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湖北省2020年高考数学第21题优美解

湖北省2020年高考数学第21题优美解

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湖北省2020年高考数学第21题优美解此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。PAGE2020年高考数学（湖北B卷）第21题（理）优美解试题21.设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解法（Ⅰ）如图1...

湖北省2020年高考数学第21题优美解

此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。PAGE2020年高考数学（湖北B卷）第21 题（理）优美解试题 21.设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解法（Ⅰ）如图1，设，，则由，可得，，所以，.①因为点在单位圆上运动，所以.②将①式代入②式即得所求曲线的方程为.因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，.（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得，即.因为点H在直线QN上，所以.于是，.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.图2图3图1ODxyAM第21题解答图解法2：如图2、3，，设，，则，，因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得.③依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故.于是由③式可得.④又，，三点共线，所以，即.于是由④式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.解法赏析：开放型试题一定要注意其存在性，否则容易出现错误。

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