微积分I 1

练习 1.1 1. 下列式子中那些 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示函数. ( )1 012 =++ yx ( )2 0122 =++ yx ( )3 21 xy −= ( )4 0=y ( )5 ( )21ln xy −−= ( )6     = ≠ = 0,0 0,1 x x xy 解： ( )1 012 =++ yx 符合函数定义，是 y 与 x 的函数关系，是函 数. ( )2 0122 =++ yx 这个式子，不论 x 取什么实数值，找不到这样 的规则，使 122 −−= xy ，所以 0122 =++ yx 不是函数. ( )3 21 xy −= 的定义域需要 12 ≤x ，因此 21 xy −= 是定义域 为 11 ≤≤− x 的函数. ( )4 0=y 表面上虽不含 x 但这个式子作为规则它表示“不论 x 取什么实数值，y 总以唯一确定的数值 0 与之对应”，它是函数. ( )5 ( )21ln xy −−= 的定义域要求 012 >−− x ，但事实上 112 −≤−− x ， 也就是对任何实数 x 都没有按规则 ( )21ln xy −−= 与之对应的实数 y，因 此它不是函数. ( )6     = ≠ = 0,0 0,1 x x xy 分段函数是函数. 2. 下列函数对中那些相同？ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,14 cossin,13 1,12 1,)1( 22 22 2 +=+= +== +=+= == ttgxxf xxxgxf xxgxxf xg x x xf 解： ( )1 ( )    <− > == 0,1 0,1 x x x x xf 它的定义域为 ( ) ( ),,00, ∪ +∞∞− ( ) 1=xg 的定义域为 ( )+∞∞− , 两函数由于定 义域不相同，所以它们是两个不同的函数. ( ) ( ) 12 += xxf 与 ( ) ( )21+= xxg 的定义域均为 ( )+∞∞− , ，但它们的 对应规则不同，当 x<-1 时 ( ) 01 <+= xxf 而 ( ) 01 >+= xxg ，所以它们不 是相同函数. ( ) ( ) 13 =xf 与 ( ) xxxg 22 cossin += 的定义域相同，对应规则相同， 两函数是相同的. ( ) ( ) 14 2 += xxf 与 ( ) 12 += ttg 的定义域和对应规则均相同，是两个 相同函数. 3. 求下列函数的定义域. ( ) ( )1log1 22 −= xy ( ) 5 1 arccos2 += xy ( ) 5lg 13 − = x y ( ) 2 1 14 2 ++ − = x x y 解：（1）由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 得 012 >−x 就是 12 >x ，解得 x>1 或 x<-1，函数的定 义域为 ( ) ),1(1, +∞−∞− ∪ . （2）因为 1 5 11 ≤+≤− x ，所以 46 ≤≤− x ，函数的定义域为 ]4,6[− （3）据题意得：      >− ≠− ≠− 05 05 15 x x x ， 解得        ∈ ≠ ≠ ≠ Rx x x x 6 5 4 ， 所以函数的定义域为 ( ) ( ) ( ) ( )∪∪∪ +∞∞− ,66,55,44, . （4）由题意得：    ≥+ ≠− 02 01 2 x x ∴    −≥ ±≠ 2 1 x x 函数的定义域为 ),1()1,1()1,2[ +∞−−− ∪∪ . 4. 判断下列函数的奇偶性 ( ) xx xx ee eey − − + − =1 ( ) ( )21lg2 xxy +−= ( ) 2sin3 xxy +=    ≥+ <− = 0, 0,)4( 2 2 xxx xxx y 解：（1）因为 ( ) ( )xf ee ee ee ee xf xx xx xx xx −= + − −= + − =− − − − − 所以函数 xx xx ee eey − − + − = 是奇函数. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xf xx xxxx xxxxxf −= ++−= ++ = +−− − = ++−=     −++−=− 2 22 22 1lg 1 1lg 1 1lg 1lg1lg)2( 因为 所以函数 ( )21lg xxy +−= 为奇函数. （3）因为 x是奇函数， 2sin x 是偶函数， 2sin xxy += 为一奇函数 和偶函数之和，且它们不恒等于零所以 2sin xxy += 为非奇非偶函数. （4）作出函数    ≥+ <− = 0, 0, 2 2 xxx xxx y 的图形，图形关于 y 轴对称，故 函数是偶函数. 5．下列函数是否有反函数？为什么？若有反函数，求出其反函 数 ( )xf 1− （1） ( ) 2 1 + − = x x xf （2） ( ) 1−= xxf （3） ( ) ( )xx eexf −−= 2 1 （4） 21, 10, 52 )( 2 ≤≤ <≤    +− = x x x x xf 解：（1）由 ( ) 2 1 + − = x x xf 解得 ( ))(1 21 xf xf x − + = 故所求反函数为 ( ) x x xf − + = − 1 211 . （2）由 ( ) 1−= xxf 解得 1)(2 += xfx 就是 ( ) 121 +=− xxf 0≥x （3）由 ( ) ( )xx eexf −−= 2 1 得 01)(22 =−− xx exfe ∴ ( ) ( ) 12 +±= xfxfex （ ( ) ( ) 1,0 2 +−∴> xfxfex∵ 舍去） ( ) ( )( )1ln 2 ++=∴ xfxfx ∴ 直接函数的反函数为 ( ) ( )1ln 21 ++=− xxxf （4）在区间 )1,0[ 上 2)( xxf = 的反函数是 xxf =− )(1 ，在区间[1，2] 上 52)( +−= xxf 的反函数是 )5( 2 1)(1 −−=− xxf 综上 )(xf 的反函数是     ≤≤−− <≤ = − 31),5( 2 1 10, )(1 xx xx xf . 6．将下列函数分解成简单函数： （1） 22xy = （2） xy 2sin= （3） 21arctan xy += （4） 2 lglg 2 xy = 解：（1） 2,2 xty t == （2） xtty sin,2 == （3） 1,,arctan 2 +=== xvvuuy (4） 2 ,lg,,lg 2 xwwvvuuy ==== . 练习 1.2 1. 设某商品的需求函数为 PQD 35 +−= ，供给函数 PQ s 210 −= ，求 均衡价格和均衡交易量. 解：由 SD QQ = 即 pp 21035 −=+− 得 3=p ，此时 4=Q 故均衡价格 3=p ，均衡交易量 4=Q . 2. 设 某商 品的需 求函 数为 2320 QQP −−= ， 供 给函 数 为 23105 QQP +−= ,均衡价格和均衡交易量. 解:由 22 3105320 QQQQ +−=−− 得 4 5 ,3 −== QQ (舍去),此时 2=p 故均衡价格 2=p ，均衡交易量 3=Q . 3. 某企业同生产无关的固定成本为 600 元,每单位产出 Q 的可变 成本 5 元,商品的售价为每单位 10 元.求(1)总成本函数,(2)平均成本函 数,(3)总收益函数,(4)盈亏临界点. 解: (1) QQC 5600)( += (2) 5600)()( +== QQ QCQC (3) QQR 10)( = (4) ,06005560010)()()( =−=−−=−= QQQQCQRQL 盈亏平衡点 120=Q 习题一 1. 单项选择. [ ] ( ) 以上均不对），（），（ （ ）的定义域是（）函数（ )(11)( ,)(1,1) 1||,1 1||,1 1 2 2 DC BA xx xx y ∞+−∞− +∞∞−−     >− ≤− = ∪ 解：函数 y 是一个分段函数。 