高中三角函数》全部教案

-.z.三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转〞定义角的概念，并进而理解“正角〞“负角〞“象限角〞“终边一样的角〞的含义。过程：一、提出课题：“三角函数〞回忆初中学过的“锐角三角函数〞——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数〞，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广回忆：初中是任何定义角的？〔从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形〕这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘〞讲解：“旋转〞形成角〔P4〕突出“旋转〞注意：“顶点〞“始边〞“终边〞“始边〞往往合于轴正半轴“正角〞与“负角〞——这是由旋转的方向所决定的。记法：角或可以简记成由于用“旋转〞定义角之后，角的围大扩大了。1角有正负之分如：=210=150=6602角可以任意大实例：体操动作：旋转2周〔360×2=720〕3周〔360×3=1080〕3还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角〞为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角〔角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限〕例如：30390330是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等四、关于终边一样的角1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边一样2．终边一样的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和390=30+360330=3036030=30+0×3601470=30+4×3601770=305×3603．所有与终边一样的角连同在可以构成一个集合即：任何一个与角终边一样的角，都可以表示成角与整数个周角的和4．例一〔P5略〕五、小结：1角的概念的推广用“旋转〞定义角角的围的扩大2“象限角〞与“终边一样的角〞第二教时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。过程：一、回忆〔复习〕度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制它的单位是rad读作弧度orC2rad1radrl=2roAAB定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0角的弧度数的绝对值〔为弧长，为半径〕用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量一样〔都是0〕用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算抓住：360=2rad∴180=rad∴1=例一把化成弧度解：∴例二把化成度解：注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器〞?中学数学用表?进展；2．今后在具体运算时，“弧度〞二字和单位符号“rad〞可以省略如：3表示3radsin表示rad角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住〔见课本P9表〕4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。例三用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合2终边在轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解：1终边在轴上的角的集合2终边在轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合第三教时教材：弧度制〔续〕目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。口答?教学与测试?P101-102练习题1—5并注意紧扣，稳固弧度制的概念，然后再讲P101例二二、由公式：比相应的公式简单弧长等于弧所对的圆心角〔的弧度数〕的绝对值与半径的积例一〔课本P10例三〕利用弧度制 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。oRS证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：l弧长为的扇形圆心角为∴比拟这与扇形面积公式要简单例二?教学与测试?P101例一直径为20cm的圆中，求以下各圆心所对的弧长⑴⑵解：⑴：⑵：∴oAB例三如图，扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为r，弧长为，则有∴扇形的面积例四计算解：∵∴∴例五将以下各角化成0到的角加上的形式⑴⑵解：R=4560例六求图中公路弯道处弧AB的长〔准确到1m〕图中长度单位为：m解：∵∴三、练习：P116、7?教学与测试?P102练习6四、作业：课本P11-12练习8、9、10P12-13习题4.25—14?教学与测试?P1027、8及思考题第四教时教材：任意角的三角函数〔定义〕目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同名三角函数值相等的道理。过程：一、提出课题：讲解定义：设是一个任意角，在的终边上任取〔异于原点的〕一点P〔*,y〕则P与原点的距离〔图示见P13略〕2．