附录A 一维
问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
数值解与计算程序
一维
问题，即激波管问题，是一个典型的一维可压缩无黏气体动力学问题，并有 解析解。对它采用二阶精度
两步差分格式进行数值求解。同时，为了初学者入门和练习方便,这里给出了用
语言和
编写的计算一维
问题的计算程序，供大家学习参考。
A-1利用
两步差分格式求解一维
问题
1.一维
问题
一维
问题实际上就是激波管问题。激波管是一根两端封闭、内部充满气体的直管，如图A.1所示。在直管中由一薄膜将激波管隔开，在薄膜两侧充有均匀理想气体（可以是同一种气体，也可以是不同种气体），薄膜两侧气体的压力、密度不同。当
时，气体处于静止状态。当
时，薄膜瞬时突然破裂，气体从高压端冲向低压端，同时在管内形成激波、稀疏波和接触间断等复杂波系。
2.基本方程组、初始条件和边界条件
设气体是理想气体。一维
问题在数学上可以用一维可压缩无黏气体
方程组来描述。在直角坐标系下量纲为一的一维
方程组为：
(A.1)
其中
(A.2)
这里
、
、
、
分别是流体的密度、速度、压力和单位体积总能。理想气体状态方程：
（A.3）
初始条件：
；
。
边界条件：
和
处为自由输出条件，
,
。
3.二阶精度
差分格式
两步差分格式：
(A.4)
其中
。计算实践表明，
两步差分格式不能抑制激波附近非物
理振荡。因此在计算激波时，必须采用人工黏性滤波方法：
(A.5)
为了在激波附近人工黏性起作用，而在光滑区域人工黏性为零，需要引入一个与密度（或者压力）相关的开关函数：
(A.6)
由式(A.6) 可以看出，在光滑区域，密度变化很缓，因此
值也很小；而在激波附近密度变化很陡，
值就很大。带有开关函数的前置人工黏性滤波方法为：
(A.7)
其中参数
往往需要通过实际试算来确定，也可采用线性近似方法得到：
(A.8)
由于声速不会超过3，所以取
，在本计算中取
。
4.计算结果分析
计算分别采用标准的
语言和
语言编写程序。计算中网格数取
，计算总时间为
。计算得到在
时刻的密度、速度和压力分布如图A.2（
语言计算结果）和图A.3（
语言计算结果）所示。采用两种不同语言编写程序所得到的计算结果完全吻合。
从图A.2和图A.3中可以发现，
两步差分格式能很好地捕捉激波，计算得到的激波面很陡、很窄，计算激波精度是很高的。采用带开关函数的前置人工滤波法能消除激波附近的非物理振荡，计算效果很好。
从图A.2和图A.3中可以看出通过激波后气体的密度、压力和速度都是增加的；在压力分布中存在第二个台阶，表明在这里存在一个接触间断，在接触间断两侧压力是有间断的，而密度和速度是相等的。这个计算结果正确地反映了一维
问题的物理特性，并被激波管实验所验证。
A-2 一维
问题数值计算源程序
1.
