现代控制理论基础第七章

null第七章 非线性系统引论第七章 非线性系统引论非线性控制学科涉及非线性控制系统的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和设计问题，这种控制系统至少含有一个非线性元部件。对于分析问题，我们假定已设计好某个非线性闭环系统，其目的是想确定该系统的特性。对于设计问题，我们给出某个受控非线性装置以及对闭环系统特性的一些要求，其任务是要建造一控制器，以便使该系统满足所要求的特性。当然，设计问题和分析问题在实际上是不能截然分开的，因为非线性控制系统的设计往往包含分析和设计的交互过程。7.1 概 述7.1 概 述7.1.1 非线性控制的理由 一、改善现有控制系统 线性控制方法所依靠的关键假设是当系统在小范围运行时的线性。当需要大范围运行时，由于系统中存在的非线性得不到适当的补偿，使得线性控制器很可能性能低下，或者产生不稳定。另一方面，非线性控制器则可能直接处理大范围运行时出现的非线性。 二、严重非线性分析 线性控制的另一假设是系统模型实际上能够被线性化。然而，控制系统中存在许多非线性，其不连续特性不允许进行线性近似。这些所谓“强非线性”（hard nonlinearities）包括哥氏摩擦、饱和、死区、啮合间隙合磁滞等，在控制 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 中经常碰到。这些非线性的作用不能由线性方法得到，而必须发展非线性技术，以用来预测存在这些固有非线性时系统的特性。因为这些非线性往往会引起系统出现不合需要的特性（如不稳定性或7.1 概 述7.1 概 述伪极限环等），所以它们的作用必须加以预测并适当地补偿。 三、处理模型不确定性 在设计线性控制器时，通常需要假定系统模型的参数应当是已知的。但是，许多控制问题含有非线性的模型参数。这可能是由于参数随时间而缓慢变化，或者是由于参数的突然变化。基于不精确或失效的模型参数值的线性控制器 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出明显的特性恶化，甚至产生不稳定。可以有意地把非线性引入控制系统的控制器部分，以便能够承受模型的不确定性。鲁棒控制器和自适应控制器便是这样的非线性控制器。 四、设计简便 好的非线性控制设计可能要比线性控制设计简单而又直观。这种先验的似非而是的结果来源于这一事实：非线性控制器的设计往往扎根于对象的物理特性中。如单摆的稳定性基于下述事实：该机械系统的全部机械能逐渐被各种摩擦力（如铰链摩擦力）所消耗；因此，单摆在某个最小能量位置趋于停止。7.1 概 述7.1 概 述可能还有应用非线性技术的其它相关或非相关的理由，例如，价格和性能的最优性。在工业控制中，如果把有关线性技术推广去控制具有明显非线性的高级机器，那么可能导致非常昂贵和漫长的开发周期；对于这种情况，控制律（Control code）几乎不能提供稳定性或性能保证，而且极难推广到类似的而又不同的应用。线性控制可能需要高质量的驱动器和传感器，以便在规定的操作范围内产生线性特性，而非线性控制可以允许采用不太贵的具有非线性特性的元部件。关于性能最优，我们可以引用bang-bang控制器来说明。该控制器能产生快速响应，但本质上是非线性的。7.1 概 述7.1 概 述7.1.2 非线性系统特性 一、非线性 非线性可分为固有（自然）非线性和外加（人为）非线性。固有非线性自然地源于系统的硬件和运动。固有非线性的例子包括旋转运动向心力和接触面之间的哥氏摩擦力等。这种非线性往往具有不良的作用，控制系统必须对非线性加以适当补偿。另一方面，外加非线性是由设计者人为地引入系统的。诸如自适应控制律和bang-bang最优控制律等非线性控制律是外加非线性的典型例子。 也可以根据数学特性把非线性分为连续非线性和断续非线性。由于断续非线性不能由线性函数局部逼近，因此又把它称为“强”非线性。当控制系统在小范围运行和大范围运行时，通常都能发现强非线性，诸如齿隙、磁滞和静摩擦等。对于某个小范围运行的控制系统，到底应该把它看作非线性或者线性，取决于强非线性的量级及其对系统特性的影响程度。7.1 概 述7.1 概 述二、线性系统 线性控制理论主要涉及线性定常（LTI）控制系统的研究，其形式为 式中，x为状态向量，A为系统矩阵。线性定常系统有如下性质： 1. 如果一个线性系统的A为非奇异矩阵，那么，该系统具有唯一的平衡点； 2. 如果A的所有特征值均具有负实部，那么，该平衡点是稳定的，而不管其初始条件如何； 3. 线性系统的暂态响应是由系统的各自然振荡模态组成的，而且其通解能够通过解析方法求得； 4. 当出现外部输入u(t)时，即具有 形式时，该系统响应具有许多有趣的特性。首先，它满足叠加原理。其次，系统(7-1-1)的渐进稳定性蕴涵着在u时系统的有界输入有界输出稳定性。