比值叫做的正弦记作：比值叫做的余弦记作：比值叫做的正切记作：比值叫做的余切记作：比值叫做的正割记作：比值叫做的余割记作：注意突出几个问题：①角是“任意角〞，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即但凡终边一样的角的三角函数值相等。②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。〔下面有例子说明〕③三角函数是以“比值〞为函数值的函数④，而*,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定〔今后将专题研究〕⑤定义域：二、例一的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值*oyP(2,-3)解：∴sin=cos=tan=cot=sec=csc=例二求以下各角的六个三角函数值⑴0⑵⑶⑷解：⑴⑵⑶的解答见P16-17⑷当=时∴sin=1cos=0tan不存在cot=0sec不存在csc=1例三?教学与测试?P103例一求函数的值域解：定义域：cos*0∴*的终边不在*轴上又∵tan*0∴*的终边不在y轴上∴当*是第Ⅰ象限角时，cos*=|cos*|tan*=|tan*|∴y=2…………Ⅱ…………,|cos*|=cos*|tan*|=tan*∴y=2…………ⅢⅣ………,|cos*|=cos*|tan*|=tan*∴y=0例四?教学与测试?P103例二⑴角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值⑵角的终边经过P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值解：⑴由定义：sin=cos=∴2sin+cos=⑵假设则sin=cos=∴2sin+cos=假设则sin=cos=∴2sin+cos=三、小结：定义及有关注意容四、作业：课本P19练习1P20习题4.33?教学与测试?P1044、5、6、7第五教时教材：三角函数线目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义〞从代数的角度提醒了三角函数是一个“比值〞二、提出课题：从几何的观点来提醒三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三、新授：介绍〔定义〕“单位圆〞—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆作图：〔课本P14图4-12〕此处略……………………………设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点过P(*,y)作PM*轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于S简单介绍“向量〞〔带有“方向〞的量—用正负号表示〕“有向线段〞〔带有方向的线段〕方向可取与坐标轴方向一样，长度用绝对值表示。例：有向线段OM，OP长度分别为当OM=*时假设OM看作与*轴同向OM具有正值*假设OM看作与*轴反向OM具有负值*有向线段MP,OM,AT,BS分别称作角的正弦线,余弦线,正切线,余切线四、例一．利用三角函数线比拟以下各组数的大小：1与2tan与tan3cot与cotABoT2T1S2S1P2P1M2M1S1解：如图可知：tantancotcot例二利用单位圆寻找适合以下条件的0到360的角*yoTA21030*yoP1P21sin≥2tan解：1230≤≤1503090或210270*yoP1P2M1M2例三求证：假设时，则sin1sin2证明：分别作1,2的正弦线*的终边不在*轴上sin1=M1P1sin2=M2P2∵∴M1P1M2P2即sin1sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业：课本P15练习P20习题4.32补充：解不等式：()1sin*≥2tan*3sin2*≤第七教时教材：三角函数的值在各象限的符号目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题然后师生共同操作：第一象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第三象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第四象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0记忆法则：为正全正为正为正由定义：sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tancot(+2k)=cosec(+2k)=seccsc(+2k)=csc三、例一〔P18例三略〕例二〔P18例四〕求证角为第三象限角的充分条件是证：必要性：假设是第三象限角，则必有sin0,tan0充分性：假设⑴⑵两式成立∵假设sin0则角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴假设tan0，则角的终边可能位于第一或第三象限∵⑴⑵都成立∴角的终边只能位于第三象限∴角为第三象限角例三〔P19例五略〕四、练习：假设三角形的两角，满足sincos0，则此三角形必为…………〔B〕A：锐角三角形B：钝角三角形C：直角三角形D：以上三种情况都可能假设是第三象限角，则以下各式中不成立的是……………………………〔B〕A：sin+cos0B：tansin0C：coscot0D：cotcsc0是第三象限角且，问是第几象限角？解：∵∴则是第二或第四象限角又∵则是第二或第三象限角∴必为第二象限角，则为第几象限角？