全国名校高中数学题库--概率与统计

“概率与统计”专题训练 一.随机抽样（简单随机抽样，系统抽样，分层抽样） 1.从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ B ） A．1，2，3，4，5 B、5，15，25，35，45 C．2, 4, 6, 8, 10 D、4，13，22，31，40 2.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ D ） A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8,16,10,6 3．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为__ 120_______ 4. 一个社会调查机构要了解某地区8000名教师的月收入情况，从中随机抽取400名进行调查，调查结果如下表所示： 则该地区月收入在[2000，4000]的教师估计有_ 6400___名． 5．某学校有学生4022人．为调查学生对2010年上海世博会的了解情况，现用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔是____ 134 ____． 6．某校高一年级有x名学生，高二年级有y名学生，高三年级有z名学生，采 用分层抽样抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽 取10人，高三年级共有学生300人，则此学校共有学生___900_____人. 7.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生参加摄影座谈会，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多_ 3 ___人. 8.一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采取分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了___ 5600_______件产品. 二.用样本估计总体（频率分布直方图，茎叶图，众数，中位数，平均数，标准差，方差） 1.频率分布直方图：小长方形的面积 = 频率，各个小矩形的面积之和为1 2.众数：出现次数最多的数 3.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 4.标准差： 5.方差： 方差(或标准差)越小，数据越稳定. 1.某人从一鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，结果发现有记号的鱼为10条（假定鱼池中不死鱼，也不增加），则鱼池中大约有鱼(B ) A.120条 B.1200条 C.130条 D.1000条 2.某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60 名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整 数）分成六段，…后画出如 下部分观察频率分布直方图图形的信息，估计这 次考试的平均分为（ D ） A．70 B．72 C．73 D．71 3．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ A ） A．63 B．64 C．65 D．66 4.在某次考试中，共有100个学生参加考试，如果某题的得 分情况如下 那么这些得分的众数是( C ) A.37.0% B.20.2% C.0分 D.4分 5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数 方差 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是(C ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6.随机调查某校50个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表： 这50个学生“六一”节午餐费的平均值和方差分别是 (A ) A.4.2,0.56 B.4.2, C.4,0.6 D.4, 7.一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为(A　) A．9 B．3 C．17 D．－11 8．对某校400名学生的体重（单位：）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60以上的人数为（ B ） A． 300 B． 100 C． 60 D． 20 第9题图 9.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是 48 . 10.在光明中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级的两个班的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制出如下的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40，则这两个班参赛的学生人数为 100 . 11.一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝____ 15____. 12．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分、0分的学生所占比例分别为30%、40%、20%、10%.若全班共有30人，则全班同学的平均得分是__1.9______分 13.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均分为90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是___85__分. 14．样本101,98,102,100,99的标准差为_____ ______ 15.已知一组数a，0，1，2，3的平均值为1，则样本方差为 2 16．为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得出茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派哪名运动员合适？ 提示： 应选派甲 三.统计案例 临界值表如下： P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 1．下列各关系中是相关关系的是(　C　) ①路程与时间(速度一定)的关系；②加速度与力的关系；③产品成本与产量的关系；④圆周长与圆面积的关系；⑤广告费支出与销售额的关系． A．①②④　　　　　　 B．①③⑤ C．③⑤ D．③④⑤ 2．工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝50＋80x下列判断正确的是(　B　) A．劳动生产率为1000元时，工资为130元 B．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元 C．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元 D．当月工资250元时，劳动生产率为2000元 3．(2011年高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))中的eq \o(b,\s\up6(^))为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为(　B　) A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 x 0 1 2 3 y 8 2 6 4 4.已知x、y之间的一组数据如下： 则线性回归方程 所表示 的直线必经过点 5.为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 无效 有效 总计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计 21 79 100 设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则K2的观测值k≈___4.882_____，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为____0.05____． 