再次，正弦输入产生同频率正弦输出。7.1 概 述7.1 概 述三、非线性系统特性举例 然而，非线性系统的性能却要复杂得多。由于缺乏线性及其相关得叠加特性，非线性系统对外部输入得响应与线性系统大不相同，下例说明了这一点。 例7-1-1 某台水下车体（机器人）运动得简化模型可写成 式中，v为车体速度，u为控制输入（由推进器提供得推力）。非线性|v|v对应于典型的“平方律”阻力。 假定我们先加上一个单位阶跃输入推力u，经5s后改为一个负单位阶跃输入。此系统的响应绘于图7-1-1。从图可见，系统对正单位阶跃响应的调整要比对后续负单位阶跃响应快得多。这可从直观上加以解释：它反映了高速时的“视在阻尼”系数要比低速时大。7.1 概 述7.1 概 述 图7-1-1 对单位阶跃输入的响应 图7-1-2 对幅度为10的阶跃响应7.1 概 述7.1 概 述假定我们现在用较大的阶跃（例如，幅度为10）来重复上述实验。可以预期，对正阶跃和负阶跃的响应调整时间之间的差别更为明显。如图7-1-2所示。此外，第二次实验中第一个阶跃响应的设定速度vs不是如线性系统所应有的那样为第一次实验中第一个阶跃响应设定速度的10倍。这也可由下式从直觉上加以理解： u＝1  0＋|vs|vs＝1  vs＝1 如果这种水下车体是在一个大的动态范围内运动，并不断地改变速度，就像典型的遥控水下车那样，那么，对这种非线性特性的仔细了解和有效控制就显得特别重要。7.1 概 述7.1 概 述四、某些常见非线性系统特性 1. 多平衡点 非线性系统往往具有多个平衡点。可以从下面的简单例子看出。 例7-1-2 一阶系统 考虑系统 其初始条件为x(0)＝x0。它的线性化为 此线性方程的解为x(t)＝x0e－t，如图7-1-3(a)所示。图中曲线对应于不同的初始条件。该线性系统在x＝0处，显然具有一个唯一的平衡点。 与此相反，对方程dx/(－x＋x2)＝dt积分，可求得非线性动态方程(7-1-4)的实际响应：7.1 概 述7.1 概 述 图7-1-3(a) 线性化系统 图7-1-3(b)非线性系统7.1 概 述7.1 概 述对各种初始条件，其响应曲线如图7-1-3(b)所示。本非线性系统具有两个平衡点，即x＝0和x＝1，而且它的品质特性强烈地取决于其初始条件。 运动稳定性问题也可通过上例来讨论。对于线性化系统，其稳定性具有如下特点：对于任何初始条件，其运动总是收敛于平衡点x＝0。但是，对于实际非线性系统，以x0<1起动的运动确实收敛于平衡点x＝0，而以x0>1起动的运动却趋向无穷大（实际上，在有限时间内它即趋向无穷大，这是一种叫做有限逃逸时间现象）。这意味着，非线性系统的稳定性可能取决于初始条件。 当存在有界外部输入时，稳定性可能取决于该输入值。这种输入相关性可由所谓双线性系统 来阐明。如果输入u选为－1，那么状态x就收敛于0。如果u ＝1，那么|x|趋向于无穷大。7.1 概 述7.1 概 述2. 极限环 非线性系统能够在没有外激励时产生固定幅值和固定周期的振荡。这种振荡叫做极限环(limit cycle)或自激振荡。这一重要现象可以很容易地由著名的振荡器动力学来说明。它是由荷兰电气工程师B. 范德堡(Van der Pol)于20世纪20年代首先研究的。 例7-1-3 范德堡方程 二阶非线性微分方程式 式中，m、c和k为正常数。这就是著名的范德堡方程。可以认为，它描述一个含有相关阻尼系数2c(x2－1)的质量-弹簧-阻尼器系统，或者描述一个含有非线性电阻的RLC电路。当x取大值时，阻尼系数为正，此阻尼器从系统吸收能量。这表明系统运动趋向收敛。但是，当x取小值时，阻尼系数为负，阻尼器把能量加至系统。这暗示系统运动趋向发散。7.1 概 述7.1 概 述由此可见，由于非线性阻尼随x变化，所以系统运动可能既不无限增长，也不衰减到零。实际上，系统运动显示出持续振荡而与初始条件无关，如图7-1-4所示。这个所谓极限环借助于阻尼项周期性地把能量释放至环境和从环境吸收能量，以维持其振荡。这是与守恒的质量-弹簧系统的情况相反的，后者在振荡期间不与环境交换能量。 当然，对于临界稳定线性系统（如没有阻尼的质量-弹簧系统）或对于正弦输入响应，线性系统也能产生持续振荡。不过非线性系统中的极限环与线性振荡在根本上有许多不同之处。首先，极限环的自维持激励的幅度与初始条件无关，如图7-1-4所示；而临界稳定线性系统的振荡幅度由初始条件决定。其次，临界稳定线性系统对系统参数变化十分敏感，参数稍微变化可能导致稳定收敛或者不稳定；而极限环不易受参数变化影响。7.1 概 述7.1 概 述 图7-1-4 范德堡振荡器的响应7.1 概 述7.1 概 述3. 分歧 当非线性系统的参数发生变化时，其平衡点的稳定性也可能变化（就像线性系统那样），而且可能有许多平衡点。这些使系统运动品质特性发生变化的参数值，称为临界值或分歧值。