解：由∴sin20∴2k22k+∴kk+∴为第一或第三象限角五、小结：符号法则，诱导公式六、作业：课本P19练习4,5,6P20-21习题4.36-10第八教时教材：同角三角函数的根本关系目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的根本关系，并能正确运用进展三角函数式的求值运算。过程：复习任意角的三角函数的定义：计算以下各式的值：二、1．导入新课：引导学生观察上述题目的结果〔并像公式“方向〞引导〕引导猜测：2．理论证明：〔采用定义〕3．推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的根本关系。5．注意：1“同角〞的概念与角的表达形式无关，如：2上述关系〔公式〕都必须在定义域允许的围成立。3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系〞公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用〔实际上，至多只要用一次〕。例题：例一、〔课本P25例一〕略注：角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。例二、〔课本P25例二〕略注：根据的三角函数值可以分象限讨论。例三、〔课本P25例三〕略实际上：即而小结：三种关系，八个公式作业：P27练习1—4P27—28习题4．41—4第九教时教材：同角三角函数的根本关系(2)——求值目的：要求学生能运用同角三角函数的根本关系求一些三角函数〔式〕的值，并从中了解一些三角运算的根本技巧。过程：复习同角的三角函数的根本关系：练习：解：假设在第一、二象限，则假设在第三、四象限，则例一、〔见P25例四〕化简：解：原式例二、，求解：强调〔指出〕技巧：1分子、分母是正余弦的一次〔或二次〕齐次式2“化1法〞例三、，求解：将两边平方，得：例四、解：由题设：∴()例五、，求解：1由由联立：2例六、求解：∵sin2+cos2=1∴化简，整理得：当m=0时，当m=8时，小结：几个技巧作业：?课课练?P12例题推荐1、2、3P13课时练习6、7、8、9、10P14例题推荐1?精编?P3514第十教时教材：同角三角函数的根本关系(3)——证明?教学与测试?第50课目的：运用同角三角函数的根本关系式进展三角函数恒等式的证明。过程：复习同角的三角函数的根本关系：例：〔练习、?教学与测试?P25例一〕，求解：即：提出课题：利用同角的三角函数的根本关系证明三角恒等式〔或化简〕例一、〔见P25例四〕化简：解：原式例二、〔?教学与测试?例二〕解：〔注意象限、符号〕例三、求证：〔课本P26例5〕证一：〔利用平方关系〕证二：〔利用比例关系〕证三：〔作差〕例三、方程的两根分别是，求〔?教学与测试?例三〕解：〔化弦法〕例四、证：由题设：例五、消去式子中的解：由由〔平方消去法〕例六、〔备用〕解：由题设：①②①/②：③①+③：小结：几种技巧作业：课本P27练习5，6，P28习题4.48，9?教学与测试?P1064，5，6，7，8，思考题第十一教时教材：诱导公式〔1〕360k+,180,180+,360,目的：要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为问题的数学思想。过程：诱导公式的含义：任意角的三角函数0到360角的三角函数锐角三角函数sin(360k+)=sin,cos(360k+)=cos.tan(360k+)=tg,cot(360k+)=ctg.sec(360k+)=sec,csc(360k+)=csc诱导公式公式1：〔复习〕对于任一0到360的角，有四种可能〔其中为不大于90的非负角〕〔以下设为任意角〕*yoP(*,y)公式2：设的终边与单位圆交于点P(*,y)，则180+终边与单位圆交于点P’(-*,-y)∴sin(180+)=sin,cos(180+)=cos.P(-*,-y)tan(180+)=tg,cot(180+)=ctg.sec(180+)=sec,csc(180+)=csc4．公式3：*yoP’(*,-y)P(*,y)M如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：sin()=sin,cos()=cos.tan()=tan,cot()=cot.sec()=sec,csc()=csc公式4：sin(180)=sin[180+()]=sin()=sin,cos(180)=cos[180+()]=cos()=cos,同理可得：sin(180)=sin,cos(180)=cos.tan(180)=tan,cot(180)=cot.sec(180)=sec,csc(180)=csc6．公式5：sin(360)=sin,cos(360)=cos.tan(360)=tan,cot(360)=cot.sec(360)=sec,csc(360)=csc三、小结：360k+,180,180+,360,的三角函数值等于的同名三角函数值再加上一个把看成锐角时原函数值的符号例题：P29—30例一、例二、例三P31—32例四、例五、例六略作业：P30练习P32练习P33习题4.5第十二教时教材：诱导公式〔2〕90k±,270±,目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进展简单的三角函数式的化简及论证。过程：复习诱导公式一至五：练习：1．解：2．解：诱导公式sin(90)=cos,cos(90)=sin.tan(90)=cot,cot(90)=tan.sec(90)=csc,csc(90)=sec公式6：〔复习〕*yoP’P(*,y)MMM’公式7：如图，可证：则sin(90+)=M’P’=OM=cossin(90+)=cos,cos(90+)=sin.tan(90+)=cot,cot(90+)=tan.sec(90+)=csc,csc(90+)=seccos(90+)=OM’=PM=MP=sin从而：或证：sin(90+)=sin[180(90)]=sin(90)=coscos(90+)=cos[180(90)]=sin(90)=cossin(270)=cos,cos(270)=sin.tan(270)=cot,cot(270)=tan.sec(270)=csc,csc(270)=sec公式8：sin(270)=sin[180+(90)]=sin(90)=cos〔其余类似可得，学生自己完成〕sin(270+)=cos,cos(270+)=sin.tan(270+)=cot,cot(270+)=tan.sec(270+)=csc,csc(270+)=sec公式9：〔学生证明〕三、小结：90±,270±的三角函数值等于的余函数的值，前面再加上一个把看成锐角时原函数值的符号例一、证：左边=右边∴等式成立例二、解：例三、解：从而：例四、解：作业：1.2.?