标量场的方向导数和梯度

标量场的方向导数和梯度第一章矢量分析1.2标量场的方向导数和梯度主要内容方向导数梯度学习目的掌握方向导数、梯度的物理含义及计算方法掌握方向导数与梯度之间的区别与联系1.2.1标量场的方向导数●●标量函数在M0处沿l方向的方向导数为推论：表示沿l方向增加表示沿l方向减少表示沿l方向不变含义：表示标量场在点M0处沿l方向的变化规律。（1）（2）（3）方向导数计算公式：【例】求函数在点M（1，-2，-1）处沿矢量方向的方向导数。【解】矢量l在点M处的值为其方向余弦为故1.2.2标量场的梯度●在P点沿哪个方向变化率最快？由方向导数的定义可知：沿...

第一章矢量分析1.2标量场的方向导数和梯度主要内容方向导数梯度学习目的掌握方向导数、梯度的物理含义及计算方法掌握方向导数与梯度之间的区别与联系1.2.1标量场的方向导数●●标量函数在M0处沿l方向的方向导数为推论：表示沿l方向增加表示沿l方向减少表示沿l方向不变含义：表示标量场在点M0处沿l方向的变化规律。（1）（2）（3）方向导数计算公式：【例】求函数在点M（1，-2，-1）处沿矢量方向的方向导数。【解】矢量l在点M处的值为其方向余弦为故1.2.2标量场的梯度●在P点沿哪个方向变化率最快？由方向导数的定义可知：沿等值面法线n的方向导数最大。故定义梯度大小：最大变化率方向：最大变化率的方向即过该点的等值面法线方向其中，称为哈密顿算子。梯度的计算公式推导如下：令方向矢量其单位矢量为令某一常矢量又因为故当G与l方向一致时方向导数最大即为梯度，且方向导数与梯度的关系：在圆柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：对于距离矢量有以下常用结论：总结：（1）为矢量，表示过某点的变化率最大，变化最快。（2）方向垂直于过某点的等值面，即沿法线方向。（3）沿某方向l的方向导数为梯度在该方向l上的投影。【例】求标量场在点与点处梯度的大小和方向余弦。在哪点上的梯度为0？在点处方向余弦在点处方向余弦【解】：标量场的梯度为：所以若令梯度等于0，即满足方程所以解得故在点处梯度为0【例1-5】求r在M（1,0,1）处沿方向的方向导数。【解】方法一：利用梯度间接求解【解】方法二：利用公式直接求解总结主要内容方向导数①②梯度（矢量）方向导数与梯度的关系作业：P201-5、1-6人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。

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