这种分歧(bifurcation)现象，即参数的量变导致系统特性的质变，是分歧理论研究的课题。 例如，一柱香（或者烟囱和香烟）上升的烟雾，由于它比周围空气要轻，所以起初它加速向上，但当超过某个临界速度时，它突然变为漩流。让我们更如实地考虑一个所谓无阻尼达芬(Duffing)方程 描述的系统。我们能够以参数a为函数画出平衡点。当a由正变负时，一个平衡点分裂为三个点（xe＝0， ），如图7-1-5(a)所示。这表示系统动态特性的质变，而且a＝0为一临界分歧值。这类分歧因其平衡点形状而得名为音叉分歧，如图7-1-5(a)所示。7.1 概 述7.1 概 述 图7-1-5(a) 音叉分歧 图7-1-5(a) 霍普弗分歧7.1 概 述7.1 概 述另一类分歧涉及参数变化时出现极限环的情况。在这种情况下，一对复数共轭特征值s1＝γ＋jω， s2＝γ－jω从左半平面越过右半平面，而且不稳定系统的响应发散为一极限环。图7-1-5(b)画出这个典型的系统状态轨迹（状态x为和 ）随参数a变化而变化的情况。这类分歧称为霍普弗(Hopf)分歧。 4. 混沌 对于稳定线性系统，初始条件间的较小差别只能引起输出间的微小差别。然而，非线性系统却能表现出一种称为混沌(chaos)的现象。我们用混沌来表明系统的输出对初始条件极为敏感这一现象。混沌的主要特点是系统输出的不可预见性。即使我们具有非线性系统的准确模型和非常准确的计算机，长期运行时系统的响应仍然无法很好地预测。 必须区别混沌运动与随机运动。对于随机运动，其系统模型或系统输入含有不确定性，导致系统输出随时间变化无法准确地预测。然而对于混沌运动，其研究的问题是确定性的。7.1 概 述7.1 概 述作为混沌特性的一个例子，让我们考虑简单的非线性系统 它可能表示一个承受大的弹性挠曲和小阻尼的正弦受迫运动的机械结构。图7-1-6表示出该系统对应于两个几乎相同的初始条件时的响应，这两个初始条件为x(0)＝3， ＝4（图中对应于粗实线）和x(0)＝3.01， ＝4.01（图中对应于细实线）。由于x5项的非线性较强，经过一段时间后，这两个响应大不相同。 大多数混沌出现在强非线性中。这意味着，对于一个给定的系统，如果其初始条件或外部输入引起系统运行于高度非线性区域，那么，产生混沌的可能性就会增大。线性系统不可能出现混沌。对于某个任意幅度的正弦输入，其线性系统响应总是同频正弦曲线。与此相反，随着初始条件和输入信号幅度的不同，一个给定非线性系统的输出可能表现出正弦的、周期的或者混沌的特性。7.1 概 述7.1 概 述 图7-1-6 某非线性的浑沌特性7.1 概 述7.1 概 述在反馈控制方面，知道非线性系统何时将变为混沌模式（以便防止它）以及当转为混沌模式时如何退出混沌，自然是令人感兴趣的问题。 5. 其它特性 其它感兴趣的特性，诸如跳跃共振、次谐波振荡、异步抑制和自由振动的频-幅相关特性等，在研究某些系统时也可能出现。 综上所述，对非线性系统的分析要困难得多。在数学上，这反映两个方面得问题。首先，与线性方程不同，非线性方程一般不能通过解析求解，因而很难对非线性系统的特性有个全面的理解。其次，象拉普拉斯变换和傅立叶变换这类强有力的数学工具，不适用于非线性系统。 鉴于这些原因，既没有预测非线性系统特性的系统工具，也没有设计非线性控制系统的系统方法。代之的是，可以列出包括许多强有力的分析和设计工具的清单，但是其中每一工具仅适用于某些具体类型的非线性控制问题。7.2 非线性系统分析7.2 非线性系统分析研究非线性分析方法是很重要的。首先，理论分析通常是探求系统特性的最经济的方法。第二，仿真在非线性控制中固然十分重要，但它必须由理论来指导。对非线性系统的盲目仿真很可能得不到什么好结果，甚至可能误入歧途。当取决于初始条件和输入的非线性系统显示出很丰富的特性时，这一点更显得正确。第三，非线性控制器的设计总是以分析方法为基础的，所以不首先研究分析工具而想掌握设计方法，这几乎是行不通的。第四，分析工具还允许我们在作出控制设计之后对该设计进行评价，而且当出现不合适的性能时，还可能对修改控制设计指明方向。 还没有设计出一种对所有非线性控制系统都通用的分析方法，对此不应感到惊奇。频域法不适用于非线性系统。 针对非线性控制系统分析遇到的困难，已作出重大努力为这种分析开发出适用的理论工具。已经提出许多非线性控制系统分析的方法，下面扼要地叙述其中的一些方法。7.2 非线性系统分析7.2 非线性系统分析一、相平面分析 相平面分析是一种研究二阶非线性系统的图解法。它的基本思想是，通过作图方法来求解二阶微分方程，而不是寻求它的解析解。其结果是一簇在二维平面（称为相平面）上的系统轨迹，从而使我们能够直观地观察系统的运动方式，相平面分析具有许多重要的优点，而其主要缺点在于它只适用于较易用二阶动态方程逼近的系统。由于这种方法的图示性，因而根据图形能直观地了解非线性对系统的影响。 