null第六章 多变量频域理论基础第六章 多变量频域理论基础多变量频域理论内容十分丰富，这里只介绍一些最基本的概念，以使学生打下以后自学的基础。第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述1。传递函数矩阵描述g11(s)g21(s)gm1(s)g12(s)g22(s)gm2(s)g1l(s)g2l(s)gml(s)……………图6-1-1…第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述上图系统输入与输出之间有如下关系
上式中u为输入向量，维数为dim u＝l；y为输出向量，维数为dim y＝m。 、 分别为向量y(t)、u(t)的Laplace变换，我们用简写 、
表
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示，而
G(s)为m×l维矩阵，称为该系统的传递函数矩阵。它的元素gij(s)均为s的有理分式，如果所有元的分母多项式的次数均不低于分子多项式的次数，则称此系统为真有理系统(proper)；如果所有元的分母多项式的次数均高于分子多项式的次数，则称此系统为严格真有理系统。第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述下图是多变量系统的另一种表示形式v11(s)v21(s)vl1(s)v12(s)v22(s)vl2(s)v1m(s)v2m(s)vlm(s)……………图6-1-2…第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述上图系统输入与输出之间的关系如下
当m＝l，且系统为非奇异的，det G(s)≠0，则必有逆，记其逆为 ，根据上式有
第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述2。状态空间描述……图6-1-3……动态
系统代数
系统u1u2ulx1y1x2y2xnym第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述上图中，u1, …, ul为系统输入变量，x1, …, xn为表征系统行为的最少一组状态变量，y1, …, ym为系统的输出变量，即
则上图所示系统可用一阶微分方程表示如下：
对上式进行Laplace变换并消去x，可得传递函数矩阵
G(s)＝C(sI－A)－1B＋D (6-1-8)
当s→∞时， G(s) →D，如果D是常数矩阵，则系统为真有理系统；如果D ＝0，则系统为严格真有理系统。第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述3。系统矩阵描述
一般线性定常系统总可以用微分算子方程表示如下：
其中，u为l维向量，y为m维向量，ξ＝[ξ1,ξ2, …,ξr]T为r维系统分状态向量，D为微分算子。T, U, V, W为算子D的多项式矩阵，其中T为r × r矩阵，其它各矩阵的维数自明。ξ的各个分量ξi (i=1, 2, …, r)称为系统的分状态变量，它们可以是系统所有状态变量的全部或部分，也可以是它们的某种线性组合。可以根据具体情况灵活选择分状态变量的数目，它可以少于、等于或多于状态变量的数目，但仍能完全描述系统的内在性质，而不损失与系统性质有关的信息。设det T(D)≠0，u(t)是分段连续可微的有界函数，且当t≤0时有u(t) ＝0。在零初始条件下对式(6-1-21)进行变换，得第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述将上式写成矩阵方程形式，右端的0为r维零向量。
定义系统矩阵为
由式(6-1-22)中消去 ，可求得系统矩阵的传递函数矩阵为
G(s)＝V(s)T－1(s)U(s)＋W(s) (6-1-25)
若 T(s)、U(s)、V(s)、 W(s)都是s的多项式矩阵，则称P(s)为多项式系统矩阵， T(s)为特征多项式矩阵。
若 T(s)、U(s)、V(s)、 W(s)都是s的有理分式矩阵，则称P(s)为有理分式系统矩阵，显然它也包含多项式系统矩阵的情况。第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述若 T(s)＝sIn－A、U(s)＝B、V(s)＝C、 W(s)＝D(s)，则称P(s)为状态空间系统矩阵，此时，相应地有
而传递函数矩阵为 G(s)＝C(sIn－A)－1B＋D(s) (6-1-25)
注意这里可以不是常数矩阵，而是s的函数矩阵。当D(s)＝0，系统为严格真，否则系统可以为真或非真的。
对于多项式系统矩阵和状态空间矩阵，可以把系统的阶次定义为 T(s)矩阵的行列式的次数，即 n＝δ[det T(s)] (6-1-29)
T(s)的维数与系统的阶数r没有固定的关系，一般在形成系统矩阵时，如果r
设计
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算法的发展，是单输入-单输出系统传递函数模型的一种自然扩展。
