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基本不等式变形技巧的应用(1)

基本不等式变形技巧的应用(1)《利用基本不等式变形技巧求最值》的设计思路及教学反思吉安一中涂晓蕾学生来自高一（7）班，在与学生平时的交流中，我发现他们对利用基本不等式求最值把握得还不是很好，而这部分又是高考的重要考点，分布于高考的各类题型中，因此，我这节课的教学目标设定为： 1.知识与技能：能够运用基本不等式变形技巧解决一些求函数最值的问题。 2.过程与方法：本节课是利用基本不等式求最值的延伸。整堂课围绕如何引导学生抓住使用基本不等式求最值的三个条件（一正二定三相等）。分类安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。根据课堂情况及时提出...

《利用基本不等式变形技巧求最值》的设计思路及教学反思吉安一中涂晓蕾学生来自高一（7）班，在与学生平时的交流中，我发现他们对利用基本不等式求最值把握得还不是很好，而这部分又是高考的重要考点，分布于高考的各类题型中，因此，我这节课的教学目标设定为： 1.知识与技能：能够运用基本不等式变形技巧解决一些求函数最值的问题。 2.过程与方法：本节课是利用基本不等式求最值的延伸。整堂课围绕如何引导学生抓住使用基本不等式求最值的三个条件（一正二定三相等）。分类安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误。 3.情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性。为了完成以上教学目标，我设计了三个环节：一、复习回顾。主要以学生之间的互动和问答为主，这种形式不仅可以激发学生的主动参与性，还能激发他们的创造性思维。此环节的问题设计，主要以学生为主，教师在课前做了相应的指导。但是，在学生实际的互动中，很有可能出现教师意想不到的问题，这就需要教师善于引导并灵活处理。二、典型例题。主要以师生间的问答为主，目的是通过教师的问题式启发，逐步引领学生体验如何在具体问题中抓住解题的关键，并正确作答。三、巩固练习。加强对课上例题的巩固，真正达到高效吸收。技巧一：加减常数例1、求函数y=xx−11(x=1)的值域。解：（1）当x>1时，有x−1>0,x−11>0，y=xx−11=(x−1)x−111≥2(x−1)⋅x−111=3，当且仅当x−1=x−11，即x＝2时，等号成立，此时y的最小值为3.（2）当x<1时，x−1<0,x−11<0，所以1−x>0,1−x1>0，y=xx−11=(x−1)x−111=−[(1−x)1−x1]1≤2(1−x)⋅1−x11=−1，当且仅当1−x=1−x1，即x＝0时，等号成立，此时y的最大值为－1，综上所述，该函数的值域为(−∞,−1]∪[3,∞).【变式】已知求的最大值. 点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。技巧二：巧变常数例2、已知00，所以y=x(1−2x)=21⋅2x⋅(1−2x)≤21[22x(1−2x)]2=81.解法二：因为00，所以y=x(1−2x)=2⋅x(21−x)≤2[2x(21−x)]2=81，当且仅当x=21−x，即x=41时，等号成立，所以当x=41时，y的最大值为81.【变式】已知求的最大值. 点评：形如f(x)=x(1−ax)或f(x)=x2(1−ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。技巧三、分离常数例3、已知x≥25，则f(x)=2x−4x2−3x3有（）A、最大值45 B、最小值45 C、最大值23 D、最小值23分析：本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件。解：f(x)=2x−4x2−3x3=2(x−2)(x−1)(x−2)1=21((x−2)x−211)≥23，当且仅当x−2=x−21，即x＝3时，函数有最小值23，故选D.【变式】点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。技巧四、活用常数例4、若x,y∈R且满足x4y16=1，求x＋y的最小值。解：由x,y∈R且x4y16=1得xy=(xy)(x4y16)=x4yy16x20≥2x4y⋅y16x20=36，当且仅当x4y=y16x，即x＝12且y＝24时，等号成立，所以x＋y的最小值是36.【变式】已知的最小值点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。技巧五、统一形式例5、已知a,b,c∈R，求(abc)(ab1c1)的最小值。解：(abc)(ab1c1)=[(ab)c](ab1c1)=2abccab≥22abc⋅cab=4，所以当a＋b＝c时，(abc)(ab1c1)的最小值为4.【变式】已知x，y为正实数，且=1，求的最大值；点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数y=x1−x2(0 内容多、量大，给予学生思考的时间不充分，有点牵着学生走的感觉，当提问学生不会回答时，有点急燥的情绪，对学生认知水平估计有点过高。同时反映了学生课前预习不够充分，知识的理解能力不够灵活。总之，本节课基本实现了预定的教学目标。课堂提问环节在整个过程中不仅帮助突出了重、难点，还有助于开展师生间、生生间的互动和问答，比较有效的推进了课堂进程，对本节课教学任务的完成起到了重要作用。以上如有不妥之处，还请各位领导和老师们批评和指正! 谢谢！

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