PAGE/NUMPAGES2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.3四种命题间的相互关系课后提升训练含解析新人教A版选修一、选择题(每小题5分,共40分)1.(xx·太原检测)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 ( )A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数【解析】选C.因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.2.(xx·青岛高二检测)与命题“若x=1,则2x2-x-1=0”等价的命题是 ( )A.若x≠1,则2x2-x-1≠0B.若x=1,则2x2-x-1≠0C.若2x2-x-1≠0,则x≠1D.若2x2-x-1≠0,则x=1【解题指南】只需找其逆否命题即可.【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题:若2x2-x-1≠0,则x≠1.3.命题“若a=5,则a2=25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,假命题是 ( )A.原命题、否命题B.原命题、逆命题C.原命题、逆否命题D.逆命题、否命题【解析】选D.原命题为真,逆命题为假,逆否命题为真,否命题为假.4.已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是 ( )A.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”B.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”C.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”D.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”【解析】选B.逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且b>0”.5.命题“若∠A=60°,则△ABC是等边三角形”的否命题“若∠A≠60°,则△ABC不是等边三角形” ( )A.为假命题B.与原命题真假性相同C.与原命题的逆否命题真假性相同D.与原命题的逆命题真假性相同【解析】选D.否命题与逆命题是等价命题.6.(xx·石家庄高二检测)已知下列命题:①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.其中真命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.对①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;对②,其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;对③,不等式x2-2x+m>0的解集为R,需满足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2满足m>1.故只有③是真命题.7.给出命题:“已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题的个数是 ( )A.0B.2C.3D.4【解析】选B.因为原命题为真,逆命题为假,故逆否命题为真,否命题为假.8.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题,我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题:①函数y=x2(x∈R)是偶函数;②若两条直线相交,则它们的倾斜角一定不相等;③α,β,γ为三个不同的平面,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;④若a·c=b·c,则a=b;⑤若m+n≤2,则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是 ( )A.①⑤B.②③C.③④D.②④【解析】选A.①中命题是真命题,其逆命题为“若一个函数是偶函数,则这个函数是y=x2,是假命题,故它是“正向真命题”;②中命题是真命题,其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等,则它们一定相交”,也是真命题,所以②中命题不是“正向真命题”;③、④中命题都是假命题,所以它们都不是“正向真命题”;⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1,则m+n>2”是真命题,而它的否命题是“若m+n>2,则n>1且m>1”,显然不是真命题,所以这个命题是“正向真命题”.综上,是“正向真命题”的序号是①⑤.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题为____________命题,逆命题为__________命题.(填“真”或“假”)【解析】逆否命题为:a,b都小于1,则a+b<2是真命题,所以原命题是真命题,逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,例如a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.答案:真 假10.命题“若x≠1,则x2-1≠0”的真假性为________.【解析】可转化为判断命题的逆否命题的真假,由于原命题的逆否命题是:“若x2-1=0,则x=1”,因为x2-1=0时,x=±1,所以该命题是假命题,因此原命题是假命题.答案:假三、解答题11.(10分)证明:若m2+n2=2,则m+n≤2.【证明】将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题,则它的逆否命题为“若m+n>2,则m2+n2≠2”.由于m+n>2,m2+n2≥2mn,则2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2,则m2+n2≥(m+n)2>×22=2,所以m2+n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.【能力挑战题】若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数.【证明】若a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,即原命题的逆否命题为真,故原命题也为真命题.所以a,b,c不可能都是奇数.温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！
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