随机信号分析3、4

确定信号s(t)频谱存在的条件，即其傅立叶变换存在的条件是：⑴.s(t)在范围内满足狄利赫利条件。或备择条件（信号的总能量有限）⑵.（绝对可积）§3.1实随机信号的功率谱密度第3章随机信号的频域分析常建平其中S(ω)称为信号s(t)的频谱，它反映了s(t)中各种频率成分的分布状况。可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：对一般实信号s(t)，其频谱是ω的复 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数，若s(t)满足上述条件，则其傅立叶变换对存在。若将（反变换）式代入式的左端即，（* 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示复共轭）。一、能量谱密度由于左边是：s(t)在时间上的总能量＝在整个频域上的积分。因此←表示s(t)在不同频率上总能量的分布密度，称为：能量谱密度。则：即：←帕赛瓦尔定理随机过程的任意一个样本函数，都不满足傅立叶变换的绝对可积条件，直接对随机过程进行傅立叶变换不可能。但是对其样本函数作某些限制后，其傅立叶变换存在。二、实随机信号的平均功率最简单的是应用截尾函数。如右图所示：在中任意截取长为2T的一段称为的截尾函数。当T为有限值时，截尾函数满足绝对可积条件，其傅立叶变换存在。若代表一噪声电压（或电流），则表示噪声的一个样本在时间（-T,T）内消耗在1欧姆电阻上的总能量。若对此总能量在(-T,T)上求时间平均，并求极限可见为的频谱函数，据帕赛瓦尔等式，它们有如下关系：表示随机过程的样本函数消耗在1欧姆电阻上的平均功率由于对一次试验结果来讲，对应的样本函数是个确定函数，因此这个平均功率仅是一个确定值。称随机过程样本函数的平均功率（时间平均）。对于不同K，由于不同由于样本函数不同，也不同。相对所有试验结果来讲，所有样本的平均功率的总体就是一个随机变量。其中X(t)是随机过程，是随机过程的截取函数的频谱若对取统计平均，得确定值：←通常称为随机过程X(t)的平均功率。1、实随机过程的功率谱密度由于随机过程X(t)的平均功率：是在整个频域上的积分，则被积函数表示随机过程在不同频率上的单位频带内，消耗在单位电阻上的平均功率。由于描述了随机过程X(t)的平均功率在各个频率上的分布状况，因此称为：随机过程X(t)的功率谱密度。三、功率谱密度则其时间平均2、平稳过程的平均功率若X(t)为平稳过程，其均方值所以平稳过程的平均功率：3、各态历经过程的平均功率由于各态历经过程X(t)的每个样本函数的时间平均都以概率1相同，与无关，则可推出：同理样本函数的功率谱密度为随机过程的平均功率也可以由过程的均方值求时间平均：由X(t)的各态历经性，因此有即各态历经过程X(t)的平均功率与其样本函数的平均功率以概率1相等。4、各态历经过程的功率谱密度若过程X(t)的平均功率和其样本函数的平均功率即各态历经过程X(t)的功率谱密度与其样本函数的功率谱密度以概率1相等。(3).功率谱密度是的偶函数5、实随机过程功率谱密度的性质由定义式3-12因为故而(2).功率谱密度是的实函数由式3-12也可以看到，是的实函数，故也必定为的实函数。(1).功率谱密度为非负值功率谱密度是随机过程在频域中主要的统计特征。(4)、平稳过程功率谱密度绝对可积：根据傅立叶变换的性质，当为t的实函数时，其频谱满足则随机过程截尾后的频谱为证明：因为平稳过程有且平稳过程有所以功率谱密度函数绝对可积。(5)、若平稳过程的功率谱密度可以表示为的有理函数形式则必定满足：①由性质(1) 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ：②由性质(4)要求：式中分母无实根(即在实轴上无极点)，且。