B xxx xx ，所以应选是各段定义区间的并集由于分段函数的定义域 或得由 就是 .111|| ;111|| −<>> ≤≤−> （2） 设 f(x)的定义域为（1，2），则 f(lgx)的定义域为（ ） （A）(0,lg2) (B) [0,lg2] (C ) (10,100) (D) (1,2) 解：因为 f(x)的定义域为（1，2），,所以 12 无定义) 则 g(x)=f(2x)+f(x-2) 是( ). (A)无意义 (B)在[0，2]上有意义 (C)在[0，4]上有意义 (D)在[2，4]上有意义 解：∵    ≤< ≤≤ = 21,2 10,1)( x x xf ,∴f(x)的定义域为[0,2], 对于 f(2x),则 220 ≤≤ x ，即 10 ≤≤ x ∴ f(2x) 的定义域为[0,1] 对于 f(x-2)，则 220 ≤−≤ x 即 42 ≤≤ x ∴ f(x-2) 的定义域为[2,4] ∴ g(x)=f(2x)+f(x-2)不存在定义域 故选 (A) (10) 设    >+ ≤− = 0,2 0,2)( xx xx xg    ≥− < = 0, 0,)( 2 xx xx xf 则 g[f(x)]=( ) (A)    ≥− <+ 0,2 0,2 2 xx xx (B)    ≥+ <− 0,2 0,2 2 xx xx ( C)    ≥− <− 0,2 0,2 2 xx xx (D)    ≥+ <+ 0,2 0,2 2 xx xx 解：（ 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法）    >+ ≤− = 0)(,2)( 0)(),(2))(( xfxf xfxf xfg∵ 当 0≥x , 0)( ≤−= xxf ,当 x<0, 0)( 2 >= xxf ∴g[f(x)]=    ≥+ <+ 0,2 0,2 2 xx xx 故选(D) （11）函数 y=lg( xx −+ 21 )的图形（ ） (A)关于原点对称 (B)关于 y 轴对称 (C)关于 x 轴称 (D)关于直线 y=x 对称 解：设 y=f(x)=lg( xx −+ 21 ),则 f(-x)=lg( xx +−+ 2)(1 )= 2lg( 1 )x x+ + =lg xx xx −+ −+ 2 22 1 )1( = xx −+ 21 1lg )()1lg( 2 xfxx −=−+−= 所以 y=f(x)=lg( xx −+ 21 )是奇函数，其图形关于原点对称， 故选(A) （12）函数 xy 2sin= 是以（ ）为周期的周期函数 (A) 2 pi (B)pi (C) 2pi (D)以上均不对 解： x x xy 2cos 2 1 2 1 2 2cos 2 1 sin 2 −=−== 所以 x2sin 是周期函数，周期为pi ， 故选(B) （13）设 f(x)与 g(x)在 ),( +∞−∞ 内分别是单调增加和单调减少函数， 则 f[g(x)]（ ）. (A)单调增加函数 (B)单调减少函数 (C)无单调性 (D)恒为常数 解：设 ),,(,, 2121 +∞−∞∈< xxxx 则 ),()( 12 xgxg ≤ )],([)]([ 12 xgfxgf ≤∴ 故选(B). (14)狄利克莱函数    = 为无理数 为有理数 x x XD ,0 ,1)( ,则 D(x)( ) (A)为周期函数 (B)不为周期函数 (C)奇函数 (D)非奇非偶函数 解：设实数 0≠T ，将 T 分为有理数与无理数两种情形： （1）T 为有理数，因为有理数与有理数之和仍为有理数；有理 数与无理数之和仍为无理数，所以有 D(x+T)=D(x) 对一切 x 成立，可见，任意一有理数都是 D(x)的周期. （2）若 T 为无理数，r 为有理数，则 D(r+T) ≠ D(r) 由此可见，任意一无理数都不是 D(x) 的周期。 故选（A） （15）下列函数中不是初等函数的是（ ） (A) y=0 (B) xxy )(sin= (C) )1ln(2 xey x += (D)     < ≥− = 1, 1,12 xe xx y x 解：     < ≥− = 1, 1,12 xe xx y x ∵ 是一个分段函数，不是初等函数，故应选(D) (16) 设某商品的需求函数,供给函数分别为 PQPQ SD 5 31 5 115 +−=−= ， 则均衡价格和均衡量分别为（ ） (A)20,11 (B)11,20 (C)15,20 (D)20,15 解：由题设条件知，某商品的需求量 = DQ 供给量 SQ 即 20 5 31 5 115 =⇒+−=− PPP 代入 SD QQ ==×−= 1120 5 115 故应选(A). 2. 