第5章_系统的频率特性

nullnull频域性能分析引言引言本章是通过系统的频率响应在频率域上分析系统的动态性能，确定系统动态性能与输入信号频率的关系；通过频率特性分析，可以获得系统在频率域上的性能指标，频域性能指标与时域性能指标有着直接或间接的联系，因为两者都是系统动态性能的评价指标。 通过频率特性分析，可以清晰地揭示系统的某些缺陷，进而找出原因和改进措施，并适当加以改进。如机床的自激振动（共振）问题会导致工件加工误差的增大；车体、飞机机体的振动原因定位；机械振动的主动控制问题等。解决这些问题都需要对系统进行频率特性分析。 本章的另一主要内容是学习各种频率特性图的规律及绘制方法。一方面用于系统频响特性分析，另一方面为系统的稳定性分析和设计及校正打下基础。**本章主要内容本章主要内容频率特性的概念、含义及表示方法； 频率特性的图形描述； 对数坐标图（Bode图） 极坐标图（Nyquist图） 对数幅-相图（Nichols图） 最小相位系统和非最小相位系统； 闭环频率特性与频域性能指标； 系统辨识（实验法确定系统频率特性的过程）。**本章学习要求、重点、难点本章学习要求、重点、难点学习要求 掌握频率响应和频率特性的概念和含义，会根据传递函数求频率特性。 掌握频响特性的图形描述方法：Bode图、Nyquist图及其绘制方法。掌握典型环节的Bode图和Nyquist图的特点和绘制方法。 掌握最小相位系统和非最小相位系统的概念及本质。 掌握频域性能指标的含义及求法。 了解用开环频率特性求闭环频率特性的方法；了解开环增益的求法。 了解实验法确定系统频率特性的方法和过程（系统辨识）。**本章学习要求、重点、难点本章学习要求、重点、难点本章重点 频率响应和频率特性的概念和含义，会根据传递函数求频率特性； 典型环节的Bode图和Nyquist图及其特点； 最小相位系统和非最小相位系统的概念及本质； 频域性能指标的含义及求法。 本章难点 Bode图、Nyquist图及其绘制方法。**本章作业本章作业P146～P148 习题 5-1 5-2 ⑧（要用到半对数坐标纸） 5-3 ⑤ 5-6 本章作业17周星期三交（机设） 本章作业17周星期二交（车辆）**null频率特性的概念 频率特性的含义及特点 机械系统动刚度的概念（略） 频率特性的表示方法**5-1 频率特性5-1 频率特性频率特性的概念 频率响应：在输入为正弦（或余弦）信号时，系统的稳态响应称之为系统的频率响应。 频率特性：系统的频率响应随输入信号频率变化的特性，或者说，系统对正弦信号的稳态响应特性叫频率响应特性，简称频响特性或频率特性。 采用频率响应对系统的动态特性进行分析称为频率响应法。频率响应法是经典控制理论中最有力的方法。 频率响应法的用途：研究系统的频率特性；分析系统的稳定性；用于系统的设计与校正等。 【注】频率响应法是建立在线性系统的频率保持性的基础上，因此，频率响应法主要用于线性系统的分析，对非线性系统只能有条件地使用。**5-1 频率特性5-1 频率特性线性系统的频率保持性 当给线性系统输入一正弦信号，则系统的稳态响应仍然是与输入同频率的正弦信号，即**LTISLTIS=Linear Time-Invariant Systemf(t) = Asin(ωt)x(t) = Bsin(ωt+φ)+瞬态响应教材101页图5-2中的标注“φ”不对，应改成“φ/ω”，或将横坐标标尺改成“ωt”。5-1 频率特性5-1 频率特性线性系统的频率保持性 设线性定常系统的传递函数为G(s)，当输入为正弦信号r(t)=Asinωt时，可以推导出（参见教材P100）系统的稳态响应为Css(t)=Bsin(ωt+φ)，其中：**称为正弦传递函数从上面结果可以看出，稳态响应的幅值B、输出与输入的相位差一般要随着正弦输入信号的频率的变化而变化，正是这一变化导致了线性时不变系统不能准确、快速地响应输入信号（时域响应上表现为输出信号波形与输入信号波形不同或滞后），产生误差。为了减小误差，我们需要知道B和随是如何变化的，变化的原因是什么，怎样才能快速准确地响应。 为了表示B和随变化，我们写成B()和()。 5-1 频率特性5-1 频率特性系统的频率特性可以从两方面来衡量： 幅频特性 相频特性 幅频特性：正弦输入信号的稳态响应幅值与输入信号幅值之比随输入信号频率变化的特性叫作幅值频率响应特性，简称幅频特性，记作M() 。也称为动态增益（或称动态灵敏度）。即**5-1 频率特性5-1 频率特性相频特性：正弦输入信号的稳态响应与输入信号之间的相位差（或称相移）()随输入信号频率变化的特性叫相位频率响应特性，简称相频特性，记作()。（时域上表现为输出相对于输入的时移。）幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特性或频率特性。**5-1 频率特性5-1 频率特性系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳态解）。可以利用拉氏变换求解； 利用频率响应函数； 实验法 输入正弦信号，测量稳态输出。**5-1 频率特性5-1 频率特性利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出的付立叶变换C(j)与输入的付立叶变换R(j)之比，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传递函数，记作G(j) 。即 **【注】：G(j)是频率的函数，因为虚数单位j是常数，写成G(j)只是为了说明频响函数与传递函数的关系，与G()的意思一样。5-1 频率特性5-1 频率特性频响函数的求法 按定义由微分方程求得。即对描述线性定常系统的微分方程两边同时做傅里叶变换得到。 如果传递函数G(s)已知，以j代替传递函数G(s)中的s得到。 本课程主要采用第二种方法。**5-1 频率特性5-1 频率特性G(j)一般为复变函数，可以写成：**实部 实频特性虚部 虚频特性模相角我就是幅频特性表达式我就是相频特性表达式5-1 频率特性5-1 频率特性线性定常系统的微分方程、传递函数和频响函数之间的转换关系。**系统微分方程频响函数传递函数系统的微分方程、传递函数和频响函数之间的相互转换关系5-1 频率特性5-1 频率特性频率特性的含义及特点 频率特性是系统对正弦输入信号的稳态响应特性。通过分析在输入不同频率谐波时系统的稳态响应可以揭示系统的动态特性。