在实数轴上有极点，例3.1判断下列哪些函数满足平稳过程的功率谱密度的性质？所以只有满足平稳过程功率谱密度的性质。解：因为非偶3.1.2平稳过程的功率谱密度与自相关函数的关系对于一般随机过程X(t)：若X(t)是平稳过程则有：有：因为X(t)平稳则有：一、维纳—辛钦定理二、维纳—辛钦定理的推广⑴直流信号⑵周期信号在时域：不满足绝对可积的条件，∴F变换不存在。傅氏变换绝对可积的条件限制了维纳—辛钦定理的应用。⑴直流信号X(t)⑵周期信号X(t)在频域：可以借助函数，将直流信号与周期信号在各个频率点上的无限值用一个函数来表示，借助函数的傅氏变换可利用函数的F变换，来求⑴⑵两特殊信号的功率谱密度。例3.3随相余弦信号，其中为常数，在上均匀分布，求X(t)的功率谱密度。解：据以往结果，←求傅氏变换例3·4已知平稳过程X(t)具有功率谱密度：求其自相关函数，平均功率。解：利用部分分式法∴自相关函数为：利用傅氏变换对三、物理功率谱密度：平均功率为：由于实际应用中，负频率不存在，所以定义一个仅在正频率上存在的物理功率谱密度：因为都满足绝对可积的条件，所以它们的富氏变换存在：§3.2两个实随机过程的互功率谱密度1、互平均功率的定义考虑两个平稳实随机过程X(t),Y(t)，分别表示X(t)和Y(t)的样本函数。我们定义两个截尾函数为：故而据帕赛瓦尔定理有：一、互功率谱密度因为X(t),Y(t)为实过程，所以。则可以得到两个随机过程的样本函数的互平均功率。由于相对于所有结果，都是试验结果的函数，则其互平均功率是一个随机变量。如果对再求统计平均，便可得到一个确定值值值交换期望与极限的次序有：这个统计平均后的确定值被定义为X(t),Y(t)的互平均功率。2、互功率谱密度的定义定义中的被积函数为X(t),Y(t)的互功率谱密度。X(t),Y(t)的另一互功率谱密度：同理有X(t),Y(t)的另一互平均功率：比较两个互功率谱密度可得：二.互谱密度与互相关函数的关系若X(t)与Y(t)联合平稳，则有解：例3.5设X(t)与Y(t)联合平稳，且互相关函数为三、互谱密度的性质1、因为X(t),Y(t)为实过程为复函数2、互谱密度的实部所以有：为偶函数3、互谱密度的虚部为奇函数4、当X(t)与Y(t)正交时5、当X(t)与Y(t)互不相关时1、白噪声的定义功率谱密度为常数，均匀分布在整个频域上，具有零均值的平稳过程，称为“白噪声”。通常记为：N(t)§3.3白噪声一、理想白噪声习题：3-1、3-2、3-5、3-6、3-7、3-9这说明，白噪声在任何两个相邻时刻，不管多么近，只要≠0，状态之间都是不相关的。这说明白噪声过程的样本随时间起伏极快，相当脉冲宽为0的冲激(t)。2、白噪声的自相关函数3、白噪声的自相关系数1˚以上定义的白噪声是一个理想化的数学模型。在物理上是不存在的。无穷大其平均功率而任何一个物理可实现过程，其平均功率总是有限的。任何一个物理可实现过程，两个相邻时刻的状态之间总存在一定的相关性。无法构造出脉冲宽为0的冲激(t)做为样本。⑵4、白噪声的特点理由：⑴2˚白噪声无论在理论上，还是在实际应用中，都是最常的一种噪声模型。原因：⑴经过验证，实际应用中出现的许多重要的噪声过程都可以用白噪声来近似。如：“电阻热噪声”。原因：⑵由于白噪声的在数学上有很好的分析性质。原因：⑶白噪声可以替代系统中的宽带噪声。在实际应用中，系统带宽总是有限的，无论是否是理想白噪声，通过系统后的结果都一样。如：只要输入噪声功率谱在观察的范围（系统带宽）内是一常数，就可以把它近似为白噪声来处理。⑴低通型限带白噪声相当一个“理想白噪声”通过一个理想低通滤波器。二、限带白噪声1、定义若一零均值的平稳过程，其功率谱密度在一有限范围内均匀分布，而在其它处为零，←称“限带白噪声”其自相关函数2、分类其功率谱密度对照该噪声的可见，随着↗↗，在频域上越宽，在频域上越窄。→∞，→()。