全国名校高中数学题库--圆

圆的方程 题型一、圆的方程求法 1．（1）方程 表示圆，则 的取值范围是 （ D ） A． B． C． D． （2）若方程 表示圆，则 的值为_____________． （3）方程y= 表示的曲线是 ( ) A．上半圆 Ｂ．下半圆 Ｃ．圆 Ｄ．抛物线 （4）方程 表示的曲线是 （ ） A．都表示一条直线和一个圆 B．都表示两个点 C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 D．前者是两个点，后者是一直线和一个圆 （5）方程 表示的曲线是_____________．_两个半圆 2．圆 关于直线 对称的圆的方程是 （ ） A． B． C． D． 3．求满足下列各条件圆的方程： （1）以 ， 为直径的圆； （2）与 轴均相切且过点 的圆； （3）求经过 ， 两点，圆心在直线 上的圆的方程； 4．根据下列条件，求圆的方程： （1）与圆 相外切于点 ，且半径为4的圆的方程； （2）求经过两已知圆 的交点，且 圆周被直线 平分的圆的方程； （3）圆心在原点且圆周被直线 分成1:2两部分的圆的方程. （4）一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程. 5．（1）过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程是_____________． （2）过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是_____________．(5，-1) （3）已知△ABC三边所在直线方程分别为AB：x＋2y＋2=0,BC：2x－y－6=0，CA： x－2y＋6=0，求△ABC的外接圆的方程． （x－1)2＋(y－ eq \f(7,2) )2= eq \f(125,4) 提示：AB⊥BC （4）在平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为 。 ①求实数 的取值范围； ②求圆 的方程； ③问圆 是否经过定点（其坐标与 无关）？请证明你的结论。 6．设圆上的点 关于直线 的对称点仍在圆上，且与直线 相交的弦长为 ，求圆的方程． 7．设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程． 解法一:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│. 由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为 ，故r2=2b2 又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. 又点P(a,b)到直线x2y=0的距离为 所以5d2=│a-2b│2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1, 当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值. 由此有 解此方程组得 由于r2=2b2知 于是,所求圆的方程是:(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 解法二:同解法一得 将a2=2b2-1代入上式,整理得 ② 把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 △=8(5d2-1)≥0, 得 5d2≥1. 所以5d2有最小值1，从而d有最小值 将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1. 将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1. 综上 a=±1,b=±1,r2=2. 由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程,二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程. 8．求经过点P（－2，4）,且以两圆：x2＋y2－6x=0， x2＋y2=4公共弦为一条弦的圆的方程． x2＋y2＋6x－8=0 9.已知圆系 ，其中a≠1,且a∈R,则该圆系恒过定点________．（1,1） 10．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖． (Ⅰ)试求圆的方程． (Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程． 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 构成的三角形及其内部,且△ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 ,所以圆 的方程是 . (2)设直线 的方程是: . 因为 , 所以圆心 到直线 的距离是 , 即 解得: .所以直线 的方程是: . 题型二、与圆相关的轨迹问题 1．（1）由动点 向圆 引两条切线 ，切点分别为 ，若 ，则动点 的轨迹方程为______________． （2）由动点 向圆 引两条切线 ，切点分别为 ，若 ，则动点 的轨迹方程为______________． （3）若半径为1的动圆与圆 相切，则动圆圆心的轨迹方程是______________． 或 2．动点在圆 上移动时，它与定点 连线的中点轨迹方程是（ C ） A． B． C． D． 3．直线l1过A（a,0)，l2过B（－a,0)，它们在y轴上的截距分别为m,n，且mn=a2，求两直线交点的轨迹． 4．已知点A(3,0)，P是圆 上任意一点，∠AOP的平分线交PA于M(O为原点)，试求点M的轨迹. 5．如图，已知定点A(2，0)，点Q是圆 上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程. 【解】：由三角形的内角平分线性质，得 ，∴ . 设M、Q的坐标分别为(x,y)、(x０,y０)，则 ∵Q在圆 上，∴ ＝１， ∴ ∴动点M的轨迹方程为 6．