高等数学（一）2

高等数学（一）--综合测评 题目 一 二 三 四 五 六 七 分数 得分 一、单选题 （每题4分，共100分） 1．极限$lim_(x->0)(1-x/3)^(3/x)$=（） A．$e^(-1)$ B．$e$ C．$e^(-3)$ D．$e^(-2)$ 2．函数$y=ln(sqrt(1+x^(2))-sqrt(1-x^(2)))$的定义域是（） A．$|x|<=1$ B．$|x|<1$ C．$0<|x|<=1$ D．$0<|x|<1$ 3．函数$y=1-cosx$的值域是（） A．$[-1,1]$ B．$[0,1]$ C．$[0,2]$ D．$(-oo,+oo)$ 4．曲线$y=e^(-x^(2))$上拐点的个数是（） A．$0$ B．$1$ C．$2$ D．$3$ 5．设产品的利润函数为$L(x)$，则生产$x_(0)$个单位时的边际利润为（） A．$(L(x_(0)))/x_(0)$ B．$(dL(x))/(dx)$ C．$(dL(x))/(dx)|_(x=x_(0))$ D．$d/(dx)((L(x))/(dx))$ 6．设函数$f(x)=(x-alpha)phi(x)$，$phi(x)$在$x=alpha$处可导，则（） A．$f^(’)(x)=phi(x)$ B．$f^(’)(alpha)=phi^(’)(alpha)$ C．$f^(’)(alpha)=phi(alpha)$ D．$f^(’)(x)=phi(x)+(x-alpha)$ 7．曲线$y=e^(x)$，$y=e^(-x)$和直线$x=1$所围成平面图形的面积$A$以及其绕$x$轴旋转而成的旋转体的体积$V_(x)$分别为（） A．$e+1/e+2，pi/2(e^(2)+e^(-2)+2)$ B．$e+1/e-2，pi/2(e^(2)+e^(-2)-2)$ C．$e+1/e，pi/2(e^(2)+e^(-2))$ D．$e+1/e-2，e^(2)+e^(-2)-2$ 8．求定积分$int_(pi/4)^(pi/3)x/(sin^(2)x)dx=$（） A．$1/2ln(3/2)+(9-4sqrt(3))/36pi$ B．$1/2ln(3/2)$ C．$(9-4sqrt(3))/36pi$ D．$1/2ln(3/2)+(9+4sqrt(3))/36pi$ 9．微分方程$y^(’)=e^(x-2y)$的通解是（） A．$y=1/2ln(2e^(x)+C)$ B．$y=ln(2e^(x)+C)$ C．$y=1/2ln(e^(x)+C)$ D．$y=ln(e^(x)+C)$ 10．设$z=xln(x+y)$，则$z_(xy)^(”)=$（） A．$x/(x+y)^(2)$ B．$y/(x+y)^(2)$ C．$y/(x+y)$ D．$y/(x-y)^(2)$ 11．设$z=x^(2)ln(xy)$，则$dz=$（） A．$(2ln(xy)+1)xdx+x^(2)/ydy$ B．$xdx+x^(2)/ydy$ C．$2ln(xy)xdx+x^(2)/ydy$ D．$(2ln(xy)+1)xdx+x/ydy$ 12．$intint_(x^(2)+y^(2)<=2)dxdy=$（） A．$pi$ B．$4$ C．$2pi$ D．$2$ 13．函数$y=ln(1/x)$在$(0,1)$内（） A．是无界的 B．是有界的 C．是常数 D．是小于零的 14．若$f(1/x)=((x+1)/x)^2$，则$f(x)=$（） A．$(x/(x+1))^2$ B．$((x+1)/x)^2$ C．$(1+x)^2$ D．$(1-x)^2$ 15．已知函数$f(x)={(x^ksin(1/x),x>0),(0,x<=0):}$在x=0处连续，则常数k的取值范围为（） A．$k<=0$ B．$k>0$ C．$k>1$ D．$k>2$ 16．函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$在其定义域内（） A．无极值 B．有1个极值 C．有2个极值 D．有3个极值 17．