求下列函数的定义域 (1) 2 2 arcsin2)1lg( 1 2 2 − +−−+ − = x xx x y 解：由题得不等式组： ⇒         ≤−≤− ≥−− >− ≠− 1 2 11 02 01 11 2 2 2 x xx x x ⇒        ≤≤− −≤≥ −<> ±≠ 31 12 11 2 x xx xx x 或 或 32 ≤≤ x 函数的定义域为[2,3] (2) x xy + = 1 2 arcsin 解：由题得 1 1 21 ≤ + ≤− x x 就是       ≤ + − ≥ + + 0 1 1 0 1 13 x x x x     ≤<− −<−≥ ⇒ 11 1 3 1 x xx 或 1 3 1 ≤≤−⇒ x 函数的定义域为 ]1, 3 1[− （3） 11 22 −+−= xxy 解：由题得     ≥− ≥− 01 01 2 2 x x 1,1 11 11 =−=⇒    ≥−≤ ≤≤− ⇒ xx xx x 或 所以 11 22 −+−= xxy 的定义域为： x=1 和 x=-1 （4）        > ≤< < − = 1,3 10,2 0, 1 4 x xx x x y 解：分段函数的定义域为各段定义区间的并集， 其定义域为 ],1(]1,0()0,( +∞−∞ ∪∪ 就是 ],0()0,( +∞−∞ ∪ 3. 已知 )(xf 的定义域为[0,1] 求： )(sin),(lg),( 2 xfxfxf 的定义域 解：因为 )(xf 的定义域为[0,1]，所以 (1) 10 2 ≤≤ x 即 11 ≤≤− x (2) 1lg0 ≤≤ x 即 101 ≤≤ x (3) 1sin0 ≤≤ x 即 pipi )12(2 +≤≤ nxn ， n 为整数 所以 f( 2x )的定义域为 ]1,1[− ,f(lgx),的定义域为[1,10],f(sinx)的定 义域为 pipi )12(2 +≤≤ nxn ,n 为整数 4. 已知 f(3x+4)的定义域为[-1,2]，求 f( x10 )的定义域. 解：因为 f(3x+4)的定义域为[-1,2]，即： 21 ≤≤− x 所以 10431 ≤+≤ x ，亦即： 10101 ≤≤ x 从而，有 10 101010 ≤≤ x 所以 f( x10 )的定义域为[0，1]. 5．已知 1 1)1( + − = x x x f ,求 f(x) ,f[f(x)] 解 ：设 x u 1 = , 则 u x 1 = , 所以 u u u uuf + − = + − = 1 1 11 11 )( 即 x x xf + − = 1 1)( x xf xf xff = + − =∴ )(1 )(1)]([ . 6. 已知 ,1cos) 2 (sin += xxf 求 ) 2 (cos xf . 解： 2 sin221cos) 2 (sin 2 xxxf −=+=∵ x xxxf cos1)1 2 cos2(1 2 cos22) 2 (cos 22 −=−−=−=∴ . 7. 若函数 f(x)满足方程：2f(x)+f(1-x)= 2x ,求函数 f(x) 解：设 u=1-x, 则 x=1-u, 从而，2f(1-u)+f(u)= 2(1- )u 就是 2f(1-x)+f(x)= 2 - 2 1x x + 解方程组    +−=+− =−+ 12)()1(2 )1()(2 2 2 xxxfxf xxfxf 得 23 ( ) 2 1f x x x= + − 就是 21( ) ( 2 1) 3 f x x x= + − . 8. 已知 )])0([)],1([),1(), 2 3(),0(, 21,1 10,2 01,2 )( fffffff xx x x xf x 求      ≤≤− <≤ <<− = . 解：f(0)=2, f( 3 2 )= 3 2 -1= 1 2 , f(1)=1-1=0, f[f(1)]=f(0)=2, f[f(0)]=f(2)=2-1=1. 9.已知 1, 0( ) , ( ) ( ) ( 1) 1, 0 x xf x g x f x f x x x − < = = − − + ≥ 求 . 解： 1, 0 ( 1) 1, 1 0( ) ( 1) 1, 0 ( 1) 1, 1 0 2, 0 2, 1 2, 0 1 , 1 , 1 x x x xf x f x x x x x x x x x x x x x x x − < − − − <  = ∴ − =  + ≥ − + − ≥  − < − <  = = − ≤ < ≥  ≥ ∵ 从而，当 x<0 时 g(x)=f(x)-f(x-1)=(x-1)-(x-2)=1 当 0 1x≤ < 时, g(x)=f(x)-f(x-1)=(x+1)-(x-2)=3 当 1x ≥ 时, g(x)=f(x)-f(x-1)=(x+1)-x=1 综上 g(x)=f(x)-f(x-1)= 1 , 0 3 , 0 1 1 , 1 x x x <  ≤ <  ≥ . 