必修四平面向量基本定理附问题详解

标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 平面向量基本定理[学习目标]1.理解平面向量基本定理的容，了解向量一组基底的含义.2.在平面，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．平面向量基本定理 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 一aee，有，是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量(1)定理：如果21eλλλaeλ.，使＋，＝且只有一对实数211221ee，叫做表示这一平面所有向量的一组基底．(2)基底：把不共线的向量21→→→→GHEFABCDeeee，，思考如图所示，表示向量，是两个不共线的向量，试用，，，2211→aHG.，通过观察，可得： 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 →→→eEFeeABeCDee＝－，＝2＋34，4＝－＋4，222111→→eeHGeaeGHe.＝2－52＝－＋5，，2＝－11122两向量的夹角与垂直知识点二→→θOAabaOBAOBθb，°已知两个非零向量和如图，，作≤＝，180＝，则∠＝°≤(0)夹角：(1)ba叫做向量的夹角．与ba．180与的夹角的围是[0°，°]①围：向量bθa0②当＝°时，与同向．文案．标准θab反向．与③当＝180°时，ababa⊥b.与90(2)垂直：如果°，则称与垂直，记作的夹角是ABC中，试写出下面向量的夹角．在等边三角形思考→→→→→→→→ABACABCABACAABBA.①；③、；④；②、、、→→ABAC的夹角为60°；①与答案→→ABCA的夹角为120②°；与→→BACA的夹角为60③°；与→→ABBA的夹角为180④°与.对向量的基底认识题型一αee________是平面例1如果．，两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是21αλμeμeλ)可以表示平面(的所有向量；①、∈＋R21μλeμeαaaλ，②对于平面有无穷多个；任一向量的实数对，使(＝)＋21eλeλλλeμeeλμeλeμ(，使得＋＋③若向量＝＋共线，则有且只有一个实数与12211112121221eμ＋)；22μeλλeμμλ0.，则＋＝＝＝④若存在实数0，使得21②③答案由平面向量基本定理可知，①④是正确的．解析那么任意一个向量在此基底一旦一个平面的基底确定，对于②，由平面向量基本定理可知，下的实数对是惟一的．λμλμλ时，这样的＝有无数个．＝对于③，当两向量的系数均为零，即＝0＝2211eeeeee－跟踪训练1设＋、是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①；②与111122eeeeeeeeeee其中能作为平面所有向量的.与；④－与－2与2－；③242＋－21221122121文案．标准)一组基底的序号是______(写出所有满足条件的序号．①②④答案eeee＋解析对于③44－2＝－22211ee)，＝－2(2－21eeee－2共线，不能作为基底．与∴4－21212用基底表示向量题型二DCBCEABCDF边上的中点，、如图所示，已知?中，分别是、例2→→→→BFaABADbabDE.，试以若为基底表示＝，、＝、DCBCEFABCD、边上的中点，∵四边形解分别是是平行四边形，、→→→→→→CFCDADBCBEBA＝＝＝22，，∴＝11111→→→→→aABBEADbCFBA.∴＝－＝＝＝－＝，22222→→→→→→→BEADABBEDEDAAB＋＋∴＋＝＝－＋11babba－＋＝－＝，＋221→→→→→abCFBFBCADCF.－＋＝＝＋＝2→→ACFaBCABDABCBCE，的三等分点，若，2跟踪训练如图，已知△中，为为＝的中点，→→→AFAEbbaAD.、表示＝、，用、1→→→→→BCBDADABAB＝解＋＝＋2111babaa＋)＝＝＋(；－2221→→→→→BCAEABABBE＋＝＋＝3112baaba；(＝＋－＝)＋333文案．标准2→→→→→BCBFABAFAB＝＋＋＝3221bbaaa.＋－)＝＝＋(333向量夹角问题题型三ababaαabaab的夹的夹角为60°，设，＋，且＝2与与与－例3已知||＝|的夹角为|ββα.角是＋，求→→AOBOBbOAa如图，作解60＝，且∠，°，＝＝OACBOAOB为邻边作?以、，→→→→bOAOBabOCaBA－－＝＋，，则＝＝→→aBCOA.＝＝OABab＝2，所以△因为|为正三角形，|＝||ABCOAB＝60°＝∠所以∠，βaab.°即－＝与60的夹角OACBba，所以平行四边形|||＝为菱形，|因为COAOCAB30°，60＝90°－所以⊥°＝，所以∠αbaa30的夹角°，即＝＋与βα.＋°＝所以90baaababba＋||＝|－，求|的夹角．与＝，且，若跟踪训练3≠0≠0||bbbaaa为邻边的平行四由向量运算的几何意义知解＋，－是以、边形两条对角线．文案．标准bbaa－|＝|，||如图，∵＝||BOA.60∴∠°＝→OACBbaOC，且在菱形＋又∵＝中，BOAOC对角线，平分∠baa.