如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线 PM、PN（M、N分别为切点），使得 试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程. 7． 为定点，线段 在定直线 上滑动，已知 ， 到 的距离为3，求 的外心的轨迹方程。 8．过圆O：x2＋y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线l，M为l上任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求△MAQ垂心H的轨迹方程． 【解】设所求轨迹上的任意一点H（x,y)，圆上的切点Q（x0,y0) ∵QH⊥l,AH⊥MQ,∴AH∥OQ,AQ∥QH．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH为菱形． ∴x0=x,y0=y－2． ∵点Q（x0,y0)在圆上，x02＋y02=4 ∴H点的轨迹方程是：x2＋（y－2）2=4（x≠0)． 9．已知 （ ， 为坐标原点），向量 满足 ，则动点 的轨迹方程是__________________． 10．设 ， （ ）为两定点，动点 到点 的距离与到点 的距离的比为定值 （ ），求 点的轨迹. 11．点 是圆 内的定点，点 是这个圆上的两个动点，若 ,求 中点 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。 12．已知圆 方程为： . 直线 过点 ，且与圆 交于 、 两点，若 ，求直线 的方程； 过圆 上一动点 作平行于 轴的直线 ，设 与 轴的交点为 ，若向量 ，求动点 的轨迹方程，并说明此方程表示的曲线。 13．已知动点 与两个定点 ， 的距离的比为 （1）求动点 的轨迹方程； （2）若点B，C的坐标分别为 ， ，求 的重心G的轨迹方程。 解：（1）设 ，则由 ，得 化简得： ，即动点 的轨迹方程为 （2）设 ， ，则有 因为是 的重心，则 ， 即 ，故有 所以 的重心G的轨迹方程为 题型三、与圆相关的值、最值、取值范围问题 1．(1)直线截圆所得弦的中点是，则=__________． （2）过点 引圆 的弦，则所作的弦中最短的弦长为（ ） A． B． C． D． （3）已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是x+y-3=0 ，过点P的最长弦所在直线方程是 x-y-3=0 （4）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则a=_______ . 2．(1)直线 x+y－2 =0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为__________． 【解析】：由 消y得：x2－3x+2=0 ∴x1=2，x2=1 ∴A（2，0），B（1， ） ∴|AB|= =2 又|OB|＝|OA|=2 ∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB= ，故选C. 评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120°.则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义. （2）过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜率 = 3．（1）自点 作圆 的切线，则切线长为______________． （2）由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为( ) A． B． C． D． （3）已知两点 ，点 是圆 上任意一点，则 面积的最大值与最小值分别是____________________________． （4）点 在直线 上， 与圆 相切于 两点，求四边形 面积的最小值． （5）已知点 是直线 上一动点， 是圆 ： 的两条切线， 是切点，若四边形 的最小面积为2，则 的值为（ D ） A． B． C． D． 4．（1）设M是圆 上的点，则M点到直线 的最短距离是______． （2）圆 上的动点Q到直线 距离的最小值为____． （3）圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( ) A． B． C． D． （4）若圆 的圆心到直线 的距离为 ,则 的值为( ) A． 或 B． C． 或 D． 或 5．（1）圆 上到直线 的距离为 的点共有_______个． （2）圆 上到直线 的距离等于1的点有个数为_____．3 （3）与圆 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有_______条．4 （4）若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ,则直线 的倾斜角的取值范围是( B ) A． B． C． D． （5）若圆 上有且只有两个点到直线 的距离等于1，则半径 的取值范围为_______________． （6）在平面直角坐标系中，已知圆 上有且只有四个点到直线 的距离等于1，则实数 的取值范围为_______________． 6．（1）若点（5a＋1，12a)在圆（x－1)2＋y2=1的内部，则|a|的取值范围是（ ） A．[0，1） B．[0，15） C．[0，13） D．[0，12） （2）若两圆x2＋y2=m，与 x2＋y2＋6x－8y－11=0有公共点，则实数m的取值范围是（ ） A．m＜1 B．m＞121 C．1≤m≤121 D．1＜m＜121 （3）若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜4 （4）如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围为 （ ） A．[0，2] B．[0，1] C．[0， eq \f(1,2) ] D．[0， eq \f(1,2) ） 7．已知点P(1，2)和圆C： ，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是( ) A．