不能定量反映系统的瞬态响应特性（间接定性反映）。 系统的频率特性是系统脉冲响应函数g(t)的Fourier变换，即 在经典控制理论范畴，频域分析法较时域分析法简单，特别是对于高阶系统的分析。 可以方便地利用试验方法获得系统的频率特性，进而获得系统的数学模型。**5-1 频率特性5-1 频率特性例1：求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t−π/4)通过传递函数为G(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。 解：系统的频响函数（频响特性）、幅频特性和相频特性分别为频响函数幅频特性相频特性**例15-1 频率特性5-1 频率特性该装置是一线性定常系统，设稳态响应为yss(t)，根据线性定常系统的频率保持性和叠加性得到 yss(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t−π/4+2)**所以稳态响应为 可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节的频响特性）。 5-1 频率特性5-1 频率特性本例题也可以采用第4章介绍的求时间响应的方法获得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态响应。**教材103页最后一行：“稳态输出响应”应为“时间响应”。稳态响应瞬态响应5-1 频率特性5-1 频率特性频率特性的表示方法 函数表示法：即利用前述各种方法求出频率特性表达式，并以此表示频率特性。频率特性（频响函数）：幅频特性：相频特性：**5-1 频率特性5-1 频率特性频率特性的表示方法 图形表示法 普通坐标图：两幅图，一幅为幅频特性图，另一幅为相频特性图。 对数坐标图(Bode plot)：两幅图，一幅表示幅频特性，另一幅表示相频特性。 极坐标图(Nyquist plot)：用一幅图表示频率特性。 对数幅-相图(Nichols plot)：用一幅图表示频率特性。 上述各种图形表示方法，各有各的特点，可根据需要选用。 我们可以使用这些频率特性图研究系统的频率特性、稳定性以及系统的设计和校正等。**频响特性图频响特性图普通坐标图：|G(j)|−或|G(f)|−f图叫幅频特性图（或叫幅频特性曲线）；()−或(f)−f）图叫相频特性图（或叫相频特性曲线）。纵、横坐标皆线性分度。例如 G(s) = 25/(s2+4s+25)的频响特性图普通坐标图特点： 主要优点：简单易懂。 主要缺点：横坐标频率分辨率受限。**null对数坐标图 各种典型环节的伯德图 绘制系统伯德图的一般步骤 系统类型和对数幅频曲线之间的关系（略）**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)对数坐标图 对数坐标图又称伯德(Bode)图。它包括两幅图，一幅是20lg|G(j)|−图，叫对数幅频特性图；另一幅是()−图，叫对数相频特性图。 横坐标采用常用对数lgω分度(但仍以ω标注)；纵坐标20lg|G(j)|和()采用线性分度。 20lg|G(j)|单位：dB（Decibel）； ()单位：或rad； 单位：rad∙s‒1。 对数坐标图画在半对数坐标纸上，横坐标采用常用对数分度，纵坐标采用线性分度。 5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)*5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-40-30-20-10020lg|G(jω)| (dB)100101102-90-75-60-45-30-150φ(ω) (º)Bode Diagramω (rad∙s‒1)0.2220ωlgω-1横轴低频分辨率高，高频分辨率低。12*0.334530400null正常均匀分度按lgω分度**半对数坐标纸5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)*5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)*5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)*5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)*5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一倍频程：若ω2=2ω1或ω2=1/2ω1，则称从ω1到ω2变化（增加或减小）一倍频程，以“oct.”（octave）表示。 十倍频程：若ω2=10ω1或ω2=1/10ω1，则称从ω1到ω2变化（增加或减小）十倍频程，以“dec.”（decade）表示。ω (rad∙s‒1)**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)采用Bode图的优点 将典型环节幅值（模）的相乘转化为相加，相除转化为相减，简化了复杂系统幅频特性图的绘制； 它可以利用渐近线绘制近似的对数幅频曲线，简化了绘图。 可以在较大的频率范围内研究系统的频率特性，并能保证低频段的频率分辨能力（在实际系统中，低频特性最为重要）。 通过试验获得Bode图后，可以很容易从Bode图得到系统的传递函数 。 缺点：不能表示ω=0点的幅值和相位，因为lg0不存在（或者说等于-∞）。ω的下限可根据需要选取，如取1、0.1、0.01等。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)各种典型环节的伯德图 比例环节：G(s)=K，G(jω)=K 积分环节：G(s)=1/s，G(jω)=1/(jω) 微分环节：G(s)=s，G(jω)=jω 一阶惯性环节 ：G(s)=1/(1+Ts)，G(jω)=1/(1+jTω) 一阶微分环节 ：G(s)=1+Ts，G(jω)=1+jTω 二阶振荡环节：G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2) 二阶微分环节：G(s)=(s2+2ζωns+ωn2)/ωn2 延时环节：G(s)=e‒τs，G(jω)=e‒jτω 掌握了这些环节的Bode图绘制规律，就可以容易地画出由这些环节构成的任何复杂系统的Bode图。