6．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表： 转速x(转/秒) 16 14 12 8 每小时生产缺损零件数y(件) 11 9 8 5 (1)作出散点图； (2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程； (3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？ 提示： （2） =12.5， =8.25 线性回归方程为： （3） ，所以运转速度应控制在12转/秒内. 7.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合 计 男 生 20 5 25 女 生 10 15 合 计 30 20 50 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由. 提示： 四.概率 1. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　D　) A. eq \f(1,10) B. eq \f(3,10 ) C. eq \f(3,5) D. eq \f(9,10) 2. 某商场在春节举行抽奖促销活动，规则是：从装有编为，，，四个小 球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于中一等奖，等 于中二等奖，等于中三等奖，则中奖的概率是（ B ） A. B. C. D. 3．记集合 和集合 表 示的平面区域分别为 ，若在区域 内任取一点 ，则点M落在区域 内的概率为（ A ） A． B． C． D． 4．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是eq \f(1,4)，乙队胜的概率是eq \f(1,3)，则甲不输的概率是____ ____． 5．从含有2件正品和1件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后再放回，连续取两次，则两次取出的产品中恰好有一件次品的概率是____ ____． 6.在区间 内任取两个实数，则这两个实数之和小于 的概率是　 　． 7.在边长为1的正方形ABCD内随机选一点M，则点M到点D的距离小于正方形的边长的概率是 . 8.已知集合在平面直角坐标系中，点M的坐标 满足． （1）请列出点M的所有坐标； （2）求点M不在 轴上的概率； （3）求点M正好落在区域上的概率． 提示： （1）基本事件有16个(-2，-2)(-2,0)(-2,1)(-2,3) (0，-2)(0,0)(0,1)(0,3) (1，-2)(1,0)(1,1)(1,3) (-3，-2)(3,0)(3,1)(3,3) （2） （3） 9.已知集合，， （1）在区间上任取一个实数，求“”的概率； （2）设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率. 1）由已知 ， ，…………………………2分 设事件“ ”的概率为 ， 这是一个几何概型，则 。………………………………………5分 （2）因为 ，且 ， 所以， ， 基本事件由下表列出，共12个： 共有12个结果，即12个基本事件： 1， 2， 3， 4，0， 1， 2， 3，1，0， 1， 2 ………9分 又因为 ， 设事件 为“ ”，则事件 中包含9个基本事件，………………11分 事件 的概率 。………………………………………… 12分 10.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号 为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到 标号是2的小球的概率是eq \f(1,2). (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率． (1)由题意可知：eq \f(n,1＋1＋n)＝eq \f(1,2)，解得n＝2. (2) 不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个， 事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个． ∴P(A)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3). 11.箱子中装有6张卡片，分别写有1到6这6个整数. 从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数 ，然后放回箱子，第二次再从箱子中取出一张卡片，记下它的读数 ，试求： （1） 是5的倍数的概率；（2） 是3的倍数的概率； （3） 中至少有一个5或6的概率. 提示：共有36个基本事件 （1） （2） （3） 12.某校一个甲类班x名学生在2012年某次数学测试中，成绩全部介于90分与 140分之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组 ；第二组 第五组 ，下表是按上述分组方法得到的频率分布表： （1）求x及分布表中m，n，t的值； （2）设a，b是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩， 求事件“ 的概率.” 提示：(1) m=2,n=14,t=0.2 (2)基本事件有10个，列举略 13.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组，……，第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为 良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； （2）设、表示该班某两位同学的百米 测试成绩，且已知，求事件 “ ”的概率. （Ⅰ）由直方图知，成绩在内的人数为：（人） 所以该班成绩良好的人数为27人. ┉┉3分 （Ⅱ）由直方图知，成绩在的人数为人， 设为、、；成绩在 的人数为人，设为、、、. 若同时在或内时， 若时，有3种情况； 若时，有6种情况； 共有9种情况： ┉┉9分 所以基本事件总数为21种. 记事件“ ”为事件E,则 事件E所包含的基本事件个数有12种. ∴P（E）= . 即事件“ ”的概率为 . ………12分 14.某车间将名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表： 1号 2号 3号 4号 5号 甲组 4 5 7 9 10 乙组 5 6 7 8 9 ⑴分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合成合格零件的平均数及方差，并由此比较两组技工的技术水平； ⑵质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率． 解：⑴依题意，，……2分 ……3分 ……4分 因为，，所以，两组技工的总体水平相同，甲组技工的技术水平差异比乙组大……6分 ⑵记该车间“质量合格”为事件A，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9） （9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7）， （10，8），（10，9）共25种……8分 事件A包含的基本事件为：（4，9），（5，8），（5，9），（7，6），（7，7）， （7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5）， （10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种……10分，所以……11分。答：即该车间“质量合格”的概率为 ……12分 15.设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}． (1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果； (2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率． 　