八年级数学下册 18 平行四边形专题课堂（四）利用平行四边形证明线段之间的关系课件 （新版）新人教版专题课堂(四) 利用平行四边形证明线段之间的关系一、证明线段相等【例1】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.分析：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．解：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC綊BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC...
专题课堂(四) 利用平行四边形证明线段之间的关系一、证明线段相等【例1】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.分析：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．解：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC綊BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC【对应训练】1．如图，在▱ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，BC于点P，Q，求证：MP＝NQ.解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证四边形AMQC和四边形APNC都是平行四边形，得MQ＝AC，PN＝AC，∴MQ＝PN，∴MQ－PQ＝PN－PQ，即MP＝NQ二、证明线段平行【例2】如图，在▱ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：BE∥DF.分析：证四边形BEDF为平行四边形即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∠DEA＝∠BFC＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴DE＝BF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴BE∥DF【对应训练】2．(2016·凉山州)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．解：AE綊CF.先证△AOF≌△COE，从而得到OE＝OF，再证四边形AECF是平行四边形，从而可得AE綊CF3．如图，在▱ABCD中，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC.求证：BE∥DF.解：证∠2＝∠1＝∠3三、证明线段互相平分【例3】如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N.求证：EF与MN互相平分．分析：证四边形EMFN为平行四边形即可．解：先证四边形BEDF是平行四边形，得AE＝CF，再证四边形AFCE是平行四边形，从而可得AF∥CE，再证四边形EMFN是平行四边形，即可证得EF与MN互相平分【对应训练】4．如图，在▱ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分．解：连接EH，EF，FG，GH，证△AEH≌△CGF，∴EH＝GF，同理EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EG与FH互相平分
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