二、李亚普诺夫理论 李亚普诺夫基本理论包括由李亚普诺夫提出的两种方法，即间接法和直接法。间接法（或线性化方法）指出，在平衡点附近，一个非线性系统的稳定特性基本上与其线性化逼近的稳定特性相同。这种方法成为把线性控制用于含有固有非线性的物理系统的理论根据。直接法是非线性系统分析的一种强有力的工具，因此，所谓李亚普诺夫分析实际上通常就指直接法。7.2 非线性系统分析7.2 非线性系统分析直接法是从机械系统的相关能量概念归纳出来的，即如果一个机械系统运动的总机械能一直随时间减少，那么该运动就是稳定的。当用直接法分析非线性系统的稳定性时，其想法在于为该系统构造一个标量类能量函数（李亚普诺夫函数），进而看一看这一函数是否是下降的。这种方法的功能在于其普遍性，它适用于任何控制系统，这些控制系统可以是时变的或定常的。另一方面，这种方法的局限性在于它往往很难为给定系统求得一个李亚普诺夫函数。 虽然李亚普诺夫直接法原来只是一种稳定性分析方法，但可把它用于非线性控制的其它方面。一个重要的应用是非线性控制器的设计。其想法是设法建立系统状态的某个标量正定函数，然后选择一个控制律使得该函数下降。这样设计出的非线性控制系统将确保稳定。这种设计方法已被用于解决许多复杂的设计问题，譬如机器人学和自适应控制问题。直接法也可用于估计控制系统的性能和研究其鲁棒性。7.2 非线性系统分析7.2 非线性系统分析三、描述函数 描述函数法是一种研究非线性系统的近似方法。该方法的基本思想是：以线性“等价”来逼近非线性控制系统中的非线性部件，然后应用频域方法来分析得到的系统。与相平面法不同，描述函数法不限于二阶系统。它也不像李亚普诺夫方法那样，对具体系统的可适用性要视对李亚普诺夫函数的试探搜索成功与否而定，而描述函数法只要满足某些易于校核的条件就可以直接应用。 描述函数法主要用于预测非线性系统的极限环。其它应用包括预测次谐波的发生以及测定系统对正弦激励信号的响应。此法具有许多优点。首先，它能够用同样的简捷方法处理低阶和高阶系统。其次，由于其与线性系统的时域分析的相似性，因而它在概念上是简单的，而且在实际上是令人感兴趣的，它能使用户获得对控制系统的物理的和工程方面的深入理解。7.2 非线性系统分析7.2 非线性系统分析再次，它能够毫不困难地处理经常在控制系统中发现的“强非线性”。于是，它成为处理非线性控制分析与设计问题的重要工具。这种方法的缺点与其近似特性有关，包括出现各种不精确预测的可能性（如果一定的条件未能满足，那么很可能作出错误的预测）以及对采用此法的系统的种种限制（例如，它很难用于处理具有多重非线性的系统）。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述非线性控制系统的分析是在控制系统已经设计好的情况下，研究系统的性能。这里我们讨论非线性系统设计所涉及的一些普遍性的问题，尤其强调非线性与线性控制设计问题的区别。 控制设计的目标可以陈述为：给定一个受控的物理系统以及期望的性能指标，构造一个反馈控制律，使系统闭环后表现出期望的性能。我们根据这一设计目标来讨论几个关键问题。首先，定义非线性控制问题的两种类型：非线性调节和非线性跟踪。其次，讨论非线性系统期望的性能指标。然后，概述在构造非线性控制器时碰到的几个基本问题。最后，简要评述设计非线性控制器已有的一些主要方法。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述一、非线性控制问题 当控制系统的任务涉及大范围与（或）高速度的运动控制时，非线性的影响在动态特性中将不可忽略，因而有必要采用非线性控制器来达到期望的性能要求。一般而言，可以将控制系统的任务划分为两大类：稳定（或称调节）与跟踪（或称伺服）。稳定问题就是要设计一个控制系统，称为稳定器（或调节器），使得闭环系统的状态稳定在一个平衡点的周围。跟踪问题的设计目标则是要构造一个控制器，称为跟踪器，使得闭环系统的输出跟踪一个给定的时变轨迹。 1. 稳定问题 渐进稳定问题：给定一个由下列方程描述的非线性动态系统 求控制律u使得从Ω中任何区域出发的状态x当t→∞时趋近于0。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述若控制律直接依赖于测量信号，称之为静态控制律。若控制律通过一个微分方程依赖于测量信号，则称之为动态控制律，即控制律中含有动态特性。 注意在上述定义中，允许区域Ω的范围很大，否则用线性控制的方法就足以解决稳定性问题。同时，若控制任务的目标是驱使状态x到一个非零值设定点xd，则只要取x－xd为状态，就可将问题转化为一个零值设定点的调节问题。 例7-3-1 单摆的稳定 考虑图7-3-1(a)中的单摆，其动态方程为 假定控制任务是使单摆从一个很大的初始角，例如θ(0)＝60O开始，回到垂直向上的位置停下。