因为复杂系统的Bode图就是各环节伯德图简单的叠加。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（1）比例环节G(s)=K的伯德图频率特性(频响函数)对数幅频特性对数相频特性**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（1）比例环节G(s)=K的伯德图比例环节可以忠实地跟踪输入信号。其它环节的频率特性可以依此为基准进行比较。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（2）积分环节G(s)=1/s的伯德图频率特性对数幅频特性对数相频特性当ω=1 rad∙s−1时即积分环节幅频特性线过（1，0）点。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（2）积分环节G(s)=1/s的伯德图-40-20020L(ω) (dB)斜率= ‒20 dB/dec**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)λ个积分环节G(s)=1/sλ的伯德图**0L(ω) (dB)斜率= ‒20λ dB/dec5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（3）微分环节G(s)=s的伯德图频率特性对数幅频特性对数相频特性当ω=1 rad∙s−1时即微分环节幅频特性曲线过（1，0）点。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（3）微分环节G(s)=s的伯德图斜率= 20 dB/dec**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)λ个微分环节G(s)=sλ的伯德图**斜率= 20λ dB/dec5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)积分环节Bode图与微分环节Bode比较-40-200204010-1100101102-180-90090180Bode Diagramφ (ω) (º)ω (rad∙s‒1)L(ω) (dB)微分环节积分环节微分环节积分环节**互为倒数的环节，其对数幅频特性曲线和相频特性曲线都相差一个符号；在特征参数相同的情况下，曲线都是关于某一水平线对称。这是Bode图的优点之一。5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图频率特性对数幅频特性对数相频特性当ω=1/T rad∙s−1时即惯性环节幅频特性线过（1/T，−3dB）点；相频特性曲线过（1/T，−45º）点。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)100101-45φ(ω) /º5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图0.52（1/T，−3dB）（1/T，−45º）（拐点）**T改变，曲线形状保持不变。5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)当ωT<<1，即ω<<1/T时当ωT>>1，即ω>>1/T时低频渐近线(0dB线)因为横坐标采用lgω分度，所以该式表达的是一条过点(1/T，0)，斜率为‒20dB/dec的直线，称为高频渐近线。【注】教材P107图5-10中的横坐标为ωT，此时，渐近线是过点（1，0）。P106倒数第1行中说法文不对图。（4）一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图令高频渐近线得高频渐近线与低频渐近线 (即0dB线)的交点频率为因该频率是高频渐近线与低频渐近线的交点频率，所以称其为转角频率（corner frequency）或转折频率（break frequency）。所以转角频率ωT（或时间常数T）是一阶惯性环节的特征参数。它决定了一阶惯性环节的动态特性。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)100101-45φ(ω) /º5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图2**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图 在采用手工近似绘制惯性环节的对数幅频特性曲线时，可以采用上述两条渐近线近似代替精确的曲线。这种方法省时省力，在设计初期经常采用。如果需要精确的对数幅频特性曲线，则可以利用误差曲线对近似曲线进行修正。惯性环节的误差曲线如下页图所示。 在手工绘制惯性环节的对数相频特性曲线时，找出一些关键点，加上渐近线作为参考，即可近似画出。必要时，计算其它一些点。可以利用曲线关于拐点(1/T，‒ 45º)的对称性。惯性环节的关键点：**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)惯性环节渐近线与实际曲线之间的误差曲线（精确－近似）最大误差出现在转角频率处**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（4）一阶惯性环节G(s)=1/(Ts+1)的伯德图 分析：惯性环节具有低通滤波器的特性。 在低频段，幅频特性约为常数，相移约为0（即时移为0），所以对低频正弦输入信号，能较忠实地跟踪。 在高频段，对数幅值迅速向-∞衰减，相移趋于-90º，所以对于频率高于ωT＝1/T的正弦信号，输出幅值趋于0，相移趋于-90º。其原因就是由于时间常数T的存在，使得输出幅值需要一定的时间才能达到。 如果输入信号含有多种谐波，则对低频成分，输出能较忠实地跟踪，而对高频成分，输出幅值衰减很大，且有相移。 所以惯性环节只能较准确地跟踪恒定的或变化较慢的输入信号。时间常数T越小，转角频率ωT越大，跟踪频段越宽，越能准确地跟踪输入信号，且响应越快。 