可见，凡时间差为的状态彼此是不相关的。⑵带通型限带白噪声相当一个“理想白噪声”通过一个理想带通滤波器。三、色噪声所有非白噪声，统称“色噪声”。习题：3-10，3-11，3-14，3-17。§4.1线性系统基本理论复习一、一般线性系统输入输出线性系统中线性算子满足⑴齐次性，⑵叠加性：若输入则输出第4章随机信号通过线性系统的分析常建平二、线性时不变系统当输入x(t)有一个时移时，输出y(t)也有一个时移1、线性时不变系统的冲激响应冲激响应输出2、系统传递函数三、稳定的物理可实现系统1、稳定系统的条件若对任意有界输入，其输出也有界，则系统稳定。2、物理可实现性（因果性）在输入信号到来前，系统不产生响应。既：h(t)=0，t<0。传递函数为：若以s代替j，传递函数在复频域中表示为：由因果性则输出为：3、稳定的物理可实现系统条件系统1：的极点，在左半平面。则传递函数H(s)的所有极点都应位于s平面的左半平面（不含虚轴）例如：由于：系统1稳定满足系统2：的极点，在右半平面。系统2不稳定§4.2随机信号通过线性系统二、系统输入与输出之间的互相关函数4.2.1时域分析法一、输出的均值：系统输出：随机过程确定的时间函数确定的二元函数同理：三，系统输出的自相关函数确定的二元函数确定的二元函数上式可以用下图表示：比较式(4-25)，式(4-26)与式(4-24)则有：4.2.2物理可实现系统输出随机过程的分析输入双侧随机信号时因X(t)平稳，则有：于是，据式(4-23)有1、若X(t)平稳，则输出平稳。据式(4-24)，(4-25)，(4-26)有由此可见，输出Y(t)是宽平稳过程。此外，输出的均方值为因为系统是稳定的，所以有：若输入X(t)是宽平稳的，则稳定线性系统的输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。且有如下关系：结论：2、若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。证明：时不变系统，有X(t)是严平稳，与X(t)具有相同的n维概率密度，由于系统算子不变，则与Y(t)也具有相同的n维概率密度函数，所以Y(t)也是严平稳的。则输出Y(t)的时间平均3、若输入X(t)是宽各态历经的，则输出Y(t)也是宽各态历经。证明：由X(t)的各态历经定义及时间自相关函数故而Y(t)是宽各态历经的。习题：4－4三，应用举例例4.4分析：这是一个低通的RC电路，该电路的冲激响应见附录四。X(t)是相关函数为的白噪声求：⑴⑶⑵输出的平均功率解：1）由题意知输出自相关函数当输入是白噪声时，该系统输出的自相关函数正比于单位冲激响应函数的卷积。上式要分别按与两种情况求积分：当时上式中被积函数总是存在，所以有：合并和的结果，得到输出自相关函数：利用自相关函数的偶对称性，则当时有：所以注意到b是时间常数(RC)的倒数，它也与系统的半功率带宽有关。事实上：2）在上式中令，即可得输出的平均功率为由此可见，该系统的输出平均功率随着系统的带宽变宽而线性的增大。于是输出平均功率又可写为上式的结果给出了一个测量(估计)线性系统单位冲激响应h(t)的方法。3）根据式4-37有：同理白噪声测量系统直流分量如果低通滤波器的带宽充分地小，那么其输出将几乎是Z(t)地直流成分，只有很少的随机成分附加于输出上。若输入X(t)是是各态历经的，由前面的结论可知Z(t)也是各态历经的。而各态历经过程Z(t)的直流分量就是Z(t)的时间平均，因此有又因为各态历经过程的时间平均与统计平均相等直流分量对于物理可实现系统则有，由此可见，低通滤波器输出端的直流分量正比于系统的单位冲激响应。只要连续的改变，就能测出线性系统得完整单位冲激响应。这就是所谓的系统辨识问题。所以系统冲激响应的估计为通常，只要输入信号功率谱密度的带宽，比被测系统的带宽大上10倍左右，利用上述测量系统就能很好的测出被测系统的冲激响应，及测出输入信号与被测系统输出信号的互相关函数。