稳定器的一种选择是7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述 图7-3-1(a) 图7-3-1(b)7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述其中，表示正常数。该控制器使闭环系统具有下面全局稳定的动态特性： 可见受控单摆显现出类似于稳定的质量-弹簧-阻尼系统的特性。这里控制器式(7-3-2)由起稳定作用的P. D. （比例加微分）反馈部分与起补偿重力影响作用的前馈部分组成。另一种很有意义的控制器的选择是 它将产生下面稳定的闭环动态特性 这相当于人为地逆转重力场的方向并增加了粘滞阻尼。 这个例子说明，反馈与前馈控制的作用相当于是将对象的动态特性修改成所希望的形式。 然而，许多非线性稳定问题的求解并非都是如此轻而易举。图7-3-1(b)所示的倒摆就是这样的例子，不难证明其动态方程为7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述 （其中假定小车的质量不能忽略）。一个特别有意思的任务是设计一个控制器，使倒摆从横向导轨中间垂直向下的位置回到垂直向上位置停下，并保持小车的横向位置不变。严格地求解这个看似简单的非线性控制问题，却是出人意料地困难。这是由于系统有两个自由度，而控制输入却只有一个。 2. 跟踪问题 渐进跟踪问题：给定用下列方程描述的非线性动态系统 以及期望的输出轨迹yd，求输入控制律u，使得从区域Ω中的任意初态开始，跟踪误差y(t)－yd(t)趋向0，而整个状态保持有界。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述从实践的观点，可以要求事实上维持“合理地”有界，尤其是要在系统模型成立的范围内。这一点可以通过解析方法，或通过仿真方法来验证。 若有适当的初态能使闭环系统的跟踪误差恒为0，即 y(t)≡yd(t) ， t≥0 即称该系统能实现理想跟踪。渐进跟踪意味着渐进地达到理想跟踪。类似地可以定义指数收敛跟踪。 在后面，除非特别声明，我们均作一个不太强的假定，即期望轨迹yd(t)和它的直到足够高阶（通常等于系统的阶数）导数都是连续、有界的。我们还假定，在线控制计算可以直接利用yd(t)及其各阶导数。 然而，非最小相位系统（非线性非最小相位系统有自己的精确定义）则不能实现理想跟踪和渐进跟踪，下面的例子可以说明这个问题。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述例7-3-2 非最小相位线性系统的跟踪控制 考察线性系统 该系统在s＝1有一个零点，故为非最小相位。假定理想跟踪可以实现，即y(t)≡yd(t) ， t≥0 ，于是输入应满足 上式代表了一个不稳定的动态系统，故u按指数发散。注意在上述动态系统中有一个极点与原系统中的不稳定零点严格重合，也就是说，非最小相位系统的理想跟踪只有当控制输入为无穷大时方能实现。将u写成 我们看出理想跟踪的控制器其实就是求对象动力学特性的逆特性。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述非最小相位线性系统没有理想跟踪的能力，其根源在于它的阶跃响应中固有的“欠调”(undershooting)倾向。因此，对于非最小相位系统来说，控制设计的目标不应当是理想跟踪或渐进跟踪，而应当满足于，例如，有界误差的跟踪。即只要在特别关注的那一段期望轨迹上能够获得较小的跟踪误差。 3. 稳定问题与跟踪问题之间的关系 一般而言，求解跟踪问题比求解稳定问题要困难得多，因为在跟踪问题中控制器不仅要保持整个状态得稳定，而且还要驱使系统的输出逼近期望的输出。不过在理论上，跟踪设计与稳定设计常常是互相联系的。例如要设计下列对象的跟踪器 使e(t)＝y(t)－yd(t)趋于0，就等效于使下面系统渐进稳定的问题 其状态分量为e与 。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述另一方面，稳定问题可以认为是跟踪问题的一个特例，即所要跟踪的期望轨迹是一个常量。例如，在模型参考控制中，通过引入一个参考模型来对所提供的设定值进行滤波，并产生一个时变输出来作为跟踪控制系统的理想响应，从而将一个设定值调节问题转化为跟踪问题。 二、期望性能的规定 非线性系统的性能指标一般无法系统地规定，因而，我们只能在所关注的运行区域内寻找非线性系统期望性能的定性指标。为了确定是否满足这些指标，计算机仿真常常是对解析工具的一种重要补充。关于非线性系统的期望性能，设计者可以考虑下列特性： 1. 稳定性：必须确保标称模型(nominal model)（即用来进行设计的模型）在局部或全局意义上的稳定性。稳定区域和收敛性也应加以注意。