高中理科数学解题方法篇（离心率）

离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 【例1】 [解法一]（大多数学生的解法） 解：由于 为等腰直角三角形，故有 ，而 ， 所以 ，整理得 等式两边同时除以 ，得 ，即 ， 解得 ，舍去 因此 ，选D [解法二]（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解） 解：如右图所示，有 故选D [评] 以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！ 一、用定义求离心率问题 1. 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）D （A） （B） （C） （D） 2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A A． B． C． D． 3.在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ． 4、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_________； 解析：设c=1，则 5、已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。 解析：由已知C=2， 6．过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为B A． B． C． D． 7.已知F1、F2是双曲线 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）D A． B． C． D． 8.双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为（ ）B A． B． C． D． 9、设F1，F2分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 (A) (B) (C) (D) 解．设F1，F2分别是双曲线 的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中 ， ，∴ 离心率 ，选B。 10、如图， 和 分别是双曲线 的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ 是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） 解析：如图， 和 分别是双曲线 的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ 是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|= c，∴ ，双曲线的离心率为 ，选D。 11.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满=4:3:2，则曲线r的离心率等于A A. B.或2 C.2 D. 二、列方程求离心率问题 1．方程 的两个根可分别作为（　　） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 解：方程 的两个根分别为2， ，故选A 2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D． 解．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率 ，选D。 3、设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为B （A） （B） （C）2 （D）3 4.在平面直角坐标系中，椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半 径的圆，过点( eq \f(a2,c)，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ． 5．已知双曲线 的一条渐近线方程为y＝EQ \f(4,3)x，则双曲线的离心率为 （A）EQ \f(5,3) (B)EQ \f(4,3) (C)EQ \f(5,4) (D)EQ \f(3,2) 解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得 ,故选A 6、在平面直角坐标系 中，双曲线中心在原点，焦点在 轴上，一条渐近线方程为 ，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 解析：由 ， 选A 7．已知双曲线 (a> eq \r(2))的两条渐近线的夹角为 eq \f(π,3) ,则双曲线的离心率为 A.2 B. eq \r(3) C. eq \f(2\r(6),3) D. eq \f(2\r(3),3) 解：双曲线 (a> eq \r(2))的两条渐近线的夹角为 eq \f(π,3) ，则 ，∴ a2=6，双曲线的离心率为 eq \f(2\r(3),3) ，选D． 8.已知双曲线 （a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e= ,则双曲线方程为（ ）C （A） － =1 (B) (C) (D) 9设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( ) （A） （B）2 （C） （D） 解：设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 又 解得: . 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 10、设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在 轴上，设其方程为： ， 则一个焦点为 一条渐近线斜率为： ，直线 的斜率为： ， ， EMBED Equation.DSMT4 11．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线的方程为：； 直线的方程为：。二者联立解得：， 则在椭圆上， ， 解得： 12已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若 。则k = （A）1 （B） （C） （D）2 【解析】B： ，∵ ，∴ ， ∵ ，设 ， ，∴ ，直线AB方程为 。代入消去 ，∴ ，∴ ， ，解得 ， 13已知 的离心率为 ，则 ，且 于点 的延长线交 是短轴的一个端点，线段 的一个焦点， 是椭圆 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ： 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图， , 作 轴于点D1,则由 ，得 ,所以 , 即 ,由椭圆的第二定义得 又由 . ,整理得 ,得 两边都除以 HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 . ,解得 ,得 14．过双曲线M: 的左顶点A作斜率为1的直线 ,若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( ) A. B. C. D. 解析：过双曲线 的左顶点 (1，0)作斜率为1的直线 ：y=x－1, 若 与双曲线 的两条渐近线 分别相交于点 , 联立方程组代入消元得 ，∴ ，x1+x2=2x1x2，又 ,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得 ，∴ b2=9，双曲线 的离心率e= ，选A. 15．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) A． B． C． D． 答案：C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C， ，则有 ，因． 16. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 . m A． B. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有 . 又 故选A 一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关．在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围e∈(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e∈(1，＋∞)；在抛物线中，离心率e＝1． 已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 ． 分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当M为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1PF2最大（需要证明），从而有0＜∠F1PF2≤∠F1 B1F2．根据条件可得∠F1 B1F2≥60°，易得 eq \f(c,a)≥ eq \f(1,2)．故 eq \f(1,2)≤e＜1． 证明，在△F1PF2中，由余弦定理得， EMBED Equation.3 当且仅当PF1＝PF2时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1MF2最大． 如果通过设椭圆上的点P(x，y)，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率e的范围．在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点P的坐标不易 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）．因此，在解题过程中要注意方法的选择． 三、离心率范围问题 1.已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2 ＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 ． 2．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线上存在一点 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 答案：(1, ) 3.已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）C A． B． C． D． 4、椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为 ，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为 ，若 ， ， ，则 ，该椭圆离心率e≥ ，取值范围是 ，选D。 5.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（ ）B A． B． C． D． 6. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ,点P在双曲线的右支上，且 ,则此双曲线的离心率e的最大值为：（ ）B A． B． C． D． 7.双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）B A.(1,3) B. C.(3,+ ) D. 8．