系统输入与输出的互相关函数的估计为在例4.4中假设X(t)的自相关函数为式中，求输出的自相关函数。解：例4.5当时，因自相关函数为的偶函数，所以时的表达式直接能直接由时的表达式写出：则：上式中第一个因子是例4.4中白噪声输入时系统输出的自相关函数为了作比较，可将上式写为：综合结果是：←b正比于系统的带宽由于X(t)有正比于输入信号X(t)的功率谱带宽。可见，当比值很小时，近似白噪声通过系统时输出的自相关函数。因此，尽管输入X(t)是非白噪声，只要其功率谱带宽远远大于系统带宽，就可以把输入X(t)看作白噪声。可见，当时，例如，在带宽为的放大器中，最重要的噪声是热噪声，这种热噪声的带宽可以达到，由于，如果用白噪声来近似热噪声，则其误差不超过1℅。当输入单侧随机信号时对于物理可实现系统因为即使X(t)是宽平稳，但因则输出响应Y(t)也是非平稳的。这是由于实际系统输入信号为X(t)U(t)（单侧信号）是非平稳的缘故。关于这一点，我们可以这样来说明，如图所示的动态系统的开关K在t=0时刚一闭合，由于系统惰性的影响，随机输出就像确定输出那样有一个建立的过程，这个过程是瞬态的，正是这个瞬态分量导致了非平稳输出。因此，前面讨论的输出的平稳性、各态历经等性质在此不再成立了。但若令而保持有限时，式4－44至4－47各式就几乎与时间t或时间起点无关。此时输出Y(t)称为渐进平稳的。今后，对所研究的问题除非特殊说明，均指双侧信号在t=－时施加于系统所得到的输出响应。图4.9X(t)在t=0时刻作用于系统4.2.3频域分析法一、系统输出的均值二、系统输出的功率谱密度系统的功率传递函数（当输入为平稳双侧信号时）例4.6、利用频域分析法重做例4.4解：因为三、系统输出的互谱密度四、系统输出的平均功率例4.7，利用频域分析法重做例4.5所以所以解：对上式两边取富氏反变换得：4.2.4多个随机信号通过线性系统设：与联合平稳，两个随机信号同时输入线性系统。若：由于线性系统具有叠加性，则有因为平稳，所以输出Y(t)的均值Y(t)的自相关函数Y(t)的功率谱密度当与之间互不相关，且至少有一个是零均值时：习题：4－7、4－13、4－174.3色噪声的产生和白化滤波器在复频域中表达为：利用频域分析法，解决两个问题：一，产生色噪声的系统使输出为白噪声输入色噪声输入白噪声使输出为需要的色噪声在输入白噪声条件下，构造一稳定的系统，使输出为色噪声例4.8 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出功率谱为：由于构造的系统必须稳定，所以构造时，必须使其所有极点都位于s的左半平面。因此：的复频域表达式为进行谱分解有：解：选中极点位于s的左半平面的做为进行谱分解：令：即为所要设计的系统。因此选极点位于S的右半平面极点位于S的左半平面因此有二，白化滤波器则有：由于：在任意输入条件下，构造一稳定的系统，使输出为白噪声选择，中一个极点位于S的左半平面的做为习题：4-11、4-124.4白噪声通过线性系统的分析与“等效噪声带宽”4.4.1白噪声通过线性系统可见，白噪声通过线性系统后，输出信号的功率谱密度主要由系统来决定。不再是白噪声。一，输出信号的功率谱密度在时域求二，输出信号的自相关函数在频域求三，输出信号的平均功率在频域求在时域求4.4.2等效噪声带宽实际理想输入白噪声输出限带白噪声等效等效在输入白噪声的情况下，若用一个理想系统去等效一个实际系统，那么理想系统输出的限带白噪声则等效该实际系统的输出。由于去等效实际系统，那么实际系统的“带宽”就决定了→这个理想系统的“带宽”，也决定了→等效的限带白噪声功率谱密度的“带宽”。这等效的限带白噪声带宽←称为实际系统的“等效噪声带宽”。