PAGE3.4反证法自主整理在证明数学命题时,要证明的结论要么___________,要么__________,二者必居其一,我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与_________、_________、_________矛盾,或与命题中的_____________相矛盾,或与_____________相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫作_____________.高手笔记1.反证法的证题步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3否定假设,肯定结论.2.宜用反证法证明的题型:①一些基本命题、基本定理;②易导出与已知矛盾的命题;③“否定性”命题;④“唯一性”命题;⑤“必然性”命题;⑥“至多”“至少”类的命题;⑦涉及“无限”结论的命题等等.名师解惑反证法的过程及依据是什么?剖析:用反证法证明结论是B的命题,其思路是:假定B不成立,则B的反面成立.然后从B的反面成立的假定出发,利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果.若同时承认这个结果与题设条件,则与学过的公理、定理或定义矛盾,这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设,因此B必成立.其中推出矛盾是关键,用反证法证明的依据是互为逆否命题的等价性,即“若p则q”等价于“若q则p”成立，即要证原命题成立，只需证逆否命题成立.注意“q”是q的非命题，要全部否定，如“都是”的反面为“不都是”而不是“都不是”.讲练互动【例1】已知a>0,b>0,且a+b>2,求证:、中至少有一个小于2.分析：已知条件较少,结论有三种情况,反面只占一种情况,故联想从结论的反面入手,用反证法.证明：假设,都不小于2，则≥2,≥2.∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b.∴1+1+a+b≥2a+2b.∴a+b≤2，这与已知a+b>2矛盾.∴假设不成立.∴,中至少有一个小于2.绿色通道对于“至多”“至少”问题常用反证法，注意要全部否定.变式训练1.已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2矛盾,∴假设不成立.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.【例2】如图,设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O为底面圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直.分析：对于“不垂直”的否定性结论使用反证法,在假设“垂直”的条件下,容易得到一些性质,经过推导得出矛盾?证明：假设AC⊥面SOB,∵SO面SOB,∴AC⊥SO.又∵SO⊥底面⊙O,∴SO⊥AB.∴SO⊥面SAB.∴平面SOB∥底面⊙O，这显然出现矛盾.∴假设不成立,即AC与平面SOB不垂直.绿色通道对于一些“否定性”命题可用反证法证明.变式训练2.求证:1,,2不能为同一等差数列中的三项.证明:假设1,,2为同一等差数列中的三项,但不一定是连续的三项.设公差为d,则1=-md,2=+nd.m、n为两个正整数,消去d,得n+2m=(n+m).∵n+2m为有理数,(m+n)为无理数,∴n+2m≠(n+m).∴假设不成立.∴1、、2不能为同一等差数列中的三项.【例3】已知p3+q3=2,求证：p+q≤2.分析：本题已知的最高次项的次数为三次,很难降次.虽然可分解为(p+q)(p2-pq+q2)=2,但出现了我们不需要的二次式p2-pq+q2，所以正面很难入手,而所证的是一次式p+q,由一次式很容易升高次数,所以可用反证法.证明：假设p+q>2,则p>2-q.∴p3>(2-q)3.∵p3+q3=2，∴2=p3+q3>(2-q)3+q3=8-12q+6q2-q3+q3=8-12q+6q2=6(q-1)2+2≥2，∴2>2与事实矛盾.∴假设不成立.∴p+q≤2成立.绿色通道在已知次数较高,所证次数较低时,正面解答不易,可用反证法.变式训练3.若a≥b>0,n为正整数且n≥2,求证:≥.证明:假设<,∵a≥b>0,∴()n<()n.∴a0,则>1,这与=1相矛盾.如果b1-b2<0,则<1与=1相矛盾.∴假设不成立.∴2x=3的根是唯一的.∴2x=3有且只有一个根.
本文档为【高中数学第三章推理与证明3.4反证法知识导航素材北师大版选修1_2】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483