10. 设 xxxxf −− +=+ 44)22( ,求 )(xf . 解：因为 2)22(44)22( 2 −+=+=+ −−− xxxxxxf 所以 2( ) 2f x x= − 11. 设生产与销售某产品的总收益 R 是产量 x 的二次函数，经统 计得知：当产量 x=0,2,4 时，总收益 R=0,6,8,试确定总收益 R 与产量 x 的函数关系. 解： 设总收益 R 与产量 x 的函数关系为 R(x)= 2ax bx c+ + 由题设得: 2 2 2 0 0 0 2 2 8 4 4 1 2 4 0 a b c b a b c a b c a b c  = ⋅ + ⋅ +  = ⋅ + ⋅ +  = ⋅ + ⋅ +  = −  =  =   解之，得 所求的函数关系式为： 21( ) 4 2 R x x x= − + . 12. 若函数 f(x)，满足等式 f(1+x)+3f(1-x) = 2x x− ,证明 f(x)一定是 偶函数. 证明：由 )1()1(3)1( 2 ⋯⋯⋯xxxfxf −=−++ 可得 )2()()1(3)1( 22 ⋯⋯⋯xxxxxfxf +=−−=++− )1()3()2( +−× 得: xxxf 2 1 4 1)1( 2 +=+ 令 ux =+1 ,则 4 1 4 1)1( 2 1)1( 4 1)( 22 −=−+−= uuuuf 所以 4 1 4 1)( 2 −= xxf 为偶函数. 13. 若对于函数 f(x)满足 f(x+T)=kf(x) （式中 k,T 为正的常数）， 则函数 )()( xfax x ⋅= −ϕ 为周期函数（其中a满足 kaT = ）. 证明： )(1)()()( xkf a axkfaaTxfaTx TxTxTx ⋅⋅=⋅⋅=+⋅=+ −−−−−ϕ∵ )()()(1 xxfaxkf k a xx ϕ==⋅⋅= −− )(xϕ∴ 是周期函数. 14. 若 )(xf 在 ),( +∞−∞ 上为偶函数，且在 )0,(−∞ 单调递增，证明 )(xf 在 ),0( +∞ 内单调递减. 证明：设 ),0(, 21 +∞∈xx ，且 21 xx < ，则 21 xx −>− 且 )0,(, 21 −∞∈−− xx 由题意得 )()( 21 xfxf −>− ，因为 )(xf 为偶函数 所以有 )()( 21 xfxf > ，故 )(xf 在 ),0( +∞ 内单调递减. 15. 若函数 baxy += 的反函数就是它本身，求 ba, 解： baxy +=∵ 的反函数为 a bxy −= ， a bxbax −=+∴ 即      =− = b a b a a 1 当 为任意实数。时当时， baba ,1;01 −=== 16．已知 ( )( )xfff x x xf n �� ��� �� ��� � 求 ⋅⋅⋅ + = , 1 )( 2 解： [ ] [ ] 2 2 2 2 222 21 1 1 1 )(1 )()()(, 1 )( x x x x x x xf xf xffxf x x xf + = + + + = + ==∴ + =∵ , ( )[ ] )( 31 21 1 21)( 32 2 2 2 xf x x x x x x xfff = + = + + + = 下面用归纳法求 )(xf n [ ] ( ) 2 2 2 2 1 2 11 1 1 1)()(,1 . 1 )(, xk x kx x kx x xffxfkn kx x xfkn kk k ++ = + + + ==+= + == +有时当 时设 所以由归纳法可知 ( ) ( )⋯ �� ��� �� ��� .2.1 1 )( 2 = + =⋅⋅⋅ n nx x xfff n� . 17． )1(, 0,1 0,12)( 2 xfxx xx xf −    >− ≤+ = 求设 . 解：    >− ≤+ = 0,1 0,12)( 2 xx xx xf因为 所以    <− ≥− =    >−−− ≤−+− =− 1,2 1,23 01,1)1( 01,1)1(2)1( 22 xxx xx xx xx xf . 