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述2. 响应精度与速度：它们可以通过运行区域中的某些“典型”运动轨迹来加以考察。对于某些典型的系统，适当的控制器设计能保证与期望轨迹无关的一致跟踪精度。 3. 鲁棒性：它是指系统对设计中未予考虑的效应，如干扰、测量噪声、未建模动态特性等的敏感性。系统应该有能力克服这些被忽略的效应的影响而仍能很好地执行有关任务。 4. 造价：一个控制系统的造价取决于其实施中所需用的执行机构、传感器与计算机的数量和类型。因此在选择执行机构、传感器及控制器的复杂程度（它影响对计算的要求）时，需要加以通盘考虑并使之适合于特定的应用。 这里有几点需要说明。首先，稳定性并不意味着有能力承受哪怕幅度很小然而持续的干扰。其理由是，非线性系统的稳定性的定义是与初始条件有关的，而只有短暂的干扰才能转换为初始条件。例如，一个稳定的控制系统可以在狂风的干扰下确保飞机的稳定性，而对于即使振幅不大的剪切风却无能为力。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述这种情形与线性控制系统不同，在线性控制系统中，稳定性即意味着能够承受有界干扰的能力（假定系统却是处于线性区）。持续干扰对非线性系统性能的影响用鲁棒性的概念来表达。第二点，上述各种品质在一定程度上是互相矛盾的，要获得一个好的控制系统，就必须在稳定性/鲁棒性、稳定性/控制性能、造价/控制性能等之间进行有效的协调和折中。 三、构造非线性控制器的若干问题 我们现在简述有关控制器设计的几个方面的问题。 1. 控制器设计步骤 给定受控物理系统，控制器设计通常按下列 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 步骤进行，其中可能会需要一定的循环反复： (1) 规定期望性能，选择执行机构与传感器； (2) 用微分方程建立物理对象的模型； (3) 设计系统的控制律；7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述(4) 对所设计的控制系统进行分析和仿真； (5) 硬件实现控制系统。 在这一过程中，经验、创造性及工程上的直觉判断是十分重要的。同时要尽可能地将控制器的设计与对象的设计结合起来。有时候，执行机构与传感器的增添或重新部署可能使一个本来难以解决的非线性控制问题变得容易解决。 2. 非线性系统的建模 从根本上说，建模就是为受控的物理系统建立一种数学描述（通常是微分方程）的过程。这里需要指出两点。首先，要充分利用对系统动态特性及控制任务的理解来为控制设计建立一个容易处理同时又足够精确的模型。注意，模型并非总是越精确越好，因为过分精确的模型可能会使控制设计和分析增加不必要的复杂性，并需要过大的计算量。这里关键是要在所关注的运行范围内，在系统的动态方程中保留那些起主要作用的因素，而剔除掉那些不重要的因素。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述第二点，建模并不只限于为具体系统建立一个标称模型，还应当提供有关模型不确定性的特性描述，它对于鲁棒性设计、自适应设计都是十分有用的，即使只是为了仿真，同样需要这样的特性描述。 模型的不确定性就是模型与真实物理系统之间的差别。有关参数的不确定性称为参数不确定性，而其它则称为非参数不确定性。例如，在受控质量模型中 m的不确定性为参数不确定性，而被忽略的电动机动态特性、测量噪声、传感器动态特性则为非参数不确定性。参数不确定性常常很容易表示。例如，可能知道m为2kg与5kg之间的某个值。而要表示系统中的未建模动态特性则困难得多，它不像在线控制的情形可以用频域方法来系统地表示。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述3. 反馈与前馈 在非线性控制中，反馈的概念如同它在线性控制中一样对控制设计起着十分重要的作用。而前馈的重要性确比在线性控制中更为显著。前馈用来抵消已知干扰的影响以及在跟踪任务中提供控制作用的预报。在许多情况下，如果在控制律中不包含前馈作用，就无法稳定地控制一个非线性系统。前馈补偿要求对象一定要有一个模型（尽管这个模型并不一定要很精确）。 渐进跟踪控制通常要求有前馈控制，它的作用是提供实现要求的运动所需的控制力。许多跟踪控制器都可以写成下列形式或类似的形式 u＝前馈＋反馈 前馈部分的作用是试图提供必要的输入信号来跟踪给定运动轨迹以及抵消已知的干扰。反馈部分的作用则是使跟踪误差的动态特性稳定。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述作为应用前馈的一个例子，我们考虑在熟知的线性系统环境下跟踪控制器的设计（例如应用于x-y绘图仪这类装置）。