北京四中---高中数学高考综合复习---专题十七---算术平均数与几何平均数LtDPAGE\*MERGEFORMAT1高中数学高考综合复习专题十七 算术平均数与几何平均数 一、知识网络 二、高考考点 1、运用重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）或（a、b∈R+）判断或证明所给不等式的命题是否成立； 2、在给定条件下求有关式的取值范围； 3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值； 4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。 三、知识要点 （一）不等式的性质 不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。 1、关于不等式的“基本性质” （1）对称性：a>bb
b,b>ca>c （3）“数加“法则：a>ba+c>b+c 推论：a+b>ca>c-b（移项法则） （4）“数乘”法则： a>b,c>0ac>bc; a>b,c<0acb,c>da+c>b+d; （2）同向的正数不等式两边“相乘”：a>b>0，c>d>0ac>bd； （3）正数不等式两边“乘方”：a>b>0an>bn>0(nN*); （4）正数不等式两边“开方” 认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4） （二）基本定理及其推论 定理1：如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立） 推论（平方和不等式）：（当且仅当a=b时等号成立） 定理2：如果a,bR+，那么（当且仅当a=b时等号成立） 推论1（和的平方不等式）：若a,bR+,则（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立） 推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则 （1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值（当且仅当x=y时取得）； （2）当和x+y为定值S时，积有最大值（当且仅当x=y时取得）； 四、经典例题 例1 （1）若x,yR+且的最大值. （2）若x,y∈R且xy>0，x2y＝2，求u＝xy＋x2的最小值.
分析
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：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等 （1）欲求积的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u的
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达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2： （2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。 解： （1）注意到这里x>0，u>0， ∴ =（当且仅当）时等号成立）。 （2）由已知得 =3(当且仅当时成立) ∴umin=3（当且仅当x=1且y=2时取得） 点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式； 遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。 例2 （1）若x,y,a,bR+，a≠b，且，求u＝x+y的最小值； （2）若00，求的最小值. 分析： 对于（1）如何利用,这一条件通常用法多是作“1的替换”或作“三角替换”； 对于（2），注意到这里0c (利用三角形的普通性质)a+b+c>2c 又a+b+c=4 ∴c<2 ⑤ 于是由④、⑤得 ∴所求C的取值范围为 （2）由已知得 b2=ac ① 1-b=a+c ② (以b为主元整理或变形) 为利用重要不等式而讨论：由题设知a、c同号 （i）当a,c同为正数时，(当且仅当a=c时等号成立) ∴由①得a+c≥2|b| ∴再由②得1-b≥2|b|2|b|+b≤1 ③ ∴若b>0，则由③得 ； 若b<0，则由③得 -1≤b<0 ∴由③解得-1≤b<0或 (ii)当a,c同为负数时， ④ ∴由②、④得 1-b≤-2|b|2|b|-b≤-1无解 于是综合（i）（ii）得所求b的取值范围为[-1，0）∪（0，] 点评：（1）、（2）解题的共同之处，是立足于已知的等式，借助算术平均数与几何平均数大小的不等式导出有关变量β的取值范围，这也展示了这一类问题的基本解法。 