世间最神秘的三个数字(九)鹏飞：“还记得那个让你惊奇的等式吗？”皓天：“是说欧拉的+++…=吧？”鹏飞：“对，更神奇的是1++++…+=e。”皓天：“又是神一样的
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达！干脆写成e=++++…++…全体自然数阶乘的倒数和居然就是e――真乃大自然也！”鹏飞：“还有更奇妙的，y=ex的导数仍然是它自身！”皓天：“这有啥奇妙的？没看出来。”“在所有函数当中，唯有这个函数具有这一奇妙性质，这就导致大自然的许多规律和现象都会遇到e。我们讨论过，人的感觉是以物理强度的几何级数，动植物的生长繁衍也是以几何级数方式进行的。”“比方说……”“一个地区的某种生物，在外界环境稳定的条件下，繁殖率k也一定，于是一小段时间dt内新出生的个体数dw一定与该生物总数成正比，即dw=kwdt，这个式子变形后可得：kdt=，由积分就可得：kt=lnw+c，开始时即t=0时，设生物总数为w0，则c=-lnw0，即：kt=ln，再写成指数形式就是：w=w0ekt。植物、动物、人口，以及生物个体的生长发育在一定阶段，都是以这个方式增长的。”皓天：“我上网搜一下‘胎儿体重增长
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’……哈！还真是的，16周内胎儿体重就是按指数规律增长的，大约每周增加1倍。可为什么以后就不再按照这一规律了呢？马尔萨斯预言的人口增长理论也是这个规律，事实是不可能的，即使不实行人工干预，人口也不会无限增长。就像我自己，15岁以后几乎没见长，人到老的时候还会缩，就像你鹏飞，看起来比以前好像还矮了些。”鹏飞：“事物的发展都有促进和抑制两方面，是矛盾对立斗争的结果。胎儿在前几周内抑制因素较弱，主要是细胞的分裂生长，细胞这一变两、两变四地只分裂不衰败，当然是指数式生长了。但到了后期，空间、营养及细胞老化等抑制因素逐渐占了上风，而且胎儿的成长模式也发生了转换，主要转向器官功能完善方面了，体重增加自然就慢了。”“辩证法都用上了啊。看来任何新生事物在发展壮大期都是指数式增长。一棵小草的发芽如此，春天一片草地的生长理所当然也如此。胎儿如此，人口在早期无限制的增长也会像马尔萨斯预言的一样快速增长。个体与整体的发展是相似的，看来相似性处处存在。”“老子《道德经》第四十二章说道：‘道生一，一生二，二生三，三生万物’。‘道’是世界的本源，宇宙从无中产生了混沌或太一，这‘一’又一分为二，‘二’就是矛盾对立的两方面。阴阳两方面斗争的结果就产生了新生事物――第三者，如此便产生了万物。”皓天：“看来这e的发现应归功于老子，哈哈！那么事物衰败的模式也应该是指数式缩减咯？”鹏飞：“放射性元素的衰变规律还记得吗？”皓天：“是个统计规律，有个半衰期τ，每过一个半衰期，放射性元素减少一半，经过时间t，原来m0的放射性物质只剩下m=。咦，这里怎么没有e呢？”鹏飞：“可以这样来考虑，假设单位时间内单位质量的放射性物质有k个单位的质量衰变了，k显然小于1，则一小段时间dt内放射性物质减少了，其质量增加量dm=-kmdt，将该式变形后，与刚才得到的式子差不多：=-kdt，积分后可得：m=m0e-kt，当m=m0时，t就是半衰期τ，所以：τ=，看到吗？所有的指数规律都与e有关。”皓天：“如果我们把事物壮大的规律y=ex和衰败规律y=-ex画在同一个图上，会非常对称。”鹏飞：“你知道把这两个函数相加是什么吗？”皓天：“代表新旧事物的更替演化过程呗！”鹏飞：“y=ex+e-x恰好就是一根悬挂的链子具有的形状。”皓天：“链子一端悬挂下垂，慢慢地另一端又挂上去，正好代表了新旧事物的更替。”鹏飞：“悬链线蕴含了辩证法，展示了事物发展演化的形象。我再考考你，以前和你谈到鹦鹉螺长的形状与e也有关，你知道它的曲线方程是什么吗？象牙、野猪的獠牙、向日葵果盘上的纹路又是什么曲线？”皓天：“这个……”鹏飞：“换个问
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吧：一根1米长的橡皮绳，假设可以被无限均匀拉长而不会断，每秒被拉长1米。一只小虫子从一端开始，相对绳子以1厘米/秒的速度匀速爬向另一端，小虫能爬到头吗？如果不能，为什么？如果能，那需要多长时间？给你一个月的时间思考。”
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