nullnull第五讲 定积分
内容提要与典型例题null一、主要内容问题1:
曲边梯形的面积问题2:
变速直线运动的路程定积分存在定理反常积分定积分
的性质牛顿-莱布尼茨公式
定积分的
计算法null二、内容提要 1 定积分的定义定义的实质几何意义物理意义
2 可积和 可积的两个充分条件3 定积分的性质线性性可加性非负性null比较定理估值定理 积分中值定理积分中值公式若M 和 m 是null积分上限函数及其导数 null牛顿—莱布尼茨公式定积分的计算法（1）换元法换元积分公式（2）分部积分法分部积分公式微积分基本公式null 利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算广义积分(1)无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分null三、典型例题例求极限（1）解练习: 解练习: 求极限解：原式null如果能把数列的通项写成的形式，就可以利用或把数列极限问题转化为定积分 的计算问题.与数列的极限有着密切联系。由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分例 证明例 证明证: 令则令得故null例例. 求例. 求解: 令则原式例. 求例. 求解:null解是偶函数, 例 例. 设例. 设解: null例设 求解null这是 型未定式的极限解由L’Hospital法则a = 0 或 b =1将 a = 0 代入知不合题意, 故 b =1.例 试确定 a , b 的值使null*例已知两曲线在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限解故所求切线方程为例例设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .明对于任何null例 设 f ( x ) , g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，证明证关键在于作出辅助函数 F(x)则 F(a)、F(b) 的符号不易判别，得不出结论null则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导
且F ( a ) = F ( b ) = 0由 Rolle 定理知：null
辅助函数法证明定积分等式——主要适用于证明在积分限中至少存在一点
使等式成立的命题。①移项使一端为 0另一端即为②验证 F(x)满足介值定理或 Rolle 定理 注： 例. 例. 设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) > 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 null证: (1) 由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 null即 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 例. 设例. 设证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即原等式成立.
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