(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个． (2)由am⊥(am－bn)得，am·(am－bn)＝m(m－2)＋1·(1－n)＝m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2 由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝eq \f(2,16)＝eq \f(1,8). 16.已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率. 设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y. 基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件； 其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 则P(A)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6)，即向量a∥b的概率为eq \f(1,6). 17.某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历) 学历 35岁以下 35～50岁 50岁以上 本科 80 30 20 研究生 20 的调查，其结果(人数分布)如下表： （1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率； （2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为 ，求 、 的值. 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为 ， ∴ , 解得 . …… 2分 ∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S1、S2 ；B1、B2、B3 . 从中任取2人的所有基本事件共10个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),(S2, B2), (S2, B3), (S1, S2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3). 其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1), (S2, B2), (S2, B3), (S1, S2). … 4分 ∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为. …… 6分 (2)解: 依题意得： ，解得 . …… 8分 ∴ 35～50岁中被抽取的人数为 . ∴ . … 10分 解得 . ∴ . …… 12分 18. 某单位为了解职工的睡眠情况，从中抽取40名职工作为样本进行调查，调 查的数据整理分组如下表示： （1）将以上表格补充完整； （2）在给定的坐标系内画出样本的频率分布直方图； （3）若按下面的方法在样本中从睡眠不足6小时 的职工中抽取一人；把睡眠不足6小时的8人从2 到9进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出 现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到5或8 号的概率. 提示：（3）基本事件有36个，列举略 （第8题图） 0.010 70 65 60 55 50 45 体重（� EMBED Equation.3 ���） � EMBED Equation.3 ��� 0 0.034 0.040 0.056 0.060 分数 � EMBED Equation.3 ��� 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 PAGE 3 _1388225521.unknown _1396184734.unknown _1396185594.unknown _1396187349.unknown _1396187556.unknown _1396187611.unknown _1396187742.unknown _1396187459.unknown _1396187283.unknown _1396187315.unknown _1396185687.unknown _1396185830.unknown _1396185924.unknown _1396185705.unknown _1396185667.unknown _1396185014.unknown _1396185077.unknown _1396185571.unknown _1396185043.unknown _1396184897.unknown _1396184998.unknown _1396184797.unknown _1388226533.unknown _1396184485.unknown _1396184626.unknown _1396184647.unknown _1396184560.unknown _1393762851.unknown _1395642018.unknown _1396183704.unknown _1396183757.unknown _1393763014.unknown _1393676783.unknown _1388226600.unknown _1388225591.unknown _1388226515.unknown _1388226524.unknown _1388225596.unknown _1388225558.unknown _1388225563.unknown _1388225532.unknown _1234568112.unknown _1234568120.unknown _1388225455.unknown _1388225497.unknown _1388225509.unknown _1388225472.unknown _1234568124.unknown _1234568126.unknown _1296727917.unknown _1296728023.unknown _1234568125.unknown _1234568122.unknown _1234568123.unknown _1234568121.unknown _1234568116.unknown _1234568118.unknown _1234568119.unknown _1234568117.unknown _1234568114.unknown _1234568115.unknown _1234568113.unknown _1234567975.unknown _1234568104.unknown _1234568108.unknown _1234568110.unknown _1234568111.unknown _1234568109.unknown _1234568106.unknown _1234568107.unknown _1234568105.unknown _1234568102.unknown _1234568103.unknown _1234568009.unknown _1234568011.unknown _1234568013.unknown _1234568014.unknown _1234568012.unknown _1234568010.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568006.unknown _1234567967.unknown _1234567971.unknown _1234567973.unknown _1234567974.unknown _1234567972.unknown _1234567969.unknown _1234567970.unknown _1234567968.unknown _1234567906.unknown _1234567911.unknown _1234567931.unknown _1234567908.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567904.unknown _1234567905.unknown _1234567897.unknown _1234567903.unknown