低频时相当于比例环节，高频时相当于积分环节。**null**00.20.40.60.811.21.41.61.82-101r1(t)=sin(2πt)r1(t)/c1(t)00.20.40.60.811.21.41.61.8200.20.40.60.811.21.41.61.8200.20.40.60.811.21.41.61.82-404t (s)r2(t)=sin(20t)r3(t)=sin(50t)r(t)=r3(t)+r2(t)+r3(t)-101r2(t)/c2(t)-101r3(t)/c3(t)r(t)/c(t)惯性环节的频响特性图解（含瞬态响应）输入信号r(t)输出信号c(t)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)如果3个正弦信号的稳态输出幅值一样，且相对于输入的时移都为0（即相移为0），则3个信号相加后的稳态响应的波形就与输入波形一样，只是在幅值上放大或缩小常数倍，即完全跟踪输入，如下图所示。**c(t) =Kr1(t) +Kr2(t) +Kr3(t)=K[r1(t) +r2(t) +r3(t)]=Kr(t)00.20.40.60.811.21.41.61.82-404t (s)r(t)=r3(t)+r2(t)+r3(t)r(t)/c(t)理想系统的频响特性理想系统的频响特性理想系统输出c(t)与输入r(t)的关系：c(t)=Kr(t)，即C(s)=KR(s)，C(jω)=KR(jω)，K为增益常数。理想系统传递函数和频响函数：理想系统 K(比例环节)理想系统幅频特性理想系统相频特性**理想系统的频响特性理想系统的频响特性Bode图见前面的比例环节**理想系统的频响特性图理想系统的频响特性理想系统的频响特性理想系统是我们追求的，但在实际应用中，理想环节未必就是最好用的，这时因为被控对象往往不是理想系统，而且还有各种干扰存在。为了适应被控对象的要求，往往要人为地加入某些非理想环节。例如液压驱动的升降机及类似负载中，由于负载不是理想系统，需要对动力油缸油流量和压力等仔细控制。若采用电磁比例阀控制动力油缸的流量（速度），为了控制负载起动和停止的加速度，需要调节阀芯开通和关闭的速度，就需要在电磁比例阀控制电路中增加积分电路；为了抑制负载波动等带来的干扰，往往需要在控制电路中增加PID调节电路，而其中的I、D电路都不是所谓的理想系统。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（5）一阶微分环节G(s)=1+Ts的伯德图频率特性对数幅频特性对数相频特性当ω=1/T rad∙s−1时即一阶微分环节幅频特性曲线过（1/T，3dB）点；相频特性曲线过（1/T，45º）点。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一阶微分环节G(s)=1+Ts的伯德图60L(ω) /dBω (rad∙s−1)10-210-110010110210304590φ(ω) /º（1/T，3dB）（1/T，45º）**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)当ωT<<1，即ω<<1/T时当ωT>>1，即ω>>1/T时低频渐近线(0dB线)高频渐近线。斜率为20dB/dec，过点(1/T，0)令得高频渐近线与低频渐近线 (即0dB线)的交点频率为转角频率【注】教材P108图5-12中的横坐标为ωT，此时，渐近线是过点（1，0）。P108正数第3行中说法文不对图。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一阶微分环节G(s)=1+Ts的伯德图60L(ω) /dBω (rad∙s‒1)10-210-110010110210304590φ(ω) /º**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（5）一阶微分环节G(s)=Ts+1的伯德图在采用手工近似绘制一阶微分环节的对数幅频特性曲线时，可以采用上述两条渐近线近似代替精确的曲线。需要时利用误差曲线进行修正。 在手工绘制对数相频特性曲线时，找出一些关键点，必要时，计算出其它一些点，加上渐近线作为参考，即可近似画出。可以利用曲线关于拐点(1/T，45º)的对称性。对一阶微分环节的关键点有：**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)一阶微分环节对数幅频渐近线与实际曲线之间的误差曲线（精确－近似）最大误差出现在转角频率处转角频率 ωT=1/T**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)与前述惯性环节相比，一阶微分环节的对数幅、相频特性与惯性环节相比都差了一个符号。因此，微分环节的对数幅、相频特性曲线变化规律与惯性环节相反，对数幅频特性曲线与惯性环节的对称于0dB线（T相同时），对数相频特性曲线与惯性环节的对称于0º线（T相同时）。 低频时相当于比例环节，高频时相当于微分环节。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-5005010-210-1100101102103-90-4504590L(ω) /dBω/(rad∙s‒1)φ(ω) /º一阶微分环节惯性环节一阶微分环节惯性环节**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（6）振荡环节的伯德图频率特性传递函数**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（6）振荡环节的伯德图对数幅频特性对数相频特性当ω=ωn时过（ωn，－20lg(2ζ)）点过（ωn，－90º）点**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-40-20020 -180-135-90-450L(ω) /dBω (rad∙s‒1)φ(ω) /ºωn10ωn0.1ωn**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)当ω<<ωn时当ω>>ωn时低频渐近线(0dB线)高频渐近线。