基于MATLAB的最小二乘曲线拟合

! Q： China Science And 1_eChnol T及高新技术 基于 MATLAB的最小二乘曲线拟合 时 鑫 时 森 。何长征 1．北京环球信息应用开发中心 北京 100094；2．爱立信 (中国)通信有限公司 北京 100102 3．北京海天起点技术服务有限公司 北京 100026 【摘 要】本文主要介绍了最小二乘曲线拟合方法的基本思路，并通过编制MATLAB程序对测量数据进行了一阶拟合和二阶拟合，实 现了拟合多项式系数的求解。 【关键词】曲线拟合 最小二乘 多项式拟合 Least—Square Curve Fitting M ethod Based on M ATLAB ， SHI Xin ，SHI Sen ，HE Chang—zheng (1．BeOing Global Information Application and Development Center，Beijing 100094；2．Ericsson (China)Communications Company Ltd．，Beijing 100102；3．Beijing HT Horizon Technology Service Co，Ltd，Beijing 100026) Abstract：Least—Square curve fitting method was introduced in this paper，and the measured data was fitted with the MATLAB program，which realized solving the polynomial coefficient． Key words：Curve fitting，Least—Square，Polynomial fitting 1、引言 在工程科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。给定函数 的实验数据，需要用比较简单和合适的函数来逼近 (或拟合)实验 数据。逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合，常采用最；b--乘拟 合。用MATLAB对实验数据进行最d＼--乘拟合，能较准确地标记实 验数据点和绘出拟合曲线 。 2、最小二乘曲线拟合 曲线 拟合 问题 的数 学描述是 ，已知一 组 f二维 j数据 【 ，Y )． 1,2，⋯，n 互不相同．寻求一个函数 (曲线)Y=f(x)． 使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 线性最小二乘法是解决曲线拟合问题最常用的方法，基本思路 是 令 ／( ：口l ( )+a2r2(x)+···十口 ( ) (1) 其中 ( )) 。(m )是一组事先选定的线性无关的函数．{口 }：， 是一组 待定 系数 。寻 求系数 { j 使 得 与f(x )的距离 di(i：1,2，⋯． )的平方和最小。这种准则称为最／J~--乘准则，其求系 数 ) 的方法称为线性最小二乘拟合方法。 2．{系数{ } m 的求法 若记 J(a )=∑ =∑[／( )一Y ] 则 为 ，⋯， 的二次函数。由数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 (或高等数学)的极值理论， 达到最小的充分必要条件是 ，⋯， 满足云 ( -m)。于是得到求使 ‘，达到最小的 ⋯ 的方法是求解线性方程组 (称为法方程组) ∑。( )[∑ (t)一Y i=1 k=l ]=。 ． (，：1，．．．， )， ． 』一 '。'¨‘ ， 即求解线性方程组 [∑ 】=∑。(Xi k=l i=1 ) ， (『=1，⋯，f⋯fl1 (3) ld ，'， 1- 。。， J 若记 ) _ l ( )： )J⋯ =[口 ，’· ，n 】 ．y=( ，‘·‘，．y ) 则方程组 (3 J可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 RrRA=RrY (4) 由于当 ( )，⋯， ( )}线性无关时． 列满秩． 可逆 所以 方程组 (4 J有唯一解A 月)～R Y。 用 (1】作线性最：J~--乘拟合的误差通常考虑以下两种形式： 最小平方误差： 善 圳 最大偏差： 一厂( ){ 。 2．2函数组 { ( )}是 。的选取 面对一组数据 ，Y )．