例4． （1）已知a>b>c，不等式恒成立，求k的最大值 （2）已知x,yR+,且不等式恒成立，求a的最小值 分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。 解： （1）∵a>b>c ∴原不等式恒成立恒成立 ① 令 则①k≤u的最小值 ② 又(分子主动与分母沟通联系) ≥4 （当且仅当时等号成立） ∴umin=4(当且仅当a+c=2b时取得) ③ 于是由②、③得 k≤4，即k的最大值为4 （2）不等式恒成立 恒成立 恒成立(为便于利用重要不等式而变形) 恒成立(化生为熟转化成功) ④ 令 则④a≥u的最大值 ⑤ ∵x，y∈R+ (当且仅当x=y时等号成立) (当且仅当x=y时等号成立) (当且仅当x=y时取得) ⑥ 于是由⑤、⑥得，即a的最小值为 例5． 已知a,bR+，且a+b=1，求证： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面 （i） 直接代入：以a+b=1或（a+b）2=1代入； （ii）换元转化：令a=cos2α, （iii）借助“外因”联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延伸。 联想1：由已知等式本身联想重要不等式： a,bR+，且 （1）由左边a+b联想重要不等式 ∴（当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立） （2） （当且仅当a=b时等号成立） 联想2：由已知等式的等价变形联想重要不等式 ∴ （当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立） ∴ 这与联想1中推出的结果殊途同归. 对已知条件作以上挖掘延伸之后,再证明所给例题便是水到渠成。 证明：（1） 证法一(分析转化、化生为熟)： 原不等式 又 ∴不等式（*）成立， ∴原不等式成立。 证法二：（化整为零，化隐为明）； 注意到 当且仅当时等号成立 同理(当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (2)利用前面的推论，左边 (3)略 (4)利用前面的结论,左边 (当且仅当时等号成立) (5)利用前面的推论得 为了构造同向不等式,对左边配方: 左边 (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) (6) 解法一:(为了构造“同向不等式”)硬性提取后再作变形): 左边 (当且仅当时等号成立) (当且仅当时等号成立) ∴左边(当且仅当时等号成立) 解法二:仿(5)之解法,留给同学们练习 点评（1)的证明告诉我们,对于感觉生疏的不等式的证明,要注意通过等价变形来认知它的本来面目;其它问题的证明则告诉我们,条件不等式的证明中,已知条件延伸的主要方向,品悟本例的证明思路,对证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作用。 例6、（1）已知x,yR+，且x+y=1，试求 (i)的最小值； （ii）的最小值。 （2）已知a,bR+，且a3+b3=2，求证： （i）ab≤1; (ii)a+b≤2 分析： 对于（1）本质上是例5（5）（6）的改作题； 对于（2），仍可仿照例5中已知条件的延伸手法来寻觅解题思路 解：（1）从略 (2)证明：注意到已知条件a3+b3=2 (a+b)(a2+b2-ab)=2 ① (i)由①式左边联想重要不等式 ② a2+b2≥2ab ③ ∴由③得 a2+b2-ab≥ab>0 ④ ∴由②④得(当且仅当a=b=1时等号成立)⑤ ∴由①、⑤得 （当且仅当a=b=1时等号成立） （ii）由①式左边联想重要不等式 ⑥ ⑦ ∴由①、⑥、⑦得 (当且仅当a=b=1时等号成立) （a+b）3≤8 a+b≤2(当且仅当a=b时等号成立) 命题得证 点评：前事不忘，后事之师，学习中要注意知识、方法与策略的迁移，对于（2），也可以根据已知条件a3+b3=2“实施等量替换”，只是效果不一定理想，事实上， 设 则 ； （i）得证； 而a+b≤2则难以证明,同学们不妨一试. 五、高考真题 1、（2004辽宁卷）对于0-1,则 （2）若正整数m和n满足m≤n，则 （3）设P(x1,y1)为圆01；x2+y2=9上任一点，圆O2以Q（a,b）为圆心且半径为1，当（a-x1）2+(b-y1)2=1时，圆01与圆O2相切。 其中假命题的个数为（ ） A．0 B.1 C.2 D.3 分析：逐一考察每个命题： 对于（1）作辅助函数在（-1，∞）上为增函数. ∵a≥b>-1, ∴f(a)≥f(b),即， ∴（1）为真命题； 对于（2），由已知得m>0，n-m≥0,由平均值不等式得（2）也是真命题； 对于（3），注意到圆O2的方程为（x-a）2+(y-b)2=1，故由题设知点P亦在圆O2上，即点P为圆O1与圆O2的公共点圆01与圆O2相切，从而（3）为假命题 于是由上述分析可知，本题应为B。
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