一、不定积分的概念二、不定积分的性质基本积分公式三、换元积分法第一节不定积分第三章一元函数积分学一、不定积分的概念定义3-1若在某区间上,则称 为 在该区间上的一个原函数．例（为任意常数）分析（2）若和都是的原函数,则（为任意常数）结论（1）若，则对于任意常数，都有（3）为原函数的全体问
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(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？(3)原函数的全体如何
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示?任意常数积分号被积函数被积表达式定义3-2若函数是的一个原函数,则原函数的全体 称为 的不定积分.记为 .积分变量由此可知,求不定积分只需求出一个原函数,再加上任意常数.例3-1：求经过点(1,3)，且其切线的斜率为3x2的曲线方程解：因为(x3)=3x23x2dx=x3+C得曲线族y=x3+C将x=1,y=3代入得C=2,故所求曲线为:y=x3+2不定积分的几何意义是积分曲线 上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线族． 在点 处有相同的斜率 ，即这些切线互相平行．二、不定积分的性质和基本积分公式或性质3-1或性质3-2性质3-3性质3-4基本积分公式(3)(4)例3-2求解例3-3:求解:例3-4（1）求解例3-4（2）求解(4)例3-4（3）求解例求解但是解决方法利用复合函数，设置中间变量.问题的提出三、换元积分法因为第一类换元法(凑微分法)注意使用此公式的关键在于定理3-1则有换元公式证明解例3-5（1）求例3-5（2）求解对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量例3-6求解例求解例求解例3-7求解同理可得例3-8求解例3-9：sin2xcos3xdx=sin2xcos2xd(sinx)=sin2x(1-sin2x)dsinx=1/3sin3x-1/5sin5x+C例3-10：sin2xdx=(1-cos2x)/2dx=x/2-sin2x/4+C例3-11sin6x·cos2xdx=1/2(sin8x+sin4x)dx=-1/16·cos8x-1/8·cos4x+C解法1例3-12求解法2解法3凑微分常见的类型第一类换元法是通过变量替换将积分第二类换元法是通过变量将积分2．第二类换元法 设 单调、可导，且 ，则有例3-13求解令对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称根式代换.例3-14求解令若被积函数中含有时,可采用三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换.三角代换常有下列规律可令可令可令解设例3-15求解令例3-16求解令例3-17求例3-18：求解:令x=1/u解令例3-19求作业：P79，习题三，1-2
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