语言源程序
// MacCormack1D.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
/*-----------------------------------------------------------------------------------------------------
*利用
差分格式求解一维激波管问题（
语言版本）
* -------------------------------------------------------------------------------------------------------*/
//#include "stdafx.h"
#include
#include
#include
#define GAMA 1.4//气体常数
#define PI 3.141592654
#define L 2.0//计算区域
#define TT 0.4//总时间
#define Sf 0.8//时间步长因子
#define J 1000//网格数
//全局变量
double U[J+2][3],Uf[J+2][3],Ef[J+2][3];
/*-------------------------------------------------------
计算时间步长
入口: U，当前物理量，dx，网格宽度；
返回: 时间步长。
---------------------------------------------------------*/
double CFL(double U[J+2][3],double dx)
{
int i;
double maxvel,p,u,vel;
maxvel=1e-100;
for(i=1;i<=J;i++)
{
u=U[i][1]/U[i][0];
p=(GAMA-1)*(U[i][2]-0.5*U[i][0]*u*u);
vel=sqrt(GAMA*p/U[i][0])+fabs(u);
if(vel>maxvel)maxvel=vel;
}
return Sf*dx/maxvel;
}
/*-------------------------------------------------------
初始化
入口: 无；
出口: U， 已经给定的初始值，
dx, 网格宽度。
---------------------------------------------------------*/
void Init(double U[J+2][3],double & dx)
{
int i;
double rou1=1.0 ,u1=0.0,p1=1.0; //初始条件
double rou2=0.125,u2=0.0,p2=0.1;
dx=L/J;
for(i=0;i<=J/2;i++)
{
U[i][0]=rou1;
U[i][1]=rou1*u1;
U[i][2]=p1/(GAMA-1)+rou1*u1*u1/2;
}
for(i=J/2+1;i<=J+1;i++)
{
U[i][0]=rou2;
U[i][1]=rou2*u2;
U[i][2]=p2/(GAMA-1)+rou2*u2*u2/2;
}
}
/*-------------------------------------------------------
边界条件
入口: dx，网格宽度；
出口: U， 已经给定的边界。
---------------------------------------------------------*/
void bound(double U[J+2][3],double dx)
{
int k;
//左边界
for(k=0;k<3;k++)U[0][k]=U[1][k];
//右边界
for(k=0;k<3;k++)U[J+1][k]=U[J][k];
}
/*-------------------------------------------------------
根据U计算E
入口: U， 当前U矢量；
出口: E， 计算得到的E矢量，
U、E的定义见Euler方程组。
---------------------------------------------------------*/
void U2E(double U[3],double E[3])
{
double u,p;
u=U[1]/U[0];
p=(GAMA-1)*(U[2]-0.5*U[1]*U[1]/U[0]);
E[0]=U[1];
E[1]=U[0]*u*u+p;
E[2]=(U[2]+p)*u;
}
/*-------------------------------------------------------
一维
差分格式求解器
入口: U， 上一时刻的U矢量，Uf、Ef，临时变量，
dx，网格宽度，dt, 时间步长；
出口: U， 计算得到的当前时刻U矢量。
---------------------------------------------------------*/
void MacCormack_1DSolver(double U[J+2][3],double Uf[J+2][3],double Ef[J+2][3],double dx,double dt)
{
int i,k;
double r,nu,q;
r=dt/dx;
nu=0.25;
for(i=1;i<=J;i++)
{
q=fabs(fabs(U[i+1][0]-U[i][0])-fabs(U[i][0]-U[i-1][0]))
/(fabs(U[i+1][0]-U[i][0])+fabs(U[i][0]-U[i-1][0])+1e-100); //开关函数
for(k=0;k<3;k++)
Ef[i][k]=U[i][k]+0.5*nu*q*(U[i+1][k]-2*U[i][k]+U[i-1][k]);//人工黏性项
}
for(k=0;k<3;k++)
for(i=1;i<=J;i++)U[i][k]=Ef[i][k];
for(i=0;i<=J+1;i++)U2E(U[i],Ef[i]);
for(i=0;i<=J;i++)
for(k=0;k<3;k++)
Uf[i][k]=U[i][k]-r*(Ef[i+1][k]-Ef[i][k]); //U(n+1/2)(i+1/2)
for(i=0;i<=J;i++)U2E(Uf[i],Ef[i]); //E(n+1/2)(i+1/2)
for(i=1;i<=J;i++)
for(k=0;k<3;k++)
U[i][k]=0.5*(U[i][k]+Uf[i][k])-0.5*r*(Ef[i][k]-Ef[i-1][k]); //U(n+1)(i)
}
/*-------------------------------------------------------
输出结果, 用
数据格式画图
入口: U， 当前时刻U矢量，dx， 网格宽度；
出口: 无。
---------------------------------------------------------*/
void Output(double U[J+2][3],double dx)
{
int i;
FILE *fp;
double rou,u,p;
fp=fopen("result.txt","w");
for(i=0;i<=J+1;i++)
{
rou=U[i][0];
u=U[i][1]/rou;
p=(GAMA-1)*(U[i][2]-0.5*U[i][0]*u*u);
fprintf(fp,"%20f%20.10e%20.10e%20.10e%20.10e\n",i*dx,rou,u,p,U[i][2]);
}
fclose(fp);
}
/*-------------------------------------------------------
主函数
入口: 无；
出口: 无。
---------------------------------------------------------*/
void main()
{
double T,dx,dt;
Init(U,dx);
T=0;
while(T
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