课课练?P16—17课时9例题推荐1—3练习6—10第十三教时教材：诱导公式(3)——综合练习目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。过程：复习：诱导公式例一、〔?教学与测试?例一〕计算：sin315sin(480)+cos(330)解：原式=sin(36045)+sin(360+120)+cos(360+30)=sin45+sin60+cos30=小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“〞公式化为正角的三角函数2用“2k+〞公式化为[0，2]角的三角函数3用“±〞或“2〞公式化为锐角的三角函数例二、〔?教学与测试?例三〕解：小结：此类角变换应熟悉例三、求证：证：假设k是偶数，即k=2n(nZ)则：假设k是奇数，即k=2n+1(nZ)则：∴原式成立小结：注意讨论例四、方程sin(3)=2cos(4)，求的值。〔?精编?38例五〕解：∵sin(3)=2cos(4)∴sin(3)=2cos(4)∴sin()=2cos()∴sin=2cos且cos0∴例五、〔?精编?P40例八〕解：由题设：由此：当a0时，tan<0,cos<0,为第二象限角，当a=0时，tan=0,=k,∴cos=±1，∵∴cos=1,综上所述：例六、假设关于*的方程2cos2(+*)sin*+a=0有实根，数a的取值围。解：原方程变形为：2cos2*sin*+a=0即22sin2*sin*+a=0∴∵1≤sin*≤1∴；∴a的取值围是[]作业：?教学与测试?P1085—8，思考题?课课练?P46—4723，25，26第十三教时教材：单元复习目的：复习整节容，使其逐渐形成熟练技巧,为继续学习以后的容打下根底。过程：复习：梳理整节容：同角的三角函数关系两套根本公式预备概念角的概念的扩大弧度制诱导公式任意角三角函数处理?教学与测试?P109第52课略1．“根底训练题〞1—42．例题1—33．口答练习题1，2处理?课课练?P20第11课1．“例题推荐〞1—3注意采用讲练结合2．口答“课时练习〞1—4备用例题：?精编?P40—41例九，例十一sin()cos(+)=(0<<)，求sin(+)+cos(2)的值解：∵sin()cos(+)=即：sin+cos=①又∵0<<1，0<<∴sin>0,cos<0令a=sin(+)+cos(2)=sin+cos则a<0由①得：2sincos=2sin()cos(+)=1(0<<)，求cos(2)+sin(+)的值解：将条件化简得：2sin+cos=1①设cos(2)+sin(+)=a,则a=cossin②①②联立得：∵sin2+cos2=1∴∴5a2+2a7=0,解之得：a1=,a2=1(舍去)(否则sin=0,与0<<不符)∴cos(2)+sin(+)=作业：?教学与测试?P109—110练习题3—7?课课练?P21课时练习8—10第十五教时教材：两角和与差的余弦〔含两点间距离公式〕目的：首先要求学生理解平面上的两点间距离公式的推导过程，熟练掌握两点间距离公式并由此推导出两角和与差的余弦公式，并能够运用解决具体问题。过程：一、提出课题：两角和与差的三角函数二、平面上的两点间距离公式复习：数轴上两点间的距离公式*yoP1P2M1N1N2M2Q2．平面任意两点，间的距离公式。从点P1,P2分别作*轴的垂线P1M1,P2M2与*轴交于点M1(*1,0),M2(*2,0)再从点P1,P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2与y轴交于点N1,N2直线P1N1,P2N2与相交于Q点则：P1Q=M1M2=|*2-*1|QP2=N1N2=|y2-y1|由勾股定理：从而得，两点间的距离公式：3．练习：A(-1,5),B(4,-7)求AB解：三、两角和与差的余弦含意：cos(±)用、的三角函数来表示1．推导：(过程见书上P34-35)cos(+)=coscossinsin①熟悉公式的构造和特点；嘱记②此公式对任意、都适用③公式代号C+cos()的公式，以代得：cos()=coscos+sinsin同样，嘱记，注意区别，代号C四、例一计算①cos105②cos15③coscossinsin解：①cos105=cos(60+45)=cos60cos45sin60sin45=②cos15=cos(6045)=cos60cos45+sin60sin45=③coscossinsin=cos(+)=cos=0例二?课课练?P22例一sin=，cos=求cos()的值。解：∵sin=>0，cos=>0∴可能在一、二象限，在一、四象限假设、均在第一象限，则cos=，sin=cos()=假设在第一象限，在四象限，则cos=，sin=cos()=假设在第二象限，在一象限，则cos=，sin=cos()=假设在第二象限，在四象限，则cos=，sin=cos()=五、小结：距离公式，两角和与差的余弦六、作业：P38-39练习2中(3)(4)3中(2)(3)5中(2)(4)P40-41习题4.62中(2)(4)3中(3)(4)(6)7中(2)(3)补充：1．cos()=求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值。2．sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值