i=1,2，⋯，” 用线性最4＼--乘法作曲线 拟合时，首要的、也是关键的一步是恰当地选取1( )，一， ( )。如果 7 中国科技纵横 China Science &Technology 通过机理分析．能够知道 与x之间应该有什么样的函数关系．则 ‘( )，一， (x)容易确定。若无法知道Y与X之间的关系，通常可以将 数据( Y )，i=1—2--，”作图．直观地判断应该用什么样的曲线去作拟 合。人们常用的曲线有 (i)直线Y=a]x+a2； (ii)多项式 ：a]x · +a (一般m：2,3，不宜太高j； 在实际计算过程中 面对一组已知数据，到底用什么样的曲线 拟合最好，可以在直观判断的基础上，选几种曲线分别拟合．然后 比较．看哪条曲线的最小二乘指标 最小。 3、MATLAB程序实现 MATLAB是一个高级的数值分析处理与计算软件 ．求解矩阵 方程非常方便。MATLAB提供的polyfit函数用来计算多项式拟合系 数，其设定曲线拟合的目标是最小方差 即最／b--乘法 。 现有～测量数据文件 ”datafile” 如表 1所示： 观测时间 (S) 距离观测值 (m) 1 590929．0847472647 2 590929．807081 1 330 3 590930 5 1 27367502 4 590931 1 51 7140329 5 590931 87401 31 326 6 590932 59631 20832 7 590933 25 1 9327985 8 590933 9575533986 9 590934 71 31 740206 1O 590935 3354381 096 该数据文件第一列表示观测时间 (S)，第二列是表示距离观测 量 (m)，现要求解距离观测量与观测时间之间的函数关系。采用 MATLAB编写求解多项式拟合系数的程序清单如下： for fitnum=l：2 ％拟合阶数，可以根据需要设置 aa=load(’datafile )： ％加载测量数据文件 ％％ 拟合并计算拟合残差 [RowNum．ColNum]=size(aa)： para=polyfit faa f：．1J aa f： 2j，mnumj Y=polyval(para，aa《：．1))： dy=y-aa (：．2)： ％％ 将拟合结果输出 i：1 while (i<=RowNum) printf( ％20 8f％20．8f％20 8f 20 8f＼n ，aa(i．1)，aa (i，2) ．Y ( }，dy (ij J： i=j+1 end ％％ 将原始数据及拟合结果作图 plot(aa(：，1)，aa(．2)， O’，aa(：，1)．Y()， 一 ) ％％ 将拟合参数输出 if (fimum==1】 pr f a2=％20 8e＼n~--0／020．8e＼n＼n ． (2)2 ．para⋯ ) end lT及高新技术 ： China Science And'reclmolo if(fitnum==2) printf( a3=％20 8e＼n a2=％20 8e＼n al=％20 8e＼n ，para (3) ，para (2)．para (1))； end end 用 MATLAB程序对该测量数据进行 1阶和 2阶多项式拟合 拟 合结果如下： 一 阶拟合参数为a2：0．696 ／ ．。 ． ： 590928 4 ，拟合曲线为 v=口． + ．即 v=O．696 +590928 4，见图 1。 5．9o9垂xl ⋯ 所狲彳} 粜 激点 5．9093 缀螽鳆线 n 距 5∞ 9》 高 f 90。誊 j 鼙 ； } ，、5 909a 米 5．9093 _ 5 900 ， 5 9o0 一一i ⋯ 毽 瓣测时 <秒 ， 图1测量数据散点和1阶多项式拟合曲线 二阶拟合参数为c／3：一3．443E一6m／s d2=0．696m／s． a1=590928．4m ，拟合曲线为Y=a3x +n X+a ，即 Y=(一3．443E一6)x +0．696x+590928．4．见图2。 《 辩孽彗纛罐 鐾 0 # ⋯ 懿 攀 。㈣ 篓 i 骜l § 撼 蛰 0 §g瓣 ～ 5 9瓣3 誊¨ ⋯ 、 麓 簿赫 f棒} 图2测量数据散点和2阶多项式拟合曲线 由图 1和图2可见 ．测量数据散点与拟合曲线十分接近，拟合 的效果较为理想．这也进一步说明了该拟合方法是准确与可行的。 4、结语 基于 MATLAB的最4＼----乘曲线拟合方法简明适用．通过MATLAB 实现了测量数据的最小二乘曲线拟合，在有限的测量数据条件下精确 描述了观测量的特性．