斜率为‒40dB/dec，过点(ωn，0)令得高频渐近线与低频渐近线 (即0dB线)的交点频率为转角频率【注】教材P109图5-13中的横坐标为ω/ωn，此时，渐近线是过点（1，0）。P108倒数第9行中说法文不对图。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-40-20020 -180-135-90-450L(ω) /dBω (rad∙s‒1)φ(ω) /ºωn10ωn0.1ωnζ= 0.1**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（6）震荡环节的伯德图**在采用手工近似绘制震荡环节的对数幅频特性曲线时，可以采用上述两条渐近线近似代替精确的曲线。因高、低频渐近线与ζ无关，而谐振峰值与ζ有关，所以，在谐振点附近误差较大，且误差大小与ζ有关，ζ越小，误差越大。需要时可以画出峰值点，取得更准确的曲线。也可以采用误差修正曲线进行修正。 在手工绘制对数相频特性曲线时，找出一些关键点及其它一些点，即可近似画出。可以利用曲线关于拐点(ωn，−90º)的对称性。没有别的简单的方法可用。对震荡环节的关键点有：5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)震荡环节对数幅频渐近线与实际曲线之间的误差曲线（精确－近似）0.1110-10-8-6-4-20246810121416ω=ωn时的误差值为：－20lg(2ζ)**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（7）二阶微分环节的伯德图频率特性传递函数**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)对数幅频特性对数相频特性【注】教材P109式(5-27)中第2行有错，按上式红字部分改正。当ω=ωn时过（ωn，20lg(2ζ)）点过（ωn，90º）点**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-200204004590135180L(ω) /dBω (rad∙s‒1)φ(ω) /ºωn10ωn0.1ωn**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)当ω<<ωn时当ω>>ωn时低频渐近线(0dB线)高频渐近线。斜率为40dB/dec，过点(ωn，0)令得高频渐近线与低频渐近线 (即0dB线)的交点频率为转角频率**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-200204004590135180L(ω) /dBω (rad∙s‒1)φ(ω) /ºωn10ωn0.1ωn**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（7）二阶微分环节的伯德图在采用手工近似绘制二阶微分环节的对数幅频特性曲线时，可以采用上述两条渐近线近似代替精确的曲线。需要时可以画出峰值点，取得更准确的曲线。也可以采用误差修正曲线(与震荡环节关于横轴对称）进行修正。 在手工绘制对数相频特性曲线时，找出一些关键点及其它一些点即可近似画出。对二阶微分环节的关键点有：**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)与前述振荡环节相比，二阶微分环节的对数幅、相频特性与振荡环节相比都差了一个符号。因此，二阶微分环节的对数幅、相频特性曲线变化规律与振荡环节相反，对数幅频特性曲线与振荡环节的对称于0dB线（在ωn和ζ相同时），对数相频特性曲线与振荡环节的对称于0º线（在ωn和ζ相同时）。如下图所示。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-40-2002040-180-90090180L(ω) /dBω (rad∙s‒1)φ(ω) /ºωn10ωn0.1ωn二阶微分环节振荡环节二阶微分环节振荡环节**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)（8）延时环节G(s)=e−τs的伯德图频率特性对数幅频特性对数相频特性**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)-10110-210-1100101-60-300L(ω) /dBω (rad∙s−1)φ(ω) /º**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)绘制系统伯德图的一般步骤 求出频率特性G(jω)，并将G(jω)化为若干典型环节频率特性相乘的形式； 求出各典型环节的转角频率（对一阶微分环节和惯性环节：ωT=1/T；对振荡环节和二阶微分环节：ωT=1/T=ωn）； 分别画出各典型环节的对数幅频特性曲线的渐近线（同时确定渐近线的斜率）和对数相频特性曲线； 将各环节对数幅频特性曲线的渐近线进行叠加（在转角频率处斜率也要进行叠加），得到系统幅频特性曲线的渐近线，必要时对其进行修正； 将各环节对数相频特性曲线叠加，得到系统的对数相频特性曲线。 有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则加上－τω。 例子见教材110-111页。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)在画整个系统伯德图的对数幅频特性曲线时，并不一定需要先画出各环节伯德图。只要掌握了各环节的伯德图规律（转角频率、低频渐近线、高频渐近线斜率、一些特殊点），就可根据静态增益和各环节时间常数直接画出整个系统伯德图的对数幅频特性曲线。 画相频特性曲线时，没有简单的方法可用。 下面介绍一种直接绘制整个系统伯德图的对数幅频特性曲线的方法——顺序斜率法。其过程如下：**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)绘制系统频率特性Bode图的顺序斜率法 将系统的传递函数转化成由若干个典型环节传递函数相乘的形式；由传递函数求出频率特性； 确定各典型环节的转折频率，并将转折频率由低到高依次标在横坐标轴上； 绘制对数幅频特性L(ω)=20lg|G(jω)|的低频段渐近线。 