下列函数曲线中，在$(-oo,+oo)$内是凸的曲线为（） A．$y=2x^2+e^x$ B．$y=(1-x)^4$ C．$y=x^3-3x^2-9x+9$ D．$y=4x-x^2$ 18．设$y=e^(sin^2x)$，则$y^’$=（） A．$2sinxe^(sin^2x)$ B．$2cosxe^(sin2x)$ C．$sin2xe^(sin^2x)$ D．$cos2xe^(sin^2x)$ 19．下列微分方程中，不是可分离变量的微分方程为（） A．$y^’=dy/dx=2xy$ B．$(1+x^2)dy+xydx=0$ C．$dy/dx+2/xy=x^2$ D．$y^’-e^xy=0$ 20．设$intf(x)dx=xsinx+cosx+C$，则$intf^’(x)dx$=（） A．$xcosx+C$ B．$xsinx+cosx+C$ C．$xsinx+C$ D．$-xcosx+2sinx+C$ 21．设函数f(x)在$[0,1]$上连续，则$int_0^1f(4x)dx$=（） A．$int_0^4f(t)dt$ B．$1/4int_0^4f(t)dt$ C．$4int_0^4f(t)dt$ D．$1/4int_0^1f(t)dt$ 22．设$intf(x)dx=e^(-2x+1)+C$，则$intf(2x+1)dx$=（） A．$1/2e^(-4x-1)+C$ B．$-e^(-2x+1)+C$ C．$e^(-2x+1)+C$ D．$1/2e^(-4x+3)+C$ 23．设二元函数$f(x,y)=(sinxy)/y$，则$f_y^’(0,3)$=（） A．0 B．1 C．2 D．3 24．设函数$z=arc cot(y/x)$，求二阶偏导数$(del^2z)/(delxdely)$=（） A．$(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2$ B．$(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$ C．$(x^2+y^2)/(x^2-y^2)^2$ D．$(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$ 25．设函数f(u)可导，$z=f(y/x)$，则：$x(delz)/(delx)+y(delz)/(dely)$=（） A．$-1$ B．0 C．1 D．x 试卷答案 一、单选题 1．极限$lim_(x->0)(1-x/3)^(3/x)$=（） A．$e^(-1)$ B．$e$ C．$e^(-3)$ D．$e^(-2)$ 答案： a 答案要点： $lim_(x->0)(1-x/3)^(3/x)=lim_(x->0)[(1-x/3)^(-3/x)]^(-1)=e^(-1)$ 2．函数$y=ln(sqrt(1+x^(2))-sqrt(1-x^(2)))$的定义域是（） A．$|x|<=1$ B．$|x|<1$ C．$0<|x|<=1$ D．$0<|x|<1$ 答案： C 答案要点： ${(1+x^(2)>=0),(1-x^(2)>=0),(sqrt(1+x^(2))-sqrt(1-x^(2))>0):}=>{(-1<=x<=1),(x!=0):}$ 答案选C 3．函数$y=1-cosx$的值域是（） A．$[-1,1]$ B．$[0,1]$ C．$[0,2]$ D．$(-oo,+oo)$ 答案： C 答案要点： $cosx$的值域是$[-1,1]$ 所以$1-cosx$的值域是$[1-1,1+1]=[0,2]$ 4．曲线$y=e^(-x^(2))$上拐点的个数是（） A．$0$ B．$1$ C．$2$ D．$3$ 答案： c 答案要点： 因为，$y^(’)=(e^(-x^(2)))^(’)=e^(-x^(2))(-x^(2))^(’)=-2xe^(-x^(2))$ $y^(”)=(-2xe^(-x^(2)))^(’)=-2(e^(-x^(2))-2x^(2)e^(-x^(2)))=2e^(-x^(2))(2x^(2)-1)$ 令$y^(”)=0$，解得$x=+-sqrt(2)/2$ 如图所示 5．