1.1.1角的概念的推广

第3章——三角函数3.1　弧度制与任意角3.1.1　角的概念的推广[学习目标]1.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义.2.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这些角．1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功栏目索引CONTENTSPAGE1．手表慢了5分钟,如何校准？手表快了半小时,又如何校准？答　可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转180°.2．在初中角是如何定义的？答　定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．3．初中所学角的范围是什么？答　角的范围是[0°,360°]．[知识链接]预习导学挑战自我，点点落实‹#›3.1.1　角的概念的推广1．角的概念(1)角的定义：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．(2)角的表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：①常用大写字母等表示；②也可以用希腊字母,,等表示；③特别是当角作为变量时,常用字母表示．[预习导引]一条射线端点旋转A,B,Cαβγx‹#›3.1.1　角的概念的推广(3)角的分类：一条射线绕着端点以的旋转为正向,所成的角称为,用来表示；旋转所成的角称为,用负的角度来表示；不旋转所成的角称为,用表示．逆时针方向正角正的角度顺时针方向负角零角0°‹#›3.1.1　角的概念的推广2．象限角角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角设α＝∠AOB,则所有以OA为始边,OB为终边的角都是α与______________的和,组成集合,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与的和.第几象限角整数个周角整数个周角S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}‹#›3.1.1　角的概念的推广例1　在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角.其中错误说法的序号为________要点一　任意角概念的辨析课堂讲义重点难点，个个击破‹#›3.1.1　角的概念的推广解析　①0°～90°的角α是指0°≤α＜90°,0°角不属于任何象限,所以①不正确.②120°是第二象限角,390°是第一象限角,显然390°>120°,所以②不正确.③钝角α的范围是90°＜α＜180°,显然是第二象限角,所以③正确.④锐角α的范围是0°＜α＜90°,小于90°的角也可以是零角或负角,所以④不正确.答案　①②④‹#›3.1.1　角的概念的推广规律方法　判断说法错误,只需举一个反例即可.解决本题关键在于正确理解各类角的定义.随着角的概念的推广,对角的认识不能再停留在初中阶段,否则判断容易错误.‹#›3.1.1　角的概念的推广跟踪演练1　设A＝{小于90°的角},B＝{锐角},C＝{第一象限角},D＝{小于90°而不小于0°的角},那么有(　　)A.BCAB.BACC.D(A∩C)D.C∩D＝B‹#›3.1.1　角的概念的推广解析　锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围,如下表所示.角集合表示锐角B＝{α|0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90,k∈Z}答案　D‹#›3.1.1　角的概念的推广要点二　象限角的判定例2　在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解　(1)因为－150°＝－360°＋210°,所以在0°～360°范围内,与－150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°,所以在0°～360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′,所以在0°～360°范围内,与－950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.‹#›3.1.1　角的概念的推广规律方法　本题要求在0°～360°范围内,找出与已知角终边相同的角,并判断其为第几象限角,这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.‹#›3.1.1　角的概念的推广跟踪演练2　给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角,其中正确的有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个‹#›3.1.1　角的概念的推广解析　对于①：如图1所示,－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示,225°角是第三象限角；对于③：如图3所示,475°角是第二象限角；对于④：如图4所示,－315°角是第一象限角.答案　D‹#›3.1.1　角的概念的推广要点三　终边相同的角的应用例3　在与角10030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角.解　(1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z),由－360°<k·360°＋10030°<0°,得－10390°<k·360°<－10030°,解得k＝－28,故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10030°<360°,得－10030°<k·360°<－9670°,解得k＝－27,故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10030°<720°,得－9670°≤k·360°<－9310°,解得k＝－26,故所求的角为β＝670°.‹#›3.1.1　角的概念的推广规律方法　求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.‹#›3.1.1　角的概念的推广跟踪演练3　写出与α＝－1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来.解　由终边相同的角的表示知与角α＝－1910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°－1910°,k∈Z}.∵－720°≤β<360°,即－720°≤k·360°－1910°<360°(k∈Z),‹#›3.1.1　角的概念的推广k＝4时,β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5时,β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6时,β＝6×360°－1910°＝250°.‹#›3.1.1　角的概念的推广要点四　区域角的表示例4　写出终边落在阴影部分的角的集合.解　设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°,k∈Z}.②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,k∈Z}.∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°,k∈Z}‹#›3.1.1　角的概念的推广∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°,k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°,k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°,或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°,k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°,n∈Z}.‹#›3.1.1　角的概念的推广规律方法　解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合,再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界的差异.‹#›3.1.1　角的概念的推广跟踪演练4　已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°,k∈Z},集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°,k∈Z}.求：(1)A∩B；(2)A∪B.解　在直角坐标系中,分别画出集合A,B所包含的区域,结合图形可知,A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°,k∈Z},A∪B＝{γ|k·360°－45<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270,k∈Z}.‹#›3.1.1　角的概念的推广1.－361°的终边落在(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D1234当堂检测当堂训练，体验成功‹#›3.1.1　角的概念的推广2.集合A＝{α|α＝k·90°－36°,k∈Z},B＝{β|－180°＜β＜180°},则A∩B等于(　　)A.{－36°,54°}B.{－126°,144°}C.{－126°,－36°,54°,144°}D.{－126°,54°}解析　令－180°＜k·90°－36°＜180°,则－144°＜k·90°＜216°,当k＝－1,0,1,2时,不等式均成立,所对应的角分别为－126°,－36°,54°,144°,故选C.1234C‹#›3.1.1　角的概念的推广3.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么角α＝________.解析　由于5α与α的始边和终边相同,所以这两角的差应是360°的整数倍,即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°,令k＝3,得α＝270°.1234270°‹#›3.1.1　角的概念的推广4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解　终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°,k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°,k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°,k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°,k∈Z}＝{β|β＝2k·90°,k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°,k∈Z}＝{β|β＝n·90°,n∈Z}.1234‹#›3.1.1　角的概念的推广1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转量”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同角的认识一般地,若角α始边与x轴非负半轴重合,则所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.课堂小结‹#›3.1.1　角的概念的推广注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号,k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少.‹#›3.1.1　角的概念的推广