利用导数求参数的取值范围课型：专
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
复习课复习重点：利用导数的有关知识，求参数的取值范围基础知识：导数的几何意义、函数的极值和最值的求法、函数单调性的充要条件的应用.复习难点：解题方法灵活变通.已知函数单调性，求参数的取值范围类型1参数放在函数
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达式上例1.设函数f(x)2x33(a1)x26ax8其中aR.若f(x)在x3处得极值,求常数a的值.若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围略解：(1)由f'(3)0解得a3•经检验知a3时,x3为f(x)的极值点(2)方法1:f'(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)当a1时,f(x)在(,1),(a,)上递增,符合条件.当a1时,f(x)6(x1)20恒成立,f(x)在(,)上递增.当a1时,f(x)在(，a),(1,)上递增,要保证f(x)在(，0)上递增，则0a1综上所述.a0时,f(x)在(,0)上递增.方法2：因为f(x)在(，0)上递增所以f'(x)0在x(,0)上恒成立即x(x1)a(x1)在x(,0)上恒成立x0,xxa从而a010方法3.保证f(x)6x26(a1)x6a在(,0］上最小值大于或等于零a1a10故有20或20f'(0)0可解得a0解题方法总结：求f'(x)后，若能因式分解则先因式分解，讨论f'(x)=O两根的大小判断函数f(x)的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.基础训练：1设函数f(x)2x33(a1)x解得m(,3］［—,2］总结:先判断函数的单调性，再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.基础训练：2已知函数f(x)x33x27,若f(x)在［a,a1］上单调递增，求a的取值范围.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上2例3.已知f(x)x3ax2bxc在x一与x1时都取得极值(1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间.⑵若对X［1,2］,不等式f(x)c恒成立，求C的取值范围.1略解：(1)a-,b221,其中a1.求f(x)的单调区间;.讨论f(x)的极值.类型2.参数放在区间边界上例2•已知函数f(x)ax3bx2cxd在x0处取得极值，曲线yf(x)过原点和点p(-1,2),若曲线yf(x)在点P处的切线与直线y2x的夹角为45且切线的倾斜角为钝角.(1)求f(x)的表达式⑵若f(x)在区间［2m-1,m+1］上递增,求m的取值范围.略解(1)f(x)x33x2(2)f'(x)3x26x3x(x2)可知f(x)在(，2),(0,)上递增，在(2,0)上递减从而只要保证［2m1,m1］是(，2)或(0,)的一个子区间m12亠2m10所以或m12m1m12m1TOC\o"1-5"\h\z2223(2).f'(x)3x2x2,由3x2x20得x或x1且f()c,f⑴c32721f(1)c,f(2)2c,所以f(x)在［1,2］上的最大值为f(2)2c从而c22c,解得c1或c2总结:区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值.23已知函数f(x)x3—2基础训练：2x5,若对任意x［1,2］都有f(x)m则实数m的取值范围是类型2.参数放在区间上例4.已知三次函数f(x)ax35x2cxd图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值.求f(x)的解析式.当x(0,m)时，f(x)>0恒成立，求实数m的取值范围.分析:(1)f(x)x35x23x9(2).f(x)3x210x3(3x1)(x3)由f(x)0得％^,X23当x(0,1)时f'(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)f(0)9331当x(—,3)时f'(x)0,f(x)单调递减，所以f(x)f(3)03所以当m3时f(x)0在(0,m)内不恒成立，当且仅当m(0,3］时f(x)0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3］基础训练：4.若不等式x44x32a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是.知函数图象的交点情况，求参数的取值范围.例5.已知函数f(x)ax3bx23x在x1,x1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式.⑵若过点A(1,m)(m2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.略解(1)求得f(x)x33x⑵设切点为M(xo,x；3xo),因为f'(x)3x23所以切线方程为ym(3x23)(x1),又切线过点M所以x33x0m(3x23)(xo1)即2x33x2m30因为过点A可作曲线的三条切线，所以关于x0的方程有三个不同的实数根设g(Xo)2x33x；m3则g'(x°)6x：6x°由g'(x0)o得x0o或x01所以g(x0)在(，0),(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减，故函数g(x0)的极值点为x00,x01所以关于x0的方程有三个不同实根的充要条件是g(0)°解得3m2g(1)0所求的实数m的取值范围是(3,2)总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x轴交点个数.基础训练：5设a为实数，函数f(x)x3x2xa求f(x)的极值当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点开放型的问题，求参数的取值范围。例6.已知f(x)xc,且f[f(x)]f(x1)o设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式。设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在R，使(x)在(，1)上是单调递减函数，且在(1,0)上是单调递增函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由。TOC\o"1-5"\h\z分析：(1)易求c=1,g(x)x42x22(2)(x)g(x)f(x)二x4(2)x2(2),•••(x)2x[2x2(2)]由题意(x)在(，1)上是单调递减函数，且在(1,0)上是单调递增函数知，(1)0是极小值，.••由(1)0得4当4，x(1,0)时，(x)0,•••(x)是单调递增函数；x(,1)时，(x)0,•••(x)是单调递减函数。所以存在4，使原命题成立。在文科数学中，涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决，只要把导数的几何意义，用导数求函数的极值及最值，用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂，那么,利用导数求参数的取值范围这个问题即可迎刃而解.
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