已知双曲线 (a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 解析：双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，∴ ≥ ，离心率e2= ，∴ e≥2，选C P F2 O x y F1 B1 B2 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� _1289810357.unknown _1290014882.unknown _1316417858.unknown _1316418350.unknown _1337480478.unknown _1338046671.unknown _1338046791.unknown _1338046885.unknown _1400158380.unknown _1400160936.unknown _1400164118.unknown _1400160827.unknown _1351891020.unknown _1351891029.unknown _1400158160.unknown _1351890973.unknown _1338046826.unknown _1338046836.unknown _1338046811.unknown _1338046691.unknown _1338046766.unknown _1337612596.unknown _1337612743.unknown _1337612763.unknown _1337710197.unknown _1337710206.unknown _1337612754.unknown _1337612734.unknown _1337480687.unknown _1337611339.unknown _1337612547.unknown _1337486499.unknown _1337486554.unknown _1337486456.unknown _1337480636.unknown _1337480647.unknown _1337480479.unknown _1337480498.unknown _1337449822.unknown _1337476669.unknown _1337480064.unknown _1337480166.unknown _1337480282.unknown _1337480356.unknown _1337480190.unknown _1337480154.unknown _1337476772.unknown _1337476955.unknown _1337476956.unknown _1337476852.unknown _1337476737.unknown _1337476140.unknown _1337476384.unknown _1337476551.unknown _1337476250.unknown _1337457736.unknown _1337475099.unknown _1337476005.unknown _1337474597.unknown _1337449896.unknown _1337457687.unknown _1337457688.unknown _1337449878.unknown _1337439743.unknown _1337449579.unknown _1337449652.unknown _1337439804.unknown _1337439887.unknown _1337439949.unknown _1337439868.unknown _1337439768.unknown _1337439692.unknown _1337439718.unknown _1316421653.unknown _1316417970.unknown _1316418076.unknown _1316418100.unknown _1316418006.unknown _1316417926.unknown _1316417938.unknown _1316417878.unknown _1290014982.unknown _1306075048.unknown _1316417746.unknown _1316417822.unknown _1316417769.unknown _1306075236.unknown _1316417646.unknown _1306312341.unknown _1306075105.unknown _1306074794.unknown _1306074873.unknown _1305999375.unknown _1305999493.unknown _1305999512.unknown _1305999439.unknown _1290095543.unknown _1290095558.unknown _1290014984.unknown _1290014886.unknown _1290014890.unknown _1290014895.unknown _1290014896.unknown _1290014894.unknown _1290014891.unknown _1290014888.unknown _1290014889.unknown _1290014887.unknown _1290014884.unknown _1290014885.unknown _1290014883.unknown _1290014836.unknown _1290014874.unknown _1290014878.unknown _1290014880.unknown _1290014881.unknown _1290014879.unknown _1290014876.unknown _1290014877.unknown _1290014875.unknown _1290014857.unknown _1290014871.unknown _1290014873.unknown _1290014861.unknown _1290014870.unknown _1290014860.unknown _1290014855.unknown _1290014856.unknown _1290014854.unknown _1289810410.unknown _1290014216.unknown _1290014220.unknown _1290014225.unknown _1290014236.unknown _1290014237.unknown _1290014227.unknown _1290014222.unknown _1290014224.unknown _1290014221.unknown _1290014218.unknown _1290014219.unknown _1290014217.unknown _1290014212.unknown _1290014214.unknown _1290014215.unknown _1290014213.unknown _1290014204.unknown _1290014210.unknown _1290014211.unknown _1290014206.unknown _1290014207.unknown _1290014205.unknown _1290014202.unknown _1290014203.unknown _1289810411.unknown _1289810366.unknown _1289810386.unknown _1289810406.unknown _1289810408.unknown _1289810409.unknown _1289810407.unknown _1289810388.unknown _1289810390.unknown _1289810405.unknown _1289810389.unknown _1289810387.unknown _1289810382.unknown _1289810384.unknown _1289810385.unknown _1289810383.unknown _1289810368.unknown _1289810381.unknown _1289810367.unknown _1289810362.unknown _1289810364.unknown _1289810365.unknown _1289810363.unknown _1289810360.unknown _1289810361.unknown _1289810358.unknown _1289809675.unknown _1289809717.unknown _1289810331.unknown _1289810333.unknown _1289810340.unknown _1289810342.unknown _1289810343.unknown _1289810341.unknown _1289810334.unknown _1289810332.unknown _1289809719.unknown _1289810330.unknown _1289809718.unknown _1289809679.unknown _1289809700.unknown _1289809704.unknown _1289809715.unknown _1289809716.unknown _1289809714.unknown _1289809705.unknown _1289809702.unknown _1289809703.unknown _1289809701.unknown _1289809681.unknown _1289809699.unknown _1289809680.unknown _1289809677.unknown _1289809678.unknown _1289809676.unknown _1237013079.unknown _1289809658.unknown _1289809671.unknown _1289809673.unknown _1289809674.unknown _1289809672.unknown _1289809663.unknown _1289809669.unknown _1289809670.unknown _1289809665.unknown _1289809666.unknown _1289809667.unknown _1289809664.unknown _1289809661.unknown _1289809662.unknown _1289809659.unknown _1237013629.unknown _1289809654.unknown _1289809656.unknown _1289809657.unknown _1289809655.unknown _1289809652.unknown _1289809653.unknown _1289809602.unknown _1289809603.unknown _1289809601.unknown _1237013625.unknown _1237013627.unknown _1237013628.unknown _1237013626.unknown _1237013623.unknown _1237013624.unknown _1237013080.unknown _1237012691.unknown _1237013053.unknown _1237013077.unknown _1237013078.unknown _1237013076.unknown _1237013051.unknown _1237013052.unknown _1237013050.unknown _1234567915.unknown _1237012671.unknown _1237012673.unknown _1237012675.unknown _1237012676.unknown _1237012674.unknown _1237012672.unknown _1237012670.unknown _1237012663.unknown _1234567913.unknown _1234567914.unknown _1234567912.unknown