k∈R Ｂ.k＜  Ｃ. D. 8．（1）直线 ： 和圆 的位置关系为（ C ） A．相离 B．相切或相交 C．相交 D．相切 （2）直线 ，与圆 的位置关系为____相切______________．（填相切、相交、相离） （3）设m>0,则直线 (x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为________．相切或相离 解析：圆心到直线的距离为d= ,圆半径为 . ∵d-r= - = (m-2 +1)= ( -1)2≥0, ∴直线与圆的位置关系是相切或相离. （4）M( 为圆 内异于圆心的一点，则直线 与该圆的位置关系为____________．相离（填相切、相交、相离） （5）设集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},当A∩B=B时，r的取值范围是 （ ） A．（0， eq \r(2) －1） B．（0，1] C．（0，2－ eq \r(2) ] D．（0， eq \r(2) ] （6）设集合 , ,若M∪N=M，则实数a的取值范围是-2≤a≤2 9．（1）已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个交点时，其斜率 的取值范围是( C ) A． B． C． D． （2）若直线x＋ eq \r(3) y=m与圆x2＋y2=1的两个交点都在第一象限，则m的取值范围是（ ） A．（1，2） B．（－2，2） C．（1， eq \r(3) ） D．（ eq \r(3) ，2） （3）直线 与圆 在第一象限内有两个不同交点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．（1）已知点P是曲线y= 上的点，则点P到点Q（0，－1）距离的最大值是_______． （2）已知直线 ： 与曲线 ： 有两个公共点，则 的取值范围是______． （3）若曲线 EMBED Equation.DSMT4 与直线 有两个交点时，则实数 的取值范围是_____________. 11．（1） 曲线 : （ 为参数， ）上任意一点，则 的最大值是( ) A． B． C． D． （2）若直线 与曲线 （ ），有两个不同的交点，则实数 的取值范围是　　　　　 12．已知圆， 求（1）的最大值；（2）的最大值与最小值； （3）的最大值与最小值；（4）的最小值. 13．已知实数 、 满足方程 . 求（1）求 的最大值和最小值；（2）求 的最小值；（3）求 的最大值和最小值. 14．（1）若圆 上任意一点 都使不等式 恒成立，则实数 的取值范围是____________． （2）若直线 （ ）始终平分圆 的周长，则 的最小值是 （ D ） A． B． C． D． （3）若直线经过圆的圆心， 则的最小值是 （ ） A． B． C．4 D．2 （4）若直线 与圆 相切，则实数 的取值范围是_________． 15.（1）已知点 和圆 ，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为___8___ （2）已知圆C： 和直线 ： ，在C上求两点，使它们与l的距离分别是最近和最远. （3）平面上两点 、 ，在圆 ： 上取一点 ，求使 取得最小值时点 的坐标. 16．已知圆 与直线 相交于 两点， 为原点，若 ，求实数 的值. 17．已知曲线 ，其中 ； （1）求证：曲线 都是圆，并且圆心在同一条直线上； （2）证明：曲线 过定点； （3）若曲线 与 轴相切，求 的值； 18．设方程x2＋y2－2（m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9=0 ① (1) m为何值时，方程①表示圆？ （2）m为何值时，方程①表示的圆的半径最小？ （3）方程①表示圆时，求圆心的轨迹方程． 19．已知直线 ： 和圆 ； （1） 时，证明 与 总相交； （2） 取何值时， 被 截得弦长最短，求此弦长. 21．已知圆 方程为： ，点 （1）求过点 的圆的切线方程； （2） 是坐标原点，连接 ，求 的面积 。 22．已知以点 为圆心的圆与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，其中 为坐标原点， （1）求证： 的面积为定值； （2）设直线 与圆 交于点 ，若 ，求圆 的方程。 23．已知圆C方程为： ，直线l的方程为：（2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0． （1）证明：无论m取何值，直线l与圆C恒有两个公共点。 （2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时的m值． 【分析】：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. 由 得 即l恒过定点A（3，1）. ∵圆心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点. （2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－ ， ∴l的方程为2x－y－5=0. 点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质. 24．已知圆 ： 与 ： 相交于 两点， （1）求公共弦 所在的直线方程； （2）求圆心在直线 上，且经过 两点的圆的方程； （3）求经过 两点且面积最小的圆的方程. 25．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ；求： （1）经过圆心 ，切点 这三点圆的方程； （2）直线 的方程； （3）线段 的长。 26．在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切． （1）求圆 的方程； （2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取值范围． 解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离， 即 ．