的夹角是＋30∴°与题型四平面向量基本定理的应用→→BOABOAaOBbABM的一个三等分点，中，，点＝是，上靠近例4如图所示，在△＝PBNNOAAOM，与点的一个四等分点．若是相交于点上靠近→OP.求2221→→→→→→→→bOAOMOAAMOAABOAOBa＝，解＋＝(＋＋＝＋－＝)3333tt2→→→→btOMaOPOMOP.＝因为＝与＋共线，故可设33→→→→→→→sNBNPNPNBsNBOPON，又＋与共线，可设＝＝33→→→bssOBONaOAs－)＝(1＋(－＋)＝，44t93????ts，＝＝，1－1034??解得所以32????sst.，＝＝5333→baOP.＝＋所以5101→ANMABCAB＝的中点，且中，点4跟踪训练如图所示，在△是2文案．标准→→→→AEbACNCBNCMEABaba.，试用基底＝，，与表示向量相交于＝，设，1111→→→→aANACbABAM＝，解易得，＝＝＝23231→→→abmmANmmABBNEmAE.＋(1－＋由)，(1，三点共线，设存在实数－，满足＝＝)31→→→banEMAEnAMnnACnC.，三点共线，设存在实数－满足：＝＝，－＋(1))＋由(1211bnanbmma＝)，所以＋＋(1－(1－)2331????mnm，，1＝－＝52??ba由于，解得为基底，所以41????nnm，，1－＝＝5321→bAEa.＝所以＋55向量夹角概念不清致误→→→→→OAaOBbOCabBABC的夹角．，求向量＝－已知例5＋＝23，2＝与，→→→→→→BAOAOBabBCOCOBabbab，显＝－－＋＋3错解由已知得，＝)－＝2－2－，＝2－＝(→→→→→→BABCBABCBABC的夹角为0与然＝－2，可见°与共线，故.错因分析两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0°，当两个向量反向共线时，其夹角为180°.上面的解答没有注意到这个问题，导致出错．文案．标准→→→→→→bbbaOBBAOAOBabBCOCa显)－2正解由已知得，＝－－＋＝2＋－23，＝－＝.－＝(→→→→→→BCBABCBABABC.与共线，且是反向共线，故1802与，可见°然的夹角为＝－ee)，是平面所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(1．设21eeeeeeee－和A．6＋8和－B．34－22221111eeeeeeeDC．．＋2和2和＋＋2212111→→→→→→ADADBDDCabaABACb)＝3，用等于＝，，(表示2．如图，已知＝，则，313baba＋B.．＋A4441113baab＋＋C.D.4444→→BABACACABC)(与3．在直角三角形中，∠的夹角等于＝30°，则B．60°．A30°D．150°120C．°pmabpmbpnaban________.4．设向量＝2－3，，＝4－2表示，＝3＋2＝，试用，ABCDABABABCDDCEDCF的中点，分别是且∥，、＝2，、如图所示，5．已知梯形中，→→→→→EFabABaADDCbBC.、、＝＝设，，试用为基底表示、文案．标准一、选择题)(1．下列关于基底的说确的是①平面不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面的基底一旦确定，该平面的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．D．②③．①③CA．①B．②→→→OCeBCABCDeDC)＝3等于，则2．如图所示，矩形中，(＝5，2111eeee)3(5B.3(5A.＋)－211222文案．标准11eeee)－3C.(3－5D.)(5121222→ABABCDBCCDEFACGFE＝的边与、．如图，已知，若、分别是矩形的中点，交于点3→→AGbabaAD)，用等于、，(＝表示1111baba＋B.＋A.33443331baabC.－D.＋4444eexexyeyee，是某一平面所有向量的一组基底，若3－＋(10设向量－和7))2＝(4＋4．221121y)(则实数的值为31D．－C．－A．3B．444→→→→sACrABBCCDDBABCD则上，且＋＝．若点在三角形4的边，＝5sr)(3＋的值为416128D.C.A.B.5555二、填空题beaeeeaebeλ能作为平面的一组基底，、不共线，＋＝，要使＋6．已知2，、＝2211221λ则实数．的取值围为________→→→→DCaABbABBDABCDACOAD，＝＝＝．如图，在四边形7，中，和，若相交于点，设2→bAOa用和．表示)则＝________(brbabara，则|||8．若|＝|＝－|＝(>0)与________的夹角为．文案．标准→→→AFAEμBCEFCDACλABCD，和＝分别是边和中，＋的中点，若在平行四边形9．如图，μμλλ________.R，则＝其中＋、∈21→→BEBCDEABλABDEABCABBCλAD＋，若10．设，，分别是△＝的边＝，＝上的点，123→λλλACλ．的值为为实数)，则________＋(，22121三、解答题11．