（课堂设计）2020高中数学 1.3 三角函数的诱导公式(一)学案 新人教A版必修4

PAGE1.3　三角函数的诱导公式(一)自主学习知识梳理1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于____对称；－α与α关于____对称；π－α与α关于____对称.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝______，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝__________.自主探究你能否利用π＋α与α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？对点讲练MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1713463266534_0一　给角求值问题例1　求下列各三角函数值．(1)sin(－1200°)；(2)coseq\f(47π,6)；(3)tan945°.回顾归纳　此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值．变式训练1　求sin1200°·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan(－495°)的值．知识点二　给值求值问题例2　已知eq\f(sin3π－α,cos3π－α)＝2，求eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值．回顾归纳　(1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注．变式训练2　已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值．知识点三　化简三角函数式例3　化简：eq\f(sin－2π－θcos6π－θtan2π－θ,cosθ－πsin5π＋θ).回顾归纳　解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k(k为整数)一般需按k的奇、偶性分类讨论．变式训练3　化简：eq\f(sin[k＋1π＋θ]·cos[k＋1π－θ],sinkπ－θ·coskπ＋θ)(其中k∈Z)．1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～eq\f(π,2)求值2.诱导公式的记忆这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.课时作业一、选择题1．sin585°的值为(　　)A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)2．若n为整数，则代数式eq\f(sinnπ＋α,cosnπ＋α)的化简结果是(　　)A．tannαB．－tannαC．tanαD．－tanα3．记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于(　　)A.eq\f(\r(1－k2),k)B．－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2))D．－eq\f(k,\r(1－k2))4．tan(5π＋α)＝m，则eq\f(sinα－5π,cosπ＋α)的值为(　　)A．mB．－mC．－1D．15．若sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则cos(π＋α)的值为(　　)A.eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),3)C．±eq\f(\r(5),3)D．以上都不对二、填空题6．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sineq\f(5π,3)＋3sineq\f(2π,3)＝______.7．代数式eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°)的化简结果是________．8．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2009)＝1，则f(2010)＝________.三、解答题9．若cos(α－π)＝－eq\f(2,3)，求eq\f(sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π,cosπ－α－cos－π－αcosα－4π)的值．10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.§1.3　三角函数的诱导公式(一)答案知识梳理1.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于原点对称；－α与α关于x轴对称；π－α与α关于y轴对称.2.(1)sinα　cosα　tanα(2)－sinα　－cosα　tanα(3)－sinα　cosα　－tanα(4)sinα　－cosα　－tanα自主探究解　设P(x，y)为角α终边上任一点，∵角α与π＋α终边关于原点对称．∴P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)位于角π＋α的终边上．∴|OP′|＝|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝r.由任意角三角函数的定义知：sin(π＋α)＝eq\f(－y,r)＝－sinα，cos(π＋α)＝eq\f(－x,r)＝－cosα，tan(π＋α)＝eq\f(－y,－x)＝eq\f(y,x)＝tanα.借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四．对点讲练例1　解　(1)sin(－1200°)＝sin(－4×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2)；(2)coseq\f(47π,6)＝cos(eq\f(11π,6)＋6π)＝coseq\f(11π,6)＝cos(2π－eq\f(π,6))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)；(3)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.变式训练1　解　原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)－tan(360°＋135°)＝sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)－tan(180°－45°)＝－sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＋tan45°＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1＝eq\f(1,2).例2　解　∵eq\f(sin3π－α,cos3π－α)＝2，∴tan(3π－α)＝2，∴tanα＝－2.∵eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1＋tanα,tanα－1)∴eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)＝eq\f(1－2,－2－1)＝eq\f(1,3).变式训练2　解　coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3).例3　解　原式＝eq\f(－sin2π＋θ·cosθ·－tanθ,cosπ－θ·sinπ＋θ)＝eq\f(sinθ·cosθ·tanθ,－cosθ·－sinθ)＝eq\f(sinθ·cosθ·tanθ,sinθ·cosθ)＝tanθ变式训练3　解　当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则原式＝eq\f(sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ],sin2nπ－θ·cos2nπ＋θ)＝eq\f(sinπ＋θ·cosπ－θ,－sinθ·cosθ)＝eq\f(－sinθ·－cosθ,－sinθ·cosθ)＝－1.当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝eq\f(sin[2n＋2π＋θ]·cos[2n＋2π－θ],sin[2n＋1π－θ]·cos[2n＋1π＋θ])＝eq\f(sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ],sinπ－θ·cosπ＋θ)＝eq\f(sinθ·cosθ,sinθ·－cosθ)＝－1.∴上式的值为－1.课时作业1．A　[sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－eq\f(\r(2),2).]2．C　[若n为偶数，则原式＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα；若n为奇数，则原式＝eq\f(sinπ＋α,cosπ＋α)＝tanα.]3．B　[∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝eq\r(1－k2).∴tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k).∴tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).]4．A　[∵tan(5π＋α)＝tanα＝m，∴tanα＝m.原式＝eq\f(－sinα,－cosα)＝tanα＝m.]5．B　[∵sin(π－α)＝sinα＝log22－eq\f(2,3)＝－eq\f(2,3)，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4,9))＝－eq\f(\r(5),3).]6．0解析　原式＝－sineq\f(π,3)＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3)))＋3sineq\f(2π,3)＝－eq\f(\r(3),2)－2×eq\f(\r(3),2)＋3×eq\f(\r(3),2)＝0.7．－1解析　原式＝eq\f(\r(1＋2sin180°＋110°·cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos2×360°＋70°)＝eq\f(\r(1－2sin110°cos70°),cos70°－sin70°)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),cos70°－sin70°)＝eq\f(|sin70°－cos70°|,cos70°－sin70°)＝－1.8．3解析　f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＋2＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2＝2－(asinα＋bcosβ)＝1.∴asinα＋bcosβ＝1.f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＋2＝asinα＋bcosβ＋2＝3.9．解　原式＝eq\f(－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α,－cosα－－cosαcosα)＝eq\f(sinα－sinαcosα,－cosα＋cos2α)＝eq\f(sinα1－cosα,－cosα1－cosα)＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(2,3)，∴cosα＝eq\f(2,3).∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(5),2)，则原式＝－eq\f(\r(5),2).当α为第四象限角时，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(5),2)，则原式＝eq\f(\r(5),2).10．证明　∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴α＝2kπ＋eq\f(π,2)－β(k∈Z)．tan(2α＋β)＋tanβ＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－β))＋β))＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0，∴原式成立．