这个讨论本身也是有意义的，因为在通常的线性控制教材中并不强调对时变轨迹的跟踪。 例7-3-3 线性系统的跟踪控制 考虑一个线性（能控、能观的）最小相位系统，其形如 A(s)y＝B(s)u (7-3-7) 式中 A(s)＝a0＋a1s＋…＋an－1sn－1＋sn B(s)＝b0＋b1s＋…＋bmsm 控制目标是使系统的输出跟随一个时变的期望轨迹yd(t)。假定只测量输出y(t)，而 都是已知的，r是传递函数的相对度（relative degree，极点比零点多的个数，即r＝n－m）。 控制设计分两步。首先，取控制律7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述其中是待定的新输入。将式(7-3-8)代入式(7-3-7)得 A(s)e＝B(s)v (7-3-9) 其中e(t)＝y(t)－yd(t)是跟踪误差。前馈信号可计算为 其中ai（i＝1, …, r）为用A除以B得到得常数，而w(t)是yd(t)经过滤波后的结果。 第二步是构造输入v以使误差动态特性渐进稳定。由于e是已知的（从测量信号中减去已知的yd），而其导数未知，因而可以采用标准的线性控制方法，例如极点配置加龙伯格(Luenberger)观测器来稳定e 。导出控制律的一个较为简单的方法是令7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述其中C与D是(n－m)阶多项式。利用这个控制律，得到闭环动态方程为 (AC＋BD)e＝0 适当选择C与D的系数，就可以使闭环多项式的极点在复平面上任意地配置（复极点必须是共轭对）。因此控制律 将确保在初始条件满足 ，(i＝1, …, r) ，时跟踪误差始终保持为零而在初始条件不满足上述要求时指数收敛到零。 闭环系统的方块图示于 图7-3-2。我们对这个控 制系统作下列几点进一 步的说明：－yueyd图7-3-27.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述(1) 控制律的前馈部分是由对模型求逆而得，其功能是降低和消除跟踪误差，而反馈部分的作用是使整个系统稳定。若期望轨迹yd(t)的某些导数无法获得，在前馈中可将其忽略，这样做仅会引起有界的跟踪误差。上述控制器在模型参考控制中可以很容易加以采用，这时yd及其导数由参考模型提供。 (2) 控制律式(7-3-10)相当于建立了一个降阶的龙伯格观测器。高阶观测器可以增加灵活性，故亦可用它来达到提高系统鲁棒性的目的。 (3) 上述方法不能直接用于非最小相位系统（B(s)的某些根有正实部）的跟踪控制，因为这种系统的逆模型A/B是不稳定的。不过，通过前馈期望轨迹的低频分量，仍然能够在低频范围（低于对象的右半平面零点）内达到良好的跟踪。例如，用(A/B1) yd作为前馈信号，容易求出跟踪误差为7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述若B1在低频段很接近B，控制系统便能很好地跟踪缓慢变化的yd(t)。B1的一种特殊选择是使它抵消B在左半平面的零点，这样做能在低于右半平面零点的频率范围内获得对期望轨迹的良好跟踪。 4. 物理特性的重要性 在线性控制中，通常的做法是为物理系统建立一组微分方程，然后便不再过问它们是怎样得到的。由于线性控制理论提供了强有力的分析与设计工具，这种做法至少从理论上来说不会引起太大的问题。然而对于非线性系统，这种传统的做法确特别需要加以避免，因为能解决非线性问题的工具数目较为有限。在非线性控制设计中，设法充分利用对象的物理特性，有时能使一个复杂的非线性对象的控制设计变成一个简单的问题，或者能轻易地解决一个本来无法可施的设计问题。这一点可以从机器人自适应控制问题的解决得到有力的证明7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述5. 离散实现 前面说过，非线性物理系统本质上是连续的并且很难进行有意义的离散化。当采用很高的采样频率时（具体的量化问题具体讨论），数字控制系统的分析与设计可以作为连续时间系统来处理。因此，我们用连续时间的形式来进行非线性系统的分析和控制器的设计。当然，控制律通常还是用数字方式来实现的。 控制器设计中，有时候直接包括了数值微分和数值积分。数值微分可以避免根据部分测量信号来构造整个状态（非线性观测器问题）的复杂性，而数值积分是大部分自适应控制器设计中都要用到的，而且也是更一般的动态控制器所需要的。 数值微分可以用多种方法实现，其目标均是要得到时间导数的一个合理估计，同时避免产生大量的噪声。例如可以使用下面这种带滤波的微分7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述其中s为Laplace变量，且a>>1。