第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧 【命题趋向】 从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【例题解析】 考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式 理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例题 例1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则 ；（答案用n表示）. 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, …推测出第n层的球数。 解答过程：显然 . 第n堆最低层（第一层）的乒乓球数， ，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即 所以： 例2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行　　　　　 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。 解：第1次全行的数都为1的是第 =1行，第2次全行的数都为1的是第 =3行，第3次全行的数都为1的是第 =7行，······，第 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 =32． 应填 ，32 考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若 且 ；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列 的通项. EMBED Equation.DSMT4 再看“逐商法”即 且 ，可把各个商列出来求积。 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。 例3．（2007年北京卷理） 数列 中， ， （ 是常数， ），且 成公比不为 的等比数列． （I）求 的值；（II）求 的通项公式． 思路启迪：（1）由 成公比不为 的等比数列列方程求 ； （2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式. 解：（I） ， ， ， 因为 成等比数列，所以 ，解得 或 ． 当 时， ，不符合题意舍去，故 ． （II）当 时，由于 ， ， ， ， 所以 ． 又 ， ，故 ． 当 时，上式也成立， 所以 ． 小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视. 例4．（2006年广东卷）已知数列 满足 ， ， …．若 ， 则 ( B ) （Ａ） （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５ 思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程： ， . 相叠加 . ， . ， ， ， . 解答过程2：由 得： ， ，因为 . 所以： . 解答过程3：由 得： ………… ， 从而 ； ；……； . 叠加得： . ， . ， 从而 . 小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推 ，可转化为 ；对连续三项递推的关系 如果方程 有两个根 ，则上递推关系式可化为 或 . 考点3 数列的通项 与前n项和 之间的关系与应用 与 的关系： ，数列前n项和 和通项 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式 时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证 是否适合。解决含 与 的式子问题时，通常转化为只含 或者转化为只 的式子. 例5．（2006年辽宁卷） 在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于（ ） (A) (B) (C) (D) 命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 过程指引因数列 为等比，则 ，因数列 也是等比数列，则 即 ，所以 ，故选择答案C. 例6.已知在正项数列{a n}中，S n表示前n项和且 ，求a n. 思路启迪：转化为只含 或者只含 的递推关系式. 解答过程1：由已知 ，得当n=1时，a1=1；当n≥2时， a n= S n－S n－1，代入已知有 ， . ，又 ，故 . ， 是以1为首项，1为公差的等差数列， 故 . 解答过程2：由已知 ，得当n=1时，a1=1；当n≥2时 因为 ，所以 . ， ，因为 ， 所以 ，所以 . 考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用 对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为 得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明. 例7．（2006年福建卷）已知数列 满足 (n∈N) （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足 (n∈N*),证明: 是等差数列; 思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化 解答过程： （I）解： 是以 为首项，2为公比的等比数列。 即　 （II）证法一： ， 　　　　　　　　　　　　　① 　　　　　　② ②－①，得 即 　③ 　 ④ 　③－④，得　 即　 故 是等差数列. 考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差、等比数列中，已知五个元素 或 ， 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项 和公差（或公比 ）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 （1）等差数列 中，若 ，则 ；等比数列 中，若 ，则 . （2）等差数列 中， 成等差数列。其中 是等差数列的前n项和；等比数列 中（ ）， 成等比数列。其中 是等比数列的前n项和； （3）在等差数列 中，项数n成等差的项 也称等差数列. （4）在等差数列 中， ； . 在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 典型例题 例8．（2006年江西卷）已知等差数列 的前n项和为Sn，若 EMBED Equation.DSMT4 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ ） A．100 B. 101 C.200 D.201 命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。 过程指引：依题意，a1＋a200＝1，故选A 例9．（2007年安徽卷文、理） 某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2, … 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r>0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+r）n－1，第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r）n－2，……. 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式； （Ⅱ）求证Tn=An+ Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列. 命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解：（I）我们有 （II） 反复使用上述关系式，得 ① 在①式两端同乘1+r，得 ② ②－①，得 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 考点6 等差、等比数列前n项和的理解与应用 等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式 （ ），因此可以改写为 是关于n的指数函数，当 时， . 例10．（2007年广东卷理）已知数列 的前n项和Sn=n2－9n,第k项满足5a； （3）记 （n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn． 思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求 的值；（2）注意先求 ；（3）注意利用 的关系． 解：（1）∵ ， 是方程f(x)=0的两个根 ， ∴ ． （2） ， = ，∵ ，∴由基本不等式可知 （当且仅当 时取等号），∴ 同，样 ，……， （n=1,2,……）． （3） ，而 ，即 ， ，同理 ， ，又 ． 【专题训练与高考预测】 一.选择题 1.已知{a }是等比数列，且a >0，a a +2 a a +a a =25，那么a + a 的值等于（ ） A.5 B.10 C.15. D.20 2.在等差数列{a }中，已知a +a +a +a +a = 20，那么a 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D7. 3.等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若 ，则 Sn等于( ) C.2 D.－2 4.