若系统不含积分环节，低频段渐近线为一水平线，高度为20lg|K|； 若系统含积分环节，则低频段渐近线（或其延长线）为一过点（1，20lg|K|），斜率为−20λ dB/dec（λ—积分环节个数）的直线段；**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)按转折频率由低频到高频的顺序，在低频渐近线的基础上，每遇到一个转折频率，根据环节的性质改变渐近线斜率，绘制渐近线，直到绘出转折频率最高的环节为止。渐近线斜率改变的原则是： 遇到惯性环节的转折频率则斜率增加−20dB/dec； 遇到一阶微分环节的转折频率则斜率增加+20dB/dec； 遇到振荡环节的转折频率则斜率增加−40dB/dec； 遇到二阶微分环节的转折频率则斜率增加+40dB/dec； 最后一段渐近线的斜率应为−20(n−m) dB/dec（n—传递函数分母阶次，m—传递函数分子阶次），可以应用该结论验证图形绘制是否正确。 必要时对L(ω)曲线进行修正。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)例5-3 画出下列系统的伯德图解：先转化成典型环节的相乘形式比例环节 K=50一阶微分环节 T2=1/5积分环节惯性环节 T1=1/2**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)频响函数**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)该系统含有1个积分环节，所以低频段渐近线过（1，20lg50）点，斜率为−20 dB/dec。 过（1，20lg50）点做一条斜率为−20dB/dec的斜线得到对数幅频特性低频段； 将低频段延伸到第一个转角频率ωT1=1/T1=2处，此环节为惯性环节，故对数幅频特性的渐近线斜率在该点下降20dB/dec； 然后继续延伸到第二个转角频率ωT2=1/T5=5处，此环节为一阶微分环节，故对数幅频特性的渐近线的斜率在该点增加20dB/dec； 再继续延伸到第三个转角频率ωT3=ωn=10处，此环节为振荡环节，故对数幅频特性的渐近线的斜率在该点减少40dB/dec。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)10-1100101102-60-40-200204020lg5060Bode DiagramL(ω) /dBω (rad∙s−1)**255-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)在转角频率处进行适当的修正，可以达到较为准确的对数幅频特性。 对惯性环节，在转角频率处减少10lg2≈3dB； 对一阶微分环节，在转角频率处增加10lg2≈3dB； 对振荡环节，在转角频率处增加修正曲线如下图所示。**5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)10-1100101102-60-40-200204060Bode DiagramL(ω) /dBω (rad∙s−1)**20lg505-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)5-2 频率特性的对数坐标图(伯德图)绘制相频特性 ：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。低频段：φ(0)=−λ×90º（λ为系统型次，即积分环节个数）；高频段φ(∞)=−(n−m)×90º。**10-1100101102-270-225-180-135-90-450459025ω (rad∙s−1)φ(ω) /º绘制Bode图的MATLAB命令绘制Bode图的MATLAB命令BODE(SYS) % draws the Bode plot of the LTI model SYS (created with either TF, ZPK, SS, or FRD). The frequency range and number of points are chosen automatically. BODE(SYS,{WMIN,WMAX}) %draws the Bode plot for frequencies between WMIN and WMAX (in radians/second). BODE(SYS,W) %uses the user-supplied vector W of frequencies, in radian/second, at which the Bode response is to be evaluated. BODE(SYS1,SYS2,...,W) %graphs the Bode response of multiple LTI models SYS1,SYS2,... on a single plot. The frequency vector W is optional. You can specify a color, line style, and marker for each model, as in bode(sys1,'r',sys2,'y--',sys3,'gx'). [MAG,PHASE] = BODE(SYS,W) and [MAG,PHASE,W] = BODE(SYS) return the response magnitudes and phases in degrees (along with the frequency vector W if unspecified). No plot is drawn on the screen. BODE(num,den)**null极坐标图 典型环节的极坐标图 系统乃奎斯特图的一般画法**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)极坐标图 G(j) = Re[G(j)]+jIm[G(j)] = |G(j)|∠G(j) 实部(实频特性)：Re[G(j)] = |G(j)|cos(∠G(j)) 虚部(虚频特性)：Im[G(j)] = |G(j)|sin(∠G(j)) 频率特性G(jω)作为一个矢量，当ω从0变化到+∞（或当ω从－∞变化到+∞）时，其端点在复平面上所描绘出的轨迹就是频率特性的极坐标图，通常叫奈奎斯特(Nyquist)图。