1、等效的理想系统输出的平均功率必须等于实际系统输出的平均一、等效的原则二、等效噪声带宽的计算（等效的限带白噪声的“带宽”）功率2、等效的理想系统的增益必须等于实际系统的最大增益①低通滤波器的等效噪声带宽为：②带通滤波器的等效噪声带宽为：由于1、在频域中计算2、利用计算①对低通滤波器而言②对带通滤波器而言三、随机信号的等效噪声带宽据等效原则由此，平稳过程就可以等效一个“限带白噪声”。(1)我们把任一个平稳过程看作是一白噪声通过系统的输出。(2)将此系统等效一个理想系统。白噪声限带白噪声因此，平稳过程的等效噪声带宽为：(3)当输入白噪声时，系统输出的平均功率也可以由其等效噪声带宽来求。例4.9解：对前（例4.6）中的RC电路，求其等效噪声带宽。系统的半功率点带宽三、与的比较系统半功率点的通频带（角频率形式），用来表示系统在频域上对信号振幅及相位的选择范围。等效噪声带宽（角频率形式），用来表示系统在频域上对信号的平均功率的选择范围。因此，均由系统本身决定。同一系统的这两个不同参数有着密切联系。图4.14给出了7种不同滤波器的与之间，滤波器在不同阶次n下的比值。由图可见，当滤波器的级数越多时，就越接近。四，用等效噪声带宽来计算信噪比输出信噪比：1、在频域设：信号调谐在上，上的增益为。输出信号的有效值输出信号的平均功率输入信号的有效值当输入噪声为的白噪声时，输出噪声的平均功率：则输出信噪比：输入噪声的功率谱密度：问：当输出信噪比为100时，输入信号的有效值应是多少？例4.10某接收机在调谐频率上的电压增益系统等效噪声带宽解：2、在时域（输入信号为确定信号或为各态历经随机信号时）设：输出信号为，输出噪声为则输出信噪比：其中随机噪声的平均功率确定信号或各态历经随机信号的平均功率随机信号的平均功率4.4.3白噪声通过理想线性系统一.白噪声通过理想低通系统2、输出信号的自相关函数：1、输出信号的功率谱密度：5、输出信号的相关时间3、输出信号的平均功率4、输出信号的自相关系数输出信号的相关时间与理想系统的带宽成反比。即与实际系统的等效噪声带宽成反比。系统带宽越宽系统带宽越窄二、白噪声通过理想带通系统注：“窄带”的定义1、窄带系统：系统的中心频率系统带宽。2，窄带随机信号：其功率谱密度的中心频率等效噪声带宽。∥∥1、输出的功率谱密度2、输出的自相关函数窄带随机信号中的相对来说是慢变化的包络。5、输出的相关时间3、输出的平均功率由于H(w)带宽是前面低通滤波器的两倍，所以平均功率也是前面滤波器的2倍。4、输出的自相关系数慢变化的包络反应了窄带随机信号的包络随时间起伏“快慢”的程度。习题：4-10、4-14、4-15、4-164.5线性系统输出端随机信号的概率分布一、输入高斯线性系统输出高斯分布二、当输入信号等效噪声带宽系统的带宽时输入任意信号线性系统输出近似高斯分布证：因为，Y(t)是n个随机变量的和，据中心极限定理“大量的，独立的随机变量和的分布→趋向高斯分布”。所以，讨论一、独立的要求因为对的采样→是随机变量，当采样间隔过程X(t)的相关时间时，采到的状态之间可以看成近似不相关的。若对所有i=1,2,…n,有，则X(t)的各个采样的状态之间可看成是独立的。二、大量的要求从图上可见，求和的数目取决于，要想n→∞，则要求。“什么条件可以使Y(t)成为大量的，独立的随机变量和？”综合上面的分析，当时（即时），Y(t)为大量的独立的随机变量之和，据中心极限定理，Y(t)为高斯分布。由于结论：在时域上要求：在频域上要求：在中心极限定理的应用中，一般只要有7～10个独立随机变量和的分布，就可以近似为高斯分布。由此推出，一般当信号功率谱的等效噪声带宽系统的带宽时，就可以将系统输出Y(t)看作为高斯过程。所以，当输入信号等效噪声带宽系统的带宽时，输出近似高斯分布。补充题：设平稳随机过程X(t)的功率谱密度通过一线性系统后，输出求：⑴Y(t)的平均功率，⑵Y(t)的一维概率密度。习题：4－18