18． [ ] [ ])()(; 0, 0,)(; 0, 0,1)( 2 xf，gxgfxx xx xg xx xx xf 求设       >− ≤ = > ≤−− = . 解： [ ]    > ≤−− = 0)(),( 0)(,1)()( xgxg xgxg xgf∵ [ ] [ ] [ ]    >− ≤−− =∴ −=−−−=∴−=> −−=∴=≤ 0,1 0,1)( 11)()(,)(,0 1)(,)(,0 2 222 xx xx xgf xxxgfxxgx xxgfxxgx 时当 时当    >− ≤ = 0)(,)]([ 0)(),()]([ 2 xfxf xfxf xfg∵ 当    −<>−−= ≤≤−≤−−= =−−=≤ 1,01)( 01,01)( 1)(0 xxxf xxxf xxfx 时， 当 0)(0 >=> xxfx 时，      >− ≤≤−−− −<+− =∴ 0, 01,1 1,)1( )]([ 2 2 xx xx xx xfg . 19．下列函数中哪些是初等函数？ （1） )1ln( 2 +−= xxey x （2） ][xy = （3）    ≥+ < = 0,1 0, 2 xx xe y x （4） xxy = （5） 2sin −= xy （6） xy sgn= 解：由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所得到的 且可以用一个公式表示的函数统称为初等函数。据此定义，（1）和（4） 是初等函数，（2），（3），（5），（6）不是初等函数. 20．设有线性函数： bxaxfy +== )( （1） 若 x 表示产量，a,b 满足什么条件时， )(xfy = 可以为总成本 函数，并对 a,b 作出经济解释. （2） 若 )(xfy = 为总成本函数，当产量为 20 件时，总成本为 140 元，当产量为 40 件时，总成本为 180 元，求 a 和 b. （3） 若 x 表示价格，a,b 满足什么条件时， )(xfy = 可以为需求函 数，并解释 a,b 的经济意义. （4） 若 )(xfy = （x 为价格）为需求函数，求收益函数. （5） 若 x 表示价格，a,b 满足什么条件时， )(xfy = 可以为供给函 数，a,b 经济意义如何？ 解：（1）当 a>0,b>0 时， )(xfy = 可作为总成本函数，其中 a 称为 固定成本，它不和产量发生关系而必须支付的成本.bx 称为可变成本， 它是随产量变化而变化的成本，b 为产量（劳动）价格，或称单位可 变成本. （2）由题设得    ⋅+= ⋅+= 40180 20140 ba ba ,解之得    = = 2 100 b a . (3) 若 x 表示价格，则 0,0 <≥ ba 时， )(xfy = 可以为需求函数.a 为一常数，称为外生变量，与价格无关，自发性需求；b 也是常数， bx 是依存于价格 x 的需求，取负号表示需求与价格为负相关. (4) 若 bxaxfy +== )( 为需求函数，则收益函数 2)()()( bxaxxbxaxxfxR +=+=⋅= （6） 若 x 表示价格，当 0,0 >≥ ba 时， )(xfy = 可以为供给函数，其 经济意义为，在其条件不变的情况下，供给量随价格变动而发生同方 向变动，且 a 和 b 均为常数. 21.若某产品需求函数为Q=45-P,平均成本函数为 ,7525)( QQc += 求 该产品的利润函数及盈亏临界点. 解：由题设得，成本函数 7525)()( +=⋅= QQQcQc 由 Q=45-P 得 P=45-Q 155 075200)( 7520)7525()45()()()( 2 2 == =−+−= −+−=+−−=−=∴ ∗∗ QQ QQQL QQQQQQcQRQL 或解之得 即令 . 22.设供给函数为 P=-a+bQ。如果政府对生产的每一个单位征收 税金 T，说明供给函数发生的变化. 解：因为供给函数为 P=-a+bQ。若政府对生产的每一个单位征收 税金 T,这时的供给函数为 P=-a+bQ+T. 23. 某厂生产某种产品年产量为 10000 件，平均分若干批生产， 每批准备费为 200 元，每件年库存费为 10 元，设产品均匀销售，试 求存货成本（存货费与生产准备费之和）与批量 Q 的函数关系. 解：设存货成本为 T(Q),依题意，得 10 2 20010000)( ×+×= QQQT .