上述方程的离散实现，若假定零阶保持，则是简单地相加： 其中常量a1和a2定义为 a1＝－ae－aT， a2＝1－a(1－e－aT) 而T是采样周期。这个近似过程事实上可以解释为建立了系统的一个降阶观测器。然而它并未用到明显的系统模型，因此系统可以是非线性和参数未知的。 数值积分其实就是对控制器要求的某些（通常是非线性的）动态子系统的实时仿真。同样有多种方法可资利用。最简单的一种就是所谓欧拉积分 其中T是采样周期。它在高采样频率或低阶系统的情形具有良好的性能。一种更复杂的方法是两步阿当姆斯-巴希福斯(Adams-Bashforth)积分7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述 它在大多数情况下都比欧拉积分更为有效，然而计算上也更为复杂。还可以使用更复杂的方法，选择什么方法取决于精度要求与在线计算效率二者之间的这种考虑。 四、非线性控制设计中可用的方法 正如非线性控制系统的分析一样，非线性控制器的设计也没有一个普遍适用的方法。我们所具有的是一个由各种互不相同又互为补充的方法组成的丰富集合，其中每一种方法都只能适用于特定类型的非线性控制问题。 1. 试凑法 我们根据所学过的非线性系统的分析方法，可以用试凑法来综合控制器，它类似于利用伯德(Bode)图来设计线性超前-滞后控制器。其想法是，用分析工具作指导寻找控制器，7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述然后通过分析和仿真来加以验证。相平面法、描述函数法以及李亚普诺夫分析法均可用于这个目的。在这一过程中，经验和直觉至关重要。然而，对于复杂的系统，试凑法常常失败。 2. 反馈线性化 如前所述，为给定物理对象设计控制系统的第一步，是为对象导出一个有意义的模型，即在所关注的运行区域内能够抓住对象动态特性中关键特征的模型。物理系统的模型有各种各样的形式，它取决于建模的方法和建模时所做的假定。然而，有些形式更便于控制器的设计。反馈线性化就是处理将原始的系统模型转换为形式较为简单的等效模型的技术。 反馈线性化方法可以用来进行非线性设计。基本的想法就是首先把非线性系统变换成一个（全部或部分）线性的系统，然后再用熟知的和有效的线性系统设计方法去完成控制设计。这一方法已用于解决若干实际的非线性控制问题。它适用于一些重要类型的非线性系统（接下页）7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述（所谓输入-输出可线性化的系统或最小相位系统），同时它要求全部状态能够测量。但是这个方法不能保证系统具有参数不确定性或存在干扰时的鲁棒性。 反馈线性化也可用来做为鲁棒控制或自适应控制中模型简化的工具。 3. 鲁棒控制 纯粹基于模型的非线性控制（如象基本的反馈线性化方法），其控制律是根据物理系统的标称模型来进行设计的。系统在出现模型不确定性时性能如何，在设计阶段是不清楚的。鲁棒控制（例如，滑动模态控制）则不同，控制器的设计既要考虑标称模型，也要考虑模型不确定性的某些特性（例如，知道拖动系统负载的变化范围）。许多实际的控制问题证明鲁棒非线性控制是非常有效的。它最适用于一些特定类型的非线性系统，这个方法通常要求测量状态。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述4. 自适应控制 自适应非线性控制是处理不确定系统或时变系统的一种方法。尽管“自适应”一词可能有广泛的含义，目前自适应控制设计主要适用于动力学结构已知而其恒定或缓慢变化的参量未知的系统。无论是为线性系统还是为非线性系统开发的自适应控制器，都具有内在非线性。 线性系统的自适应控制已有系统化的理论。现有的自适应控制方法和可用于状态可测量且动态方程可线性参数化的一类重要的非线性系统。对这些非线性系统来说，自适应控制可看成是鲁棒非线性控制方法的一种替换和补充，两者可以有效地相互结合。虽然多数自适应控制的结果是针对单输入-单输出系统的，但是对一些具有多输入的重要非线性系统也成功地进行过研究。7.3 非线性控制系统设计概述7.3 非线性控制系统设计概述5. 增益调度 增益调度试图将成熟的线性控制方法应用到非线性系统的控制。增益调度的想法是在系统运行的范围内选择若干个工作点，然后设计者在每一个工作点处用一个线性定常系统来近似对象的动态特性，并为每一个线性化的对象设计一个线性控制器。控制器的参数在工作点之间通过内插，或调度来确定，从而形成全局的控制器。增益调度概念上很简单，而实践上在若干应用里也是成功的。增益调度的主要问题是它在非线性运行时的稳定性只有有限的理论上的保障，还要靠一些不确切的原则来指导实际工作，如象“调度变量应当缓慢变化”，以及“调度变量应该体现对象的非线性”等。另一个问题是增益调度方法所涉及的计算量太大，因为它需要计算许多的线性控制器。