设产品的利润函数为$L(x)$，则生产$x_(0)$个单位时的边际利润为（） A．$(L(x_(0)))/x_(0)$ B．$(dL(x))/(dx)$ C．$(dL(x))/(dx)|_(x=x_(0))$ D．$d/(dx)((L(x))/(dx))$ 答案： c 答案要点： 利润函数为$L(x)$，则边际利润函数为$(dL(x))/(dx)$ 生产单位$x_(0)$时的边际利润$(dL(x))/(dx)|_(x=x_(0))$ 答案选C 6．设函数$f(x)=(x-alpha)phi(x)$，$phi(x)$在$x=alpha$处可导，则（） A．$f^(’)(x)=phi(x)$ B．$f^(’)(alpha)=phi^(’)(alpha)$ C．$f^(’)(alpha)=phi(alpha)$ D．$f^(’)(x)=phi(x)+(x-alpha)$ 答案： C 答案要点： 因为$f(x)=(x-alpha)phi(x)$ 所以$f^(’)(x)=phi(x)+(x-alpha)phi^(’)(x)$ 所以$f^(’)(alpha)=phi(alpha)+(alpha-alpha)phi^(’)(alpha)=phi(alpha)$ 所以，选C 7．曲线$y=e^(x)$，$y=e^(-x)$和直线$x=1$所围成平面图形的面积$A$以及其绕$x$轴旋转而成的旋转体的体积$V_(x)$分别为（） A．$e+1/e+2，pi/2(e^(2)+e^(-2)+2)$ B．$e+1/e-2，pi/2(e^(2)+e^(-2)-2)$ C．$e+1/e，pi/2(e^(2)+e^(-2))$ D．$e+1/e-2，e^(2)+e^(-2)-2$ 答案： b 答案要点： $A=int_(0)^(1)(e^(x)-e^(-x))dx=(e^(x)+e^(-x))|_(0)^(1)=(e^(1)-e^(0))+(e^(-1)-e^(0))=e+1/e-2$ $V_(x)=piint_(0)^(1)(e^(2x)-e^(-2x))dx=pi/2(e^(2x)+e^(-2x))|_(0)^(1)=pi/2(e^(2)+e^(-2)-2)$ 8．求定积分$int_(pi/4)^(pi/3)x/(sin^(2)x)dx=$（） A．$1/2ln(3/2)+(9-4sqrt(3))/36pi$ B．$1/2ln(3/2)$ C．$(9-4sqrt(3))/36pi$ D．$1/2ln(3/2)+(9+4sqrt(3))/36pi$ 答案： A 答案要点： $int_(pi/4)^(pi/3)x/(sin^(2)x)dx=int_(pi/4)^(pi/3)xcsc^(2)xdx=-int_(pi/4)^(pi/3)xdcotx$ $=int_(pi/4)^(pi/3)cotxdx-xcotx|_(pi/4)^(pi/3)$ $=ln|sinx||_(pi/4)^(pi/3)-(pi/3cot(pi/3)-pi/4cot(pi/4))$ $=ln|sin(pi/3)|-ln|sin(pi/4)|-(pi/3sqrt(3)/3-pi/4)$ $=ln(sqrt(3)/2*2/sqrt(2))-sqrt(3)/9pi+pi/4$ $=1/2ln(3/2)+(1/4-sqrt(3)/9)pi$ $=1/2ln(3/2)+(9-4sqrt(3))/36pi$ 9．微分方程$y^(’)=e^(x-2y)$的通解是（） A．$y=1/2ln(2e^(x)+C)$ B．$y=ln(2e^(x)+C)$ C．$y=1/2ln(e^(x)+C)$ D．$y=ln(e^(x)+C)$ 答案： A 答案要点： 原方程变形为$(dy)/(dx)=e^(x-2y)$，$e^(2y)dy=e^(x)dx$ 两边积分得$inte^(2y)dy=inte^(x)dx$，则$1/2e^(2y)=e^(x)+C/2$，即$y=1/2ln(2e^(x)+C)$ 10．