线与面所成角的正切值为________.【答案】.【解析】【分析】如图所示，连接交于点O,连接，证明就是直线与面所成的角，再求的正切得解.【详解】如图所示，连接交于点O,连接.由题得四边形是正方形，所以,由题得，所以，因为,所以OC⊥平面,所以就是直线与面所成的角，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据在直线上，设出点M的坐标，写出向量、；利用得出方程，再由△求出p的取值范围．【详解】由题得在直线上，设点，，；又，，即；△，即，解得，或，又，的取值范围是，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在三个角互不相等的锐角三角形中，角，，的对边分别为，，.若.（Ⅰ）求角范围；（Ⅱ）求函数的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）先利用正弦定理化简得，再根据A,B,C是三个角互不相等的锐角得到A的范围；（Ⅱ）化简得，再根据A的范围，结合三角函数的图像和性质得到函数的值域.详解】解：（I）由及正弦定理得，若则，故舍，因为锐角三角形，故解得，所以所求角的范围是.（Ⅱ）由得故有所以的值域为.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查三角函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.某精准扶贫帮扶单位，为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助精准扶贫户利用互联网电商渠道销售当地特产苹果.苹果单果直径不同单价不同，为了更好的销售，现从该精准扶贫户种植的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间[50，95]内（单位：），统计的茎叶图如图所示：（Ⅰ）按分层抽样的方法从单果直径落在[80，85），[85，90）的苹果中随机抽取6个，再从这6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在[85，90）内的概率；（Ⅱ）以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率.已知该精准扶贫户有20000个约5000千克苹果待出售，某电商提出两种收购方案：方案：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在[50，65）内按35元/箱收购，在[65，90）内按50元/箱收购，在[90，95]内按35元/箱收购.包装箱与分拣装箱工费为5元/箱.请你通过计算为该精准扶贫户推荐收益最好的方案.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）选择方案收购收益更好.【解析】【分析】（I）直接利用古典概型的概率公式求这两个苹果单果直径均在[85，90）内的概率；（Ⅱ）分别求出方案A,B该扶贫户收益,再比较大小找到推荐方案.【详解】解：（I）单果直径落在[80，85）有6个，单果直径落在[85，90）有12个，比例为1：2，所以应从单果直径落在[80，85）内抽取2个，记这两个为，从单果直径落在[85，90）抽取4个，记这四个为，，.从这6个中抽取两个的所有结果是：，，，，.，，，，，，，..共15种.这2个苹果单果直径均在[85，90）内的有6种，所以2个苹果单果直径均在[85，90）内的概率为.（Ⅱ）按方案该扶贫户收益为：（元）.按方案该扶贫户收益为：（元），所以，该精准扶贫户选择方案收购收益更好.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查实际收益的计算，考查茎叶图和分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.等腰直角三角形中，，点为的中点，垂直交于，如图①.将沿折起，使到达的位置，且使平面平面，连接，，如图②.（Ⅰ）若为的中点，求证：；（Ⅱ）当三棱锥的体积为时，求点到面的距离.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先证明平面，即证；（Ⅱ）设，设点到平面的距离为，根据求出点到面的距离.【详解】解：（I），，平面，又在图①中，，，平面，而平面，，，是的中点，平面，而平面，.（Ⅱ）设，由三棱锥的体积得，，，设是的中点，则且，.设点到平面的距离为，因.而所以.故到面的距离为.【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查点到平面的距离的计算和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.椭圆经过点，左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且满足的点只有两个.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在一点，使得的角平分线是轴？若存在求出，若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题得点为椭圆的上下顶点，得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据得到.所以存在点，使得的平分线是轴.【详解】解：（I）由题设知点为椭圆的上下顶点，所以，b=c,,故，,故椭圆方程为.（Ⅱ）设直线的方程为，联立消得设，坐标为，则有，，又，假设在轴上存在这样的点，使得轴是的平分线，则有而将，，代入有即因为，故.所以存在点，使得的平分线是轴.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和椭圆中的存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.函数.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若，求的单调区间；（Ⅲ）若，证明：在有唯一零点.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在上单调递减；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）利用导数求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）利用导数研究函数的单调性，再研究函数的零点.【详解】解：（Ⅰ）若，则，，故，即曲线在点处的切线斜率为5，又，所以所求切线方程为：，即.（Ⅱ）当时，的定义域为，当，时，，在和上单调递增.当时，，在上单调递减.（Ⅲ）由得设，，当时，，有，即，故在单调递增.又，，所以在有唯一零点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用极化直公式化简得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再根据求出直线的斜率.【详解】解：（Ⅰ）由，，，得即所求曲线的直角坐标方程为：（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得由是的中点知，即所以直线的斜率为.【点睛】本题主要考查极直互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.设函数.（Ⅰ）若不等式的解集是，求，的值；（Ⅱ）设，，，求证：.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）解不等式得，再比较得到a,b的方程组，即得a,b的值；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式证明.【详解】解：（Ⅰ）由得.由已知有：解得，（Ⅱ）由，，，得.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.