习题 一
1．略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1） A发生，B，C都不发生；
（2） A与B发生，C不发生；
（3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生；
（5） A，B，C都不发生；
（6） A，B，C不都发生；
（7） A，B，C至多有2个发生；
（8） A，B，C至少有2个发生.
【解】（1） A
（2） AB （3） ABC
（4） A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=
(5) = (6)
(7) BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪
(8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC
3.略.见教材习题参考答案
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（
）.
【解】 P（
）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]
=1[0.70.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：
（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？
（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？
【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)
=++=
7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？
【解】 p=
8.对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故
P（A1）==（）5 （亦可用独立性求解，下同）
（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
P（A2）==()5
(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1P(A1)=1()5
9.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n
方法
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简便得多.
（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，nm次取得次品，每次都有NM种取法，共有（NM）nm种取法，故
此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为，则取得m件正品的概率为
11.略.见教材习题参考答案.
12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？
【解】设A={发生一个部件强度太弱}
13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.
【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.
故
14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：
（1） 两粒都发芽的概率；
（2） 至少有一粒发芽的概率；
（3） 恰有一粒发芽的概率.
【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）
(1)
(2)
(3)
15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.
（1） 问正好在第6次停止的概率；
（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.
【解】（1） (2)
16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.
【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则
=0.32076
17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.
【解】
18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：
（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.
【解】 设A={下雨}，B={下雪}.
（1）
（2）
19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.
【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故
或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.
20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.
【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式
21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.
题21图 题22图
【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|>30.如图阴影部分所示.
22.从（0，1）中随机地取两个数，求：
（1） 两个数之和小于的概率；
（2） 两个数之积小于的概率.
【解】 设两数为x,y，则0乙反）
由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）
因此P(甲正>乙正)=
46.证明“确定的原则”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|
)≥P(B|
)，则P（A）≥P(B).
【证】由P（A|C）≥P(B|C),得
即有
同理由
得
故
47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.
【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则
其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1个.
显然n节车厢全空的概率是零，于是
故所求概率为
48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.
【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
由题知
则由贝叶斯公式知
50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？
【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2nr次，设n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B1，发现已空。把取2nr次火柴视作2nr重贝努里试验，则所求概率为
式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
（2） 前2nr1次取火柴，有n1次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自B1盒，故概率为
51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.
【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
以上两式相减得所求概率为
若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
.
52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（
+B）（A+B）（
+
）（A+
）}的值.
【解】因为（A∪B）∩（
∪
）=A
∪
B
（
∪B）∩（A∪
）=AB∪
所求
故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
ABC=(，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由
故或,按题设P（A）<,故P（A）=.
54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.
【解】 ①
②
故
故 ③
由A,B的独立性，及①、③式有
故
故 或（舍去）
即P（A）=.
55.随机地向半圆00,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)
解：因为
所以 .
习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
【解】
故所求分布律为
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：
（1） X的分布律；
（2） X的分布函数并作图；
(3)
.
【解】
故X的分布律为
X
0
1
2
P
（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=
当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=
当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1
故X的分布函数
(3)
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.
故X的分布律为
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
分布函数
4.（1） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=
，
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，
试确定常数a.
【解】（1） 由分布律的性质知
故
(2) 由分布律的性质知
即 .
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)
(1)
+
(2)
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有
即
利用泊松近似
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
故
所以 .
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
【解】（1） (2)
11.设P{X=k}=
, k=0,1,2
P{Y=m}=
, m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，试求P{Y≥1}.
【解】因为，故.
而
故得
即
从而
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
得
13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
【解】
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.
设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
(2) P(保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae|x|, ∞a时，F（x）=1
即分布函数
18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.
【解】X~U[2,5]，即
故所求概率为
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
【解】依题意知，即其密度函数为
该顾客未等到服务而离开的概率为
,即其分布律为
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.
（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？
（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则
若走第二条路，X~N（50，42），则
++
故走第二条路乘上火车的把握大些.
（2） 若X~N（40，102），则
若X~N（50，42），则
故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N（3，22），
（1） 求P{20;
(2) f(x)=
试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.
【解】（1） 由知
故
即密度函数为
当x≤0时
当x>0时
故其分布函数
(2) 由
得 b=1
即X的密度函数为
当x≤0时F（x）=0
当0
标准
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正态分布的上分位点，
（1）=0.01，求;
（2）=0.003，求，.
【解】（1）
即
即
故
（2） 由得
即
查表得
由得
即
查表得
28.设随机变量X的分布律为
X
2 1 0 1 3
Pk
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
求Y=X2的分布律.
【解】Y可取的值为0，1，4，9
故Y的分布律为
Y
0 1 4 9
Pk
1/5 7/30 1/5 11/30
29.设P{X=k}=()k, k=1,2,…,令
求随机变量X的函数Y的分布律.
【解】
30.设X~N（0，1）.
（1） 求Y=eX的概率密度；
（2） 求Y=2X2+1的概率密度；
（3） 求Y=｜X｜的概率密度.
【解】（1） 当y≤0时，
当y>0时，
故
(2)
当y≤1时
当y>1时
故
(3)
当y≤0时
当y>0时
故
31.设随机变量X~U（0,1），试求：
（1） Y=eX的分布函数及密度函数；
（2） Z=2lnX的分布函数及密度函数.
【解】（1）
故
当时
当10时，
即分布函数
故Z的密度函数为
32.设随机变量X的密度函数为
f(x)=
试求Y=sinX的密度函数.
【解】
当y≤0时，
当00）=1，故0<1e2X<1，即P（06,则P（X1时，
即
故
51.设随机变量X的密度函数为
fX(x)=
,
求Y=1
的密度函数fY(y).
【解】
故
52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.
（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）
【解】（1） 当t<0时，
当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有
即
即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。
（2）
53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{1P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考)
解： 依题意 ，，则
，
.
因为，即
，
所以有 ，即.
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
P(0黑,2红,2白)=
0
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
求二维随机变量（X，Y）在长方形域
内的概率.
【解】如图
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由
得 A=12
（2） 由定义，有
(3)
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}；
（3） 求P{X<1.5}；
（4） 求P{X+Y≤4}.
【解】（1） 由性质有
故
（2）
(3)
(4)
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
而
所以
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