19.5相似三角形的判定名师导学典例
分析
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例1如图19－5－1所示,P是Rt△ABC斜边BC上异于B,C的一点,过P点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条思路分析：依据相似三角形的判定定理,可知过BC上异于B、C的点P,只能作AB,AC,BC三边的垂线,所截得的三角形必与△ABC相似,这样的直线可作三条,故选C.
答案
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：C例2如图19－5－2所不,在两直角二角形中,∠ACB=∠ADC=90°,AC=3,AD=1,试求AB的长为多少时,这两个直角三角形相似?思路分析：由已知条件可知,Rt△ABC和Rt△ACD中,除直角顶点C,D外,另两组顶点不能确定对应关系,所以解答时应分类讨论.(1)△ACB～△ADC(2)△ACB～△CDA.解：当Rt△ACB～Rt△ADC时,得,∴,∴AB=9.当Rt△ACB～Rt△CDA时,得,在Rt△ACD中,AC=3,AD=1,∴CD=,∴,∴.∴当AB=9或时,两直角三角形相似.例3如图19－5－3所示,三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=2BC,将纸片折叠使点A总是落在BC边上,记为点D,EF是折痕.问：在BC边上是否存在一点D,使以D、E、F为顶点的三角形和以D、E、B为顶点的三角形相似?若存在,求出相似比；若不存在,请说明理由.思路分析：假设存在这样的点D,使以D、E、F为顶点的三角形与以D,E,B为顶点的三角形相似.因为∠EDF=∠A=30°,∠B=60°,这时∠BDE和∠BED中必有一个等于30°.如果这两个角中有一个能等于30°,则假设成立,即这样的点D存在,否则这样的点D不存在.解：不存在.理由如下：在Rt△ABC中,∵AB=2BC,∴∠A=30°,∴∠B=90°－30°=60°.因为∠EDF=30°,如果△DEF和△BDE相似,则∠BDE和∠BED必须有一个等于30°.显然,当D点与C点重合的时候∠BDE最小,此时∠BDE=60°,所以∠BDE不可能等于30°.如果∠BED=30°,那么∠BDE=90°,则∠DEF=(180°－30°)=75°,所以△DEF和△BDE不能相似.所以,在BC边上不存在点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1方法点拨：这类题的特征是,要得到某个结论,还缺少条件,需要去补充、去完善、去探究,使得结论成立,就本题而言,解答的主要依据是相似三角形的判定.2方法点拨：解答此类题容易出现没有分类求解而造成漏解的现象,因而在解答时应注意：(1)在两三角形相似但顶点不对应时,应注意分情况分别计算边长.(2)分类后.注意对应边或比例式不能写错.3方法点拨：这类题若从正面不好论证,我们不妨从结论的反面出发,得出与已知条件或有关公理、定理相违背的矛盾,从而论证结论的正确性,这就是几何中常用的反证法.
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