设$z=xln(x+y)$，则$z_(xy)^(”)=$（） A．$x/(x+y)^(2)$ B．$y/(x+y)^(2)$ C．$y/(x+y)$ D．$y/(x-y)^(2)$ 答案： B 答案要点： $z_(x)^(’)=ln(x+y)+x/(x+y)$ $z_(y)^(’)=x/(x+y)$ $z_(xy)^(’)=z_(yx)^(’)=(x/(x+y))_(x)^(’)=(x+y-x)/(x+y)^(2)=y/(x+y)^(2)$ 11．设$z=x^(2)ln(xy)$，则$dz=$（） A．$(2ln(xy)+1)xdx+x^(2)/ydy$ B．$xdx+x^(2)/ydy$ C．$2ln(xy)xdx+x^(2)/ydy$ D．$(2ln(xy)+1)xdx+x/ydy$ 答案： A 答案要点： $(delz)/(delx)=(x^(2)ln(xy))_(x)^(’)=2xln(xy)+x^(2)*y/(xy)=2xln(xy)+x=(2ln(xy)+1)x$ $(delz)/(dely)=(x^(2)ln(xy))_(y)^(’)=x^(2)*x/(xy)=x^(2)/y$ $dz=(delz)/(delx)dx+(delz)/(dely)dy=(2ln(xy)+1)xdx+x^(2)/ydy$ 12．$intint_(x^(2)+y^(2)<=2)dxdy=$（） A．$pi$ B．$4$ C．$2pi$ D．$2$ 答案： C 答案要点： 利用二重积分的性质：当被积函数是$1$时，二重积分的值是被积区域的面积 $intint_(x^(2)+y^(2)<=2)dxdy=pi(sqrt(2))^(2)=2pi$ 13．函数$y=ln(1/x)$在$(0,1)$内（） A．是无界的 B．是有界的 C．是常数 D．是小于零的 答案： a 答案要点： 函数$y=ln(1/x)=-lnx$，其图像与$y=lnx$的图像关于$x$轴对称，观察图像可知，只有$A$是正确的，故选$A$. 14．若$f(1/x)=((x+1)/x)^2$，则$f(x)=$（） A．$(x/(x+1))^2$ B．$((x+1)/x)^2$ C．$(1+x)^2$ D．$(1-x)^2$ 答案： c 答案要点： $f(1/x)=((x+1)/x)^2=(1+(1/x))^2$,在上式中用$x$替换$1/x$，即得$f(x)=(1+x)^2$. 15．已知函数$f(x)={(x^ksin(1/x),x>0),(0,x<=0):}$在x=0处连续，则常数k的取值范围为（） A．$k<=0$ B．$k>0$ C．$k>1$ D．$k>2$ 答案： b 答案要点： 根据题意有$lim_(x->0)x^ksin(1/x)=f(0)=0$，则k>0. 16．函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$在其定义域内（） A．无极值 B．有1个极值 C．有2个极值 D．有3个极值 答案： c 答案要点： 17．下列函数曲线中，在$(-oo,+oo)$内是凸的曲线为（） A．$y=2x^2+e^x$ B．$y=(1-x)^4$ C．$y=x^3-3x^2-9x+9$ D．$y=4x-x^2$ 答案： d 答案要点： 只需考察函数在$(-oo,+oo)$内二阶导数的符号即可． 选项A：$y^’=4x+e^x,y^’’=4+e^x>0$，不是凸曲线。 选项B：$y^’=-4(1-x)^3,y^’’=12(1-x)^2>=0$，不是凸曲线。 选项C：$y^’=3x^2-6x-9,y^’’=6x-6=6(x-1)$，显然，$x<1$时，二阶导数符号为负， $x>1$时，二阶导数符号为正，故在$(-oo,+oo)$内也不是凸曲线。 选项D:$y^’=4-2x,y^’’=-2<0$，是凸曲线。 18．设$y=e^(sin^2x)$，则$y^’$=（） A．$2sinxe^(sin^2x)$ B．$2cosxe^(sin2x)$ C．