G(jω)矢量在实轴和虚轴上的投影，对应着G(jω)的实部和虚部。**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)极坐标图 极坐标图坐标轴：以频响函数G(jω)的实部Re[G(jω)]作为横轴，虚部Im[G(jω)]作为纵轴。 做图方法1：以作为参量，计算出各个频率点的实部Re[G(jω)]和虚部Im[G(jω)]，并描绘在实部、虚部构成的复平面上，将各点用光滑曲线连接起来便可得到极坐标图。 做图方法2：以作为参量，计算出各个频率点的频响特性幅值|G(jω)|和相角∠G(jω)，并描绘在实部、虚部构成的复平面上，将各点用光滑曲线连接起来便可得到极坐标图。图中曲线上某点的矢量向径的长度=|G(j)|，与横轴(实轴)的夹角=∠G(jω)（逆时针为正，顺时针为负）。 上述两种方法可以联合使用。***5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图) 液柱温度计的奈奎斯特图G(s) =1/(Ts+1)的Nyquist图|G(jω1)|极坐标图例**|G(jω2)|ω1ω2Re[G(jω1)]Im[G(jω1)]Re[G(jω2)]Im[G(jω2)]5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)极坐标图 优点：它能够在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。 缺点：不能清晰地指出开环传递函数中各环节的贡献程度，另外手工绘制Nyquist图较麻烦（相对伯德图来说）。 应用：主要用于系统的稳定性分析及系统的设计校正。 【注】在使用Nyquist图判断系统的稳定性时，经常需要画出ω从－∞变化到+∞时的Nyquist图。可以证明，ω从－0到－∞的Nyquist图与ω从+0到+∞的Nyquist图关于实轴对称。如下图所示。**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)**振荡环节的奈奎斯特图ζ= 0.3 ωn=10000Re[G(j)]Im[G(j)]5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)【说明】 以下可能将实部Re[G(j)]和虚部Im[G(j)] 分别简写为Re () 和Im () 。 相频特性∠G(j)可能写成φ()，即φ() = ∠G(j)。 如果没有特殊说明，在本节中画出的都是从+0到+∞的Nyquist图。****5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)典型环节的极坐标图（1）比例环节K的极坐标图** 即比例环节频率特性的Nyquist图为实轴上的一个定点，其坐标为(K，0) 。 传递函数频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（2）积分环节1/s的极坐标图**传递函数频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性即积分环节频率特性的Nyquist图在负虚轴上，由无穷远点指向原点，具有恒定的相位滞后。 ↓ 05-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（3）微分环节s的极坐标图**传递函数频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性 即微分环节频率特性的Nyquist图在正虚轴上，由原点指向无穷远点，具有恒定的相位超前。5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（4）惯性环节1/(1+Ts)的极坐标图**传递函数频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（4）惯性环节1/(1+Ts)的极坐标图相角0º～－90º。**即惯性环节频率特性的Nyquist图是一个以(1/2，0)为圆心，半径为1/2的下半圆。5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（4）惯性环节1/(1+Ts)的极坐标图**由图可知，惯性环节频率特性的幅值随着频率的增大而减小，因而具有低通滤波器的性能。同时可以看出，它存在相位滞后，且滞后相位角随频率的增大而增大，最大相位滞后为−90°。5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（5）一阶微分环节1+Ts的极坐标图**传递函数频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（5）一阶微分环节1+Ts的极坐标图|G(j)|当ω从0→∞变化时，G(j)的幅值由1→∞，其相角∠G(j)由0º→90º。即一阶微分环节频率特性的Nyquist图始于点(1，0)，平行于虚轴。**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（6）振荡环节的极坐标图**传递函数频率特性5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（6）振荡环节的极坐标图实频特性虚频特性**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（6）振荡环节的极坐标图幅频特性相频特性**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（6）振荡环节的极坐标图相角0º～－180º，与负虚轴有交点**当从0→∞时， G(j)的幅值由1→0 ，其相位由0º→−180º，即振荡环节频率特性的Nyquist图始于点(1，0)，终于原点(0，0)。中间与负虚轴相交，交点的频率就是无阻尼固有频率n ，交点的幅值为1/(2ζ)。