得圆 的方程为 ． （2）不妨设 ．由 即得 ． 设 ，由 成等比数列，得 ，即 ． 由于点 在圆 内，故 由此得 ． 所以 的取值范围为 ． 27.已知圆O: ，圆C: ，由两圆外一点 引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|. (1)求实数a、b间满足的等量关系； (2)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由. 分析: 问题（1）可直接根据题目条件求得,在解决问题（2）时,要注意问题（1）结论的运用. (1)连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1 ∴|PO|2=|PC|2，从而 化简得实数a、b间满足的等量关系为: . (2)∵圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有 且 于是有: 即 从而得 两边平方，整理得 将 代入上式得： 故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P. 点拨: 注意圆与圆的位置关系的判断. 28.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线 的距离等于 . （1）求圆C的方程.（2）若直线 EMBED Equation.DSMT4 与圆C相切，求证： 分析:本题要充分利用圆的几何性质以得到简单的解法. 解：（1）设圆C半径为 ，由已知得： ∴ ，或 ∴圆C方程为 . （2）直线 ， ∵ ∴ ∴ 左边展开，整理得， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ∴ 点拨:有关直线和圆的位置关系,一般可以考虑圆心到直线的距离,当然也以联立方程组用代数手段解决. 29.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 eq \r(3)，2)的入射光线l1被直线l：y= eq \f(\r(3),3)x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切. (1)求l2所在直线的方程和圆C的方程； (2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标． 解：（1）直线 设 . 的倾斜角为 ， EMBED Equation.DSMT4 反射光线 所在的直线方程为 . 即 . 已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上， ,又圆心C在过点A且与 垂直的直线上， , ，圆C的半径r=3， 故所求圆C的方程为 . （2）设点 关于 的对称点 ，则 ，得 ,固定点Q可发现，当 共线时， 最小， 故 的最小值为 .此时由 ,得 . 题型四、切线问题 1．两圆为： ，则 （ ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．两圆的内公切线方程为 C．两圆的外公切线方程为 D．以上都不对 2．已知点 是圆 内一点，直线 是以 为中点的弦所在的直线，直线 的方程是 ，那么 （ ） A． 且 与圆 相切 B． 且 与圆 相切 C． 且 与圆 相离 D． 且 与圆 相离 3．两个圆 ： 与 EMBED Equation.DSMT4 的公切线有且仅有( ) A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 4．“ ”是“直线 圆 相切”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知点A(0，2)和圆C： ，一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程. N M P � EMBED MSPhotoEd.3 ��� [42] x y O A B l2 l1 l 例4 PAGE 20 _1254054132.unknown _1261893886.unknown _1381302775.unknown _1381304241.unknown _1381304623.unknown _1381308005.unknown _1381321666.unknown _1381321742.unknown _1381321897.unknown _1381321914.unknown _1381321958.unknown _1381322017.unknown _1381322038.unknown _1381321991.unknown _1381321926.unknown _1381321908.unknown _1381321808.unknown _1381321844.unknown _1381321756.unknown _1381321709.unknown _1381321737.unknown _1381321686.unknown _1381318119.unknown _1381321536.unknown _1381321642.unknown _1381318260.unknown _1381317787.unknown _1381318034.unknown _1381308351.unknown _1381312926.unknown _1381308011.unknown _1381304801.unknown _1381304849.unknown _1381304980.unknown _1381304981.unknown _1381304978.unknown _1381304979.unknown _1381304877.unknown _1381304817.unknown _1381304687.unknown _1381304693.unknown _1381304653.unknown _1381304423.unknown _1381304490.unknown _1381304556.unknown _1381304577.unknown 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