$sin2xe^(sin^2x)$ D．$cos2xe^(sin^2x)$ 答案： c 答案要点： $y^’=e^(sin^2x)(sin^2x)^’=2sinxcosxe^(sin^2x)=sin2xe^(sin^2x)$ 19．下列微分方程中，不是可分离变量的微分方程为（） A．$y^’=dy/dx=2xy$ B．$(1+x^2)dy+xydx=0$ C．$dy/dx+2/xy=x^2$ D．$y^’-e^xy=0$ 答案： c 答案要点： $dy/dx+2/xy=x^2$不可分离变量，是一个一阶线性非齐次的微分方程．其它选项的微分方程均可分离变量，其中A可分离变量为$dy/y=2xdx$，B可分离变量为$dy/y=-x/(1+x^2)dx$，D可分离变量为$dy/y=e^xdx$． 20．设$intf(x)dx=xsinx+cosx+C$，则$intf^’(x)dx$=（） A．$xcosx+C$ B．$xsinx+cosx+C$ C．$xsinx+C$ D．$-xcosx+2sinx+C$ 答案： a 答案要点： 由题设得$f(x)=(xsinx+cosx+C)^’=xcosx$，从而$intf^’(x)dx=f(x)+C=xcosx+C$. 21．设函数f(x)在$[0,1]$上连续，则$int_0^1f(4x)dx$=（） A．$int_0^4f(t)dt$ B．$1/4int_0^4f(t)dt$ C．$4int_0^4f(t)dt$ D．$1/4int_0^1f(t)dt$ 答案： b 答案要点： 作变量代换，令$4x=t$，同时换元换限，得 $int_0^1f(4x)dx=int_0^4f(t)1/4dt=1/4int_0^4f(t)dt$ 22．设$intf(x)dx=e^(-2x+1)+C$，则$intf(2x+1)dx$=（） A．$1/2e^(-4x-1)+C$ B．$-e^(-2x+1)+C$ C．$e^(-2x+1)+C$ D．$1/2e^(-4x+3)+C$ 答案： a 答案要点： 用凑微分法，设$2x+1=u$，则$x=(u-1)/2,dx=1/2du$，于是$intf(2x+1)dx=1/2intf(u)du=1/2e^(-2u+1)+C$ （代回原变量）=$1/2e^(-4x-1)+C$ 23．设二元函数$f(x,y)=(sinxy)/y$，则$f_y^’(0,3)$=（） A．0 B．1 C．2 D．3 答案： a 答案要点： $f(x,y)=(sinxy)/y$ $f_y^’(x,y)=(xycosxy-sinxy)/y^2$ $f_y^’(0,3)=0$ 24．设函数$z=arc cot(y/x)$，求二阶偏导数$(del^2z)/(delxdely)$=（） A．$(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2$ B．$(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$ C．$(x^2+y^2)/(x^2-y^2)^2$ D．$(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$ 答案： b 答案要点： $(delz)/(delx)=-1/(1+(y^2/x^2))(-y/x^2)=y/(x^2+y^2)$ $(del^2z)/(delxdely)=(x^2+y^2-2y^2)/(x^2+y^2)^2=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$ 25．设函数f(u)可导，$z=f(y/x)$，则：$x(delz)/(delx)+y(delz)/(dely)$=（） A．$-1$ B．0 C．1 D．x 答案： b 答案要点： 由$(delz)/(delx)=-y/x^2f^’(y/x)$ $(delz)/(dely)=1/xf^’(y/x)$，故原式=$-y/xf^’(y/x)+y/xf^’(y/x)=0$.