判断下列命题的正误，并说明理由：aebecedeabcdacbd；若(1)＋)＝，则＋＝(＝、、，、∈R2121eeeee、是表示平面所有向量的一组基底，那么该平面的任一向量可以用＋(2)若和12121e表示出来．－2文案．标准→→→→→→→OCOAOBOAOAOBOC的夹角与与12．如图，平面有三个向量、的夹角为、120，其中°，→→→→→→OCλOAμOCOAOBOBλμλμ的值．＋|||＝1，∈3.|＝2若＝R)＋，求(、30为°，且||＝→→OBAOBOAP、及单位圆所在平面上的一点上的两点不共线．，与．已知单位圆13→→→→→sOABrrOBAPPBAPPABsOA＋＋的值；(1)在△中，点在上，且，求＝2，若＝→→→mmmOAOPPOBOABP，若四边形(为常数)的值．为平行四边形，求(2)满足＝＋当堂检测答案1．答案Beeee)，－＝－中，∵解析B682(342121文案．标准eeee－)∥(3(6)8－4，∴2211eeee－68－4不能作为基底．和3∴2121B2．答案331313→→→→→→→→→→baABADABBDACABBCACABAB.解析)＝＝＋(＝－＋＋＝＋＝＋444444D3．答案→→BAAC.的夹角为150由向量夹角定义知，°、解析137nm－＋4．答案84bnabxabyaxyxyabypxm，则3)＋2＝((2－－3)＋3(4，－2)＝(2－＋42解析设＝)＋＋7??x，＝－4yx，＋43＝2???得??yx132－3－2＝????y.＝8ABDCEABABCDFDCFD，、＝2，分别是5．解连接、，∵∥的中点，FBDC.∴綊DCBF为平行四边形．∴四边形11→→→bABDCFB＝，＝依题意，＝221→→→→→→ABFDBCADADAF＝＝＝－－21ba－，＝21→→→→→→→DCFDDEDFEFDEBC－＝－－＝－＝－21111abbba.×＝－－)(＝－－4222文案．标准课时精练答案一、选择题C1．答案零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．解析A．答案2111→→→→eeOCACBCBA＋3－．)＝(5解析＝)＝(21222D．答案311→→→→CBCDCECF.，解析易知＝＝22→→CAλCG＝设，则由平行四边形法则可得→→→→→CFλλCBCDCECGλ＋)＝＝2(2，＋λFEGλ，＝、三点共线，则21＋2，由于11→→CAλCG＝，从而，即＝4433→→bACAGa()＋从而＝．＝44B4．答案eexyyxee＋2－(10－7))(4＝3解析因为，＋2211eyxexy0－2，)所以(3－47)＋(10＋－＝21xxy，07＝，33＝－4＋????ee解得是某一平面所有向量的一组基底，所以又因为和??21yxy，4＝，210－－＝0????B.故选文案．标准C5．答案→→→→sACrABCDDB4＋＝解析∵，＝44→→→→ACCDABCB)－＝＝∴(55→→sACrAB，＋＝44sr.＝－＝，∴558412sr.＝－＋＝∴3555二、填空题)6．答案(4，＋∞－∞，4)∪(ba与不共线．解析若能作为平面的一组基底，则eaeebeλ2＋，，＝＝2＋2121λbak4.由即得≠≠21ba7．答案＋33→→ACAOλ，设＝解析11→→→→→→→ABAOλADADADλABλλDC.＋＋＝(则＝)(＋＝)2221λλBDOλ＋＝＝，1三点共线，所以，所以因为，，322112→→→bAOABaAD.＝所以＋＝＋33338．答案60°→→→abaAOBbaBAbOBaOA|解析|与，∠＝＝＝作，，则－为的夹角，由文案．标准AOBAOBbab.|＝|＝－60|知△＝|为等边三角形，则∠°49．答案3→→bADABa＝＝，解析设，11→→babAFAEa，＋＝＝则＋，22→baAC又∵＋＝，422→→→μλμACAEAFλ.＝＋＝＝(，∴＋)∴，即＝3331．答案102212121→→→→→→→→ACABABACABDEABBC.＋(＝－＋－＝解析易知＋)＝3332621λλ＝＋所以.212三、解答题ee共线时，结论不一定成立．与．解(1)错，当1121eeeeλeeλeeλe＝(1((2)正确，假设－＋与－－)共线，则存在实数，使)＋，即＝122122111λe.＋)－(12λλeeee不共线矛盾．与与－共线，这与与1＋不同时为0，所以因为12121eeeeee、＋不共线，因而它们可以作为基底，该平面的任一向量可以用与－＋所以211221ee表示出来．－21OCOMCNMOANOB上，如图，以．解12为对角线作?，使得在直线上，在直线文案．标准→→→→OBOMλμλOAONμ＝则存在，、，使，＝→→→→→OBOCOMONλOAμ.即＋＝＝＋→COMOCOCMCOM＝90°，Rt在△30中，|3，∠|＝2＝°，∠→→→OAOMOM.＝4|＝4，∴∴|→→→→OBMCONON，，∴＝又||＝|2|＝2→→→μOBOCOAλ2.＝4，＋∴2，即＝＝4μλ6.∴＝＋2→→→→ABAPAPPB，13．解(1)∵＝＝2，∴3222→→→→→OAOBOBAPOA－＝－，∴)(＝333→→→sOAAPrOB又∵＋＝，22ssrr0.＋的值为∴＝，∴＝－，∴33OABP∵四边形为平行四边形，(2)→→→OAOPOB，＋∴＝→→→OBmOAOP，＝又∵＋→→→OAOBOBm＋1)，∴＝＋(→→OBOA、是非零向量且不共线，依题意mm1.＝＋∴1＝－，解得0文案．