为实验研究和工程应用提供了依据。 参考文献 【1】姜健飞，胡良剑，唐俭．数值分析及其ML&TLA_B实验【M]．北京： 科学出版社，2004． [2】何仁斌．MATLAB6工程计算及应用『M】．重庆：重庆大学出版 社．2001． [3】陈杰．MATLAB宝典【M】．北京：电子工业出版社，2007． (上接第 10页) 品ESR最大降低5 1 2％。 使用合理的烧结温度 1 300～1 350。C、新的烧结曲线可利用产品 杂质挥发提高孔隙度 增强产品的纯度和机械强度。改变钽块的长 宽厚的参数使压制密度适当减小．产品钽丝与钽粉接触良好 ，产品 ESR减小，可产品空隙度也降低 ，MnO2充填困难．容量引出下降较 大。现阶段钽粉厂家提供的钽粉在团化粒型．粒度分布参数都制约 着生产 实际生产中阳极块的设计既要保证阳极块的孔隙度也要保 证阳极块与钽丝的接触密度。 4．2工艺条件的影响 钽电解电容器的被膜生产工艺对ESR值影响最大是被覆Mn02层 要得到低电阻的 口型 MnO2和降低 Mn02与 Ta20s层接触电阻以及 MnO2与石墨层的接触电阻．石墨层与银层的接触电阻。 通过反复试验 ．确定最佳的被膜工艺为 选择合适的被膜分解 温度，水气环境得到低电阻的 0型 MnO2 新的工艺顺序为：⋯再 形成一硝酸锰 1 64(比重J一热分解一石墨 40％ (体积比)一硝 酸锰 1 1 5(比重)一再形成一石墨 3O％ (体积比)一Ag 在石墨 中加入分散剂提高石墨颗粒的悬浮程度 ．提高石墨溶液的乳化度． 降低 MnO 与 Ta：0s层 MnO 与石墨层及石墨层与银层的接触电阻， 增大各层之间得结合强度。 (1)应用新工艺，实验中选取 47 u F／16V规格片式产品各 1DO 只，按照对比方案进行试验．被覆工艺完成后对产品外层银层与石 墨层、石墨层与MnO 进行剥离力测试并对产品外观进行金相扫描 ， 与常规工艺比较．结果如图4所示。 采用新工艺制造的产品得到的 MnO 层，石墨层更连续 ．颗粒 更均匀，各层间结合更加紧密 使得石墨层．二氧化锰层，银层中 相互渗透扩大了彼此间的接触面积，增强了石墨层、二氧化锰层的 接触强度．减小了接触电阻 从而为降低了产品等效串联电阻 (ESR) 打下基础 ．如图 5所示。 对照组 (常规工艺) 实验组 (改进工艺) 图 5 被覆工艺完成后产品石墨层与MnOz的金相扫描 Figure 5 SEM picture of carbon and Mn02 layer (2)实验中各随机抽取 10只实验成品测量．并选用AVX公 司相同规格产品做参照 按照电子行业标准 SJ52283／1—96分别在 1OOHz和 1OOOHz频率下测试数据。 依据实验所得数据．绘制成柱状分布图 (X轴为抽测个数 ，Y 轴为等效串联电阻 ESR值)如图6、7所示 ： 产 抽 测 数 — 日 6 画 ——— 一 F~Lte 6 EN：I寸叩 m凳ued at 荆 af 1Q3"4z ， mQ 图7 1∞ ，测勤 ~品瞬 值 单 Q Foxe 7郾 姆 o．fve rrms．md at 1嘲州 d 1 ，mQ 从图 6、7结果可以看出，本次研究通过改变硝酸锰浓度．浸 渍石墨的次数、浓度、参杂，被覆二氧化锰与石墨的浸渍顺序等相 关工艺方法．使得最外层石墨层 二氧化锰层、银层中相互渗透扩 大了彼此间的接触面积．增强了石墨层、二氧化锰层．银层间的附 着强度．减小了接触电阻．从而降低了产品等效串联电阻 ESR．通 过研究找到了生产中降低等效串联电阻的新工艺方法。 5、结语 本次研究，采用新工艺制造的产品在 1 00Hz测量 ESR平均数值 从 3．566 mn下降到2．088 Illn，lKHz测量 ESR平均数值从 29．322 m Q下降到 9．089 illn，平均下降了 146．69％，与国际高端产品相比分 另0相差了9．2％、6．931％。 参考文献 『11天津大学无线电元件教研室，电容器 北京技术标准出版杜1989． f21陈国光．电解电容器fMj．西安：西安交通大学出版社，1989． 【3】揣荣岩等．固体钽电解电容器频率特性研究U]．沈阳工业大学 学报，2004，26(5)：558—560． 【4】高淑琴．钽电解电容器的低m&4qj]．NEC技报，1994，10 [5】蒋春强等．高频低ESR钽电解电容器制造技术的实验研究U】． 电子工艺技术，2008，1：24—27． China Science & Technology 中国科技纵横 8