4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式自主预习课堂探究自主预习1.理解空间直角坐标系的有关概念,会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出点的坐标.2.掌握空间两点间的距离公式,理解公式使用的条件,会用公式计算或证明.课标要求知识梳理1.空间直角坐标系如图,以正方体OABCD′A′B′C′为载体,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条数轴:,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做,叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为、、,通常建立的坐标系为,即指向x轴的正方向,指向y轴的正方向,指向z轴的正方向.x轴、y轴、z轴坐标原点x轴、y轴、z轴xOy平面yOz平面zOx平面右手直角坐标系右手拇指食指中指2.空间直角坐标系中点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点M的,y叫做点M的,z叫做点M的.M(x,y,z)横坐标纵坐标竖坐标自我检测1.(空间直角坐标系)空间直角坐标系中,三条坐标轴( )(A)两两垂直且相交于一点(B)两两平行(C)仅有两条不垂直(D)仅有两条垂直2.(空间直角坐标系)空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),则x,y,z的取值范围分别为( )(A)[0,+∞),[0,+∞),[0,+∞)(B)R,R,[0,+∞)(C)R,[0,+∞),R(D)R,R,RAD3.(空间中点的坐标)下列点在x轴上的是( )(A)(0.1,0.2,0.3)(B)(0,0,0.001)(C)(5,0,0)(D)(0,0.01,0)C4.(空间中点的对称)点P(-3,2,-1)关于平面xOy的对称点是 . 答案:(-3,2,1)5.(空间两点间的距离)点M(4,-3,5)到原点的距离d1= ,到z轴的距离d2= . 课堂探究空间中点的坐标的确定题型一【教师备用】空间直角坐标系的理解1.给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在惟一的对应关系?提示:是.给定空间直角坐标系下,空间给定一点其坐标是惟一的有序实数组(x,y,z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间也有惟一的点与之对应.2.在空间直角坐标系中横坐标为0的点在y轴上吗?提示:不一定.横坐标为0的点一定在yOz平面内,横坐标、竖坐标全为0的点在y轴上.题后反思(1)建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上.(2)对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱为x、y、z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点的坐标的关键.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,|CF|=|AB|=2|CE|,|AB|∶|AD|∶|AA1|=1∶2∶4.试建立适当的坐标系,写出E,F点的坐标.即时训练1-1:如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB、AD、AA1所在的直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系.【备用例1】(基础)(1)求点A、B、C、D、A1、B1、C1、D1的坐标;(2)求点N的坐标.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,侧棱AA1⊥底面ABC,建立适当坐标系写出各顶点的坐标.(1)求点A、B、C、D、A1、B1、C1、D1的坐标;(2)求点N的坐标.【备用例2】(拔高)空间直角坐标系中点的对称问题题型二【例2】在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.解:(1)由于关于x轴对称的点的横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4).(2)由于点P关于xOy平面对称后,横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12.所以P3(6,-3,-12).题后反思解决有关对称问题时,注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线,坐标平面为参照面,通过平行、垂直确定出对称点的位置.空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题,可以参照如下口诀记忆:“关于谁对称谁不变,其余的符号均相反”.如关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变,竖坐标相反.特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数.已知M(2,1,3),求M关于原点对称的点M1,M关于xOy平面对称的点M2,M关于x轴、y轴对称的点M3,M4.即时训练2-1:解:由于点M与M1关于原点对称,所以M1(-2,-1,-3);点M与M2关于xOy平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以M2(2,1,-3);M与M3关于x轴对称,则M3的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,即M3(2,-1,-3),同理M4(-2,1,-3).空间两点间的距离题型三【例3】如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,M为BD′的中点,点N在A′C′上,且|A′N|=3|NC′|,试求|MN|的长.题后反思求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.侧棱垂直底面的三棱柱叫直三棱柱.已知直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.求MN的长.即时训练3-1:
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