已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题 5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元. 三、解答题 11.已知：在等比数列{a }中，S = a + a + a +…+ a ，若S =5，S =15。求：S 的值. 12.项数为奇数的等差数列{a }中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项和项数. 13.数列{a }中，前m项（m为奇数）的和为77，其中偶数项之和为33，且a －a =18，求这个数列的通项公式. 14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由. 15.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列 a ,a ,…,a ,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)记Tn=C b1+C b2+C b3+…+C bn,求 . 16.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10. 17.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)－man.对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1. (1)求证：{an}是等比数列； (2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足：b1= a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*).试问当m为何值时， 成立？ 18.已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项bn； (2)设数列{an}的通项an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论. 19.某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金 元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)； (2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义； (3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求 Pn(b). 【参考答案】 一.选择题 1.解法一：因为{a }是等比数列，设{a }的公比为q，由a >0知q>0， 因a a +2 a a + a a =25， 所以，a q a q +2a q a q +a q a q =25， 即[a q （1+ q ）] =25， a q （1+ q ）=5， 得a + a = a q +a q = a q （1+ q ）=5 . 故选择答案A . 解法二：因{a }是等比数列， a a = a ，a a = a ， 原式可化为 a +2 a a + a =25, 即（a + a ） =25. 因 a >0 , a + a = 5 , 故选择答案A 2. 解法一：因为{a }是等差数列，设其首项为a ，公差为d， 由已知 a + a +a +a +a = 20 有 5 a +10d = 20， a +2d = 4, 即 a = 4.故选择答案A. 解法二：因{a }是等差数列，所以 a + a = a + a =2 a ， 由已知 a +a +a +a +a = 20 得5 a = 20， a = 4. 故选择答案A 3.解析：利用等比数列和的性质.依题意， ，而a1=－1,故q≠1, ∴ ,根据等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10,…,也成等比数列，且它的公比为q5,∴q5=－ ,即q=－ . ∴ 故选择答案B. 4.解析：当a=n时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1 由｜x1－x2｜= ，得dn= ， ∴d1+d2+…+dn 故选择答案A. 二、5.解析：解出a、b,解对数不等式即可. 故填答案:(－∞,8) 6.解析：利用S奇/S偶= 得解. 故填答案:第11项a11=29. 故填答案:1+ . 8.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an}，可得an= ，正三角形的内切圆构成等比数列{rn}，可得rn= a, ∴这些圆的周长之和c= 2π(r1+r2+…+rn)= a2， 面积之和S= π(n2+r22+…+rn2)= a2 故填答案:周长之和 πa，面积之和 a2 9.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－ )升，第二次有纯酒精a(1－ )－ ，即a(1－ )2升，故第n次有纯酒精a(1－ )n升. 故填答案:a(1－ )n 10.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 故填答案:120000. 三、11. 解：因为 {a }为等比数列， 所以 S ，S －S ，S －S 是等比数列. 即 5，15－5，S －15是等比数列,得5（S －15）=10 , S =35. 12.解：设等差数列{a }共有2n－1 项，S =80，S =75，则 = = = ， 得 n=16，所以 2n－1=2×16－1=31 即此数列共有31项. 又由{a }的项数为2n－1，知其中间项是a ，故a = S －S =80－75=5， a =5. 13. 解：设等差数列{a }中，前m项的和为S ，其中奇数项之和为S ，偶数项之和为S ，由题意得S =77，S =33，S = S －S = 44， 令m=2n－1则 = = ，得n =4， m=7， a =S －S =11，又a －a =18，得首项为20，公差为－3， 故通项公式为a =－3 n+23. 14.(1)解：依题意有： 解之得公差d的取值范围为－ ＜d＜－3. (2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即 ∵a3=12,∴ ，∵d＜0,∴2－ ＜k≤3－ . ∵－ ＜d＜－3,∴ ＜－ ＜4,得5.5＜k＜7. 因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大. 解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，因此，若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13= S13＜0,∴a7＜0,a7+a6=a1+a12= S12>0,∴a6≥－a7>0,故在S1，S2，…，S12中S6最大. 解法三：依题意得： 最小时，Sn最大； ∵－ ＜d＜－3,∴6＜ (5－ )＜6.5.从而，在正整数中， 当n=6时，［n－ (5－ )］2最小，所以S6最大. 15.解：(1)由题意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d) a1d=2d2, ∵d≠0,∴a1=2d,数列{ }的公比q= =3, ∴ =a1·3n－1 ① 又 =a1+(bn－1)d= ② 由①②得a1·3n－1= ·a1.∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n－1－1. (2)Tn=C b1+C b2+…+C bn=C (2·30－1)+C ·(2·31－1)+…+C (2·3n－1－1)= (C +C ·32+…+C ·3n)－(C +C +…+C )= ［(1+3)n－1］－(2n－1)= ·4n－2n+ , … 1,3,5 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 免费下载 _1225701003.unknown _1225702012.unknown _1257766350.unknown _1257767325.unknown _1257767363.unknown _1257768451.unknown _1257768459.unknown _1257768467.unknown _1257830218.unknown _1257830220.unknown _1257830222.unknown _1257830223.unknown _1257830221.unknown _1257830219.unknown _1257830216.unknown _1257830217.unknown _1257768469.unknown _1257768619.unknown _1257768470.unknown _1257768468.unknown _1257768463.unknown _1257768465.unknown _1257768466.unknown _1257768464.unknown _1257768461.unknown _1257768462.unknown _1257768460.unknown _1257768455.unknown _1257768457.unknown _1257768458.unknown _1257768456.unknown _1257768453.unknown _1257768454.unknown _1257768452.unknown _1257767962.unknown _1257768442.unknown _1257768447.unknown _1257768449.unknown _1257768450.unknown 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