5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)振荡环节的奈奎斯特图峰值点 = n**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（6）振荡环节的极坐标图由图可见，ζ取值不同，Nyquist图的形状也不同。当阻尼比 　　时，G(jω)矢量长度（即幅频特性）存在峰值，该峰值称为谐振峰值，以Mr表示，对应的频率ωr称为谐振频率。谐振频率谐振峰值谐振峰值求解过程如下：教材116页表5-4下面的段第4行“欠阻尼系统(ζ＜1)”错误。**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（6）振荡环节的极坐标图谐振峰值求解过程令，可求得三个极值点：舍掉和ωr1和ωr3，ωr2即为谐振频率。将ωr2代入|G(jω)|中即可求得谐振峰值Mr。 由ωr2式可知，当1−2ζ2＞0，即 时，ωr2存在。**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（7）二阶微分环节的极坐标图传递函数频率特性**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（7）二阶微分环节的极坐标图**实频特性虚频特性幅频特性相频特性5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（7）二阶微分环节的极坐标图当从0→∞时， G(j)的幅值由1→∞ ，其相位由0º→+180º，即二阶微分环节频率特性的Nyquist图始于点(1，0)，终于无穷远处(−∞，∞)（终点相角180º，及趋于水平）。中间与正虚轴相交，交点的频率就是无阻尼固有频率n ，交点的幅值为2ζ。**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图) = n二阶微分环节的奈奎斯特图**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（7）延时环节e−τs的极坐标图**传递函数频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性（圆）5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（7）延时环节e−jωτ的极坐标图相角0º～－∞º，与实轴和虚轴有无穷多交点。n=1，2，……当从0→∞时，G(j)的幅值恒为1，其相角由0º→ −∞º。即延时环节频率特性的Nyquist图始于点(1，0)，并沿着单位圆顺时针无限循环。**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)（7）延时环节e−jωτ的极坐标图延时环节的特点：当正弦信号通过延时环节时，其输出信号幅值不变，而相位角滞后于输入信号，其滞后角度随输入信号的频率ω的增大成正比增大。 当延时环节与其它环节串联时，不影响系统的幅频特性，但相频特性叠加-ωτ，使系统响应滞后。**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)系统乃奎斯特图的一般画法由G(jω)求出|G(jω)|、∠G(jω)、Re[G(jω)]和Im[G(jω)]的表达式； 由上面求出的式子求出乃氏图若干特征点，并标注在极坐标图上。 起点(ω = 0)和终点(ω→+∞)； 与实轴的交点（利用Im[G(jω)]=0或∠G(jω)=n⋅180º（其中n为整数）求出）； 与虚轴的交点（利用Re[G(jω)]=0或∠G(jω)=n⋅90º（其中n为奇数）求出）； 必要时画出乃氏图中间几点； 利用频响函数的特点和|G(jω)|、∠G(jω)、Re[G(jω)]及Im[G(jω)]的变化趋势确定曲线走向（特别是起点和终点的相角），即可勾画出大致的Nyquist曲线。**5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)I型开环系统传递函数如下，式中K、T1、T2均大于0，画其Nyquist图。 **解：频率特性例5-4.25-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)**幅频特性相频特性实频特性虚频特性5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)**起点终点即图形的起始点，位于相位角为－90º的无穷远处，且趋于一条渐近线，该渐近线为过点（－K(T1+T2)，0）且平行于虚轴的直线。即起点位于第3象限。即图形的终点，位于相位角为－270º的原点处，且实部从负方向趋于0，虚部从正方向趋于0（即从第2象限趋于原点）。5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)该交点距原点的距离（该点幅值）和实部分别为令虚部=0，即解得曲线与负实轴交点的频率为**从图形起点、终点和相角范围看，图形与负实轴必有交点。5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图) = +∞ = ‒∞(‒K(T1+T2)，0)Re()Im()5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)一般系统开环Nyquist图的规律设系统开环传递函数的一般形式为其分母阶次为n＝p＋λ，分子阶次m，n≥m，λ＝0，1，2，…。设K、τ1、……、τm、λ、T1、……、Tp皆大于0（即传递函数为最小相位传递函数）。**对应的系统开环频率特性的一般形式为（P120）【注】在用Nyquist图判断系统的稳定性时用的是开环传递函数的Nyquist图。5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)一般系统开环Nyquist图的规律**幅频特性相频特性起点终点5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)5-3 频率特性的极坐标图(乃奎斯特图)对于不同型次系统，其乃奎斯特图具有以下特点：