一个有理分式传递函数矩阵总可以写成下式的形式第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述这样分解为两个多项式矩阵。式(6-1-40)称为右MFD，式(6-1-41)称为左MFD。一般情况下，上述两种分解都不是唯一的。
假定G(s)是m×l的严格真有理矩阵，则G(s)总可以唯一地表示为
其中d(s)多项式是G(s)的所有元的首一最小公分母， N(s)是m×l的多项式矩阵，由此便可把G(s)写为矩阵分式的形式
这种分解是一种标准形式，对于给定的G(s) ，其N(s) 、 d(s)是唯一的。如果把式(6-1-42)、(6-1-43)看作是
G(s)＝V(s)T－1(s)U(s)＋W(s) 中当U(s)＝Il或V(s)＝ Im时的一种特例，则可得出对应的系统矩阵如下 第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述
式(6-1-44)称为可控标准形，式(6-1-45)称为可观标准形。
在一般情况下，一个系统的矩阵分式描述不是唯一的。例如在式(6-1-41)中的多项式矩阵DL(s)和NL(s)如有左公因子Q(s) ，即有
其中 和 仍为多项式矩阵，则有
可见 和 也构成同一G(s)的不同于式(6-1-41)的另一个左MFD描述，且DL(s)的阶次为（接下页）第一节 多变量系统的几种描述第一节 多变量系统的几种描述
所以 。既然DL(s)和 的次数可以不同，因此这两种左MFD描述所对应的系统矩阵也不是唯一的。
类似地，也可以证明G(s)的右MFD也不是唯一的。
消去NL(s)和DL(s)的最大公因子，可以得到一个系统的最小阶的MFD。当NL(s)和DL(s)的最大公因子是一个单模矩阵时，称NL(s)和DL(s)是左互质的，这种情况下称
G(s) ＝D－1(s) N(s)
为既约的（或不可约的）MFD，且不存在能产生同一G(s)的更低阶的MFD。不可约的MFD仍然不是唯一的。第二节 系统矩阵的变换第二节 系统矩阵的变换1。相似变换
用状态方程描述系统时，由于所选状态变量不同，可以得到描述同一系统的不同状态方程。例如对于以为x状态变量的系统
S＝{A, B, C, D}
如果选取新的状态变量x1，且x1 ＝Hx，其中H是非奇异常数矩阵，则新的状态方程中有：
A1＝HAH－1
B1＝HB
C1＝CH－1
D1(s)＝D(s)
它所描述的系统 S1＝{A1, B1, C1, D1} 的动态特性与原方程完全一致。这种变换称为相似变换，用系统矩阵可以表示为（见下页）第二节 系统矩阵的变换第二节 系统矩阵的变换
而它们之间有关系
我们称系统P(s)和P1(s)是相似的。系统的相似(system similarity)简称s. s.变换，不改变系统的传递函数矩阵G(s)、阶次n及矩阵A的特征值，它是一种特殊的严格等价变换。
2。严格等价变换
把上述相似变换推广到多项式系统矩阵
如果取第二节 系统矩阵的变换第二节 系统矩阵的变换其中M(s)、N(s)均为r×r单模矩阵，而X(s)、Y(s)分别为m×r和r×l的任意多项式矩阵，则称P(s)和P1(s)是严格等价系统。上述变换关系称为严格系统等价(strict system equivalence)简称s. s. e.变换。值得注意的是，式(6-2-3)右端的两个变换矩阵也都是单模矩阵。从式(6-2-3)可以导出
T1(s)＝ M(s)T(s)N(s)
U1(s)＝M(s) [T(s) Y(s)＋U(s)]
V1(s)＝[V(s)－X(s)T(s)]N(s)
W1(s)＝X(s)T(s)Y(s)－V(s)Y(s)＋X(s)U(s)＋W(s)
如果P(s)是状态空间形式的系统矩阵，经过严格等价变换后，一般不再是状态空间形式的系统矩阵。
相似变换也属于一种严格等价变换，其中X(s)＝0, Y(s)＝0, M(s)＝N－1(s)，但经过相似变换后仍保持状态空间系统矩阵形式。第二节 系统矩阵的变换第二节 系统矩阵的变换根据单模矩阵的性质，并对照式(6-2-3)，就可以看出系统严格等价变换可以通过对矩阵P(s)进行下列初等运算实现：
①用任意非零常数乘P(s)的前r行（列）的任一行（列）。
②用任意非零常数乘P(s)的前r行（列）的任一行（列）后再加到的另一行（列）上。
③把P(s)的前r行（列）中的任意两行（列）对调。
定理6-2-1：任一个多项式系统矩阵通过严格等价变换可以变成相应的状态空间系统矩阵的增广形式，即
当r≤n时，具有式(6-2-1)的形式。证明从略。第二节 系统矩阵的变换第二节 系统矩阵的变换系统在严格等价变换下有以下性质：
①系统的阶数n不变，因为
n1＝δ[det T1(s)]＝δ[det M(s)T(s)N(s)] ＝δ[det T(s)] ＝ n
②传递函数矩阵不变，因为
G1(s)＝V1(s)T1－1(s)U1(s)＋W1(s)
＝[V(s)－X(s)T(s)] N(s)[M(s)T(s)N(s)]－1M(s) [T(s)Y(s)＋ U(s)]
＋ X(s)T(s)Y(s)－V(s)Y(s)＋X(s)U(s)＋W(s)
＝ V(s)T－1(s)U(s)＋W(s)＝G(s)
③系统的可控子空间和相关联的状态空间描述的特征值不变。因为如果P1(s)经过严格等价变换成为P2(s) ，则P2(s)必也可以经过严格等价变换成为P1(s) ，即P1(s)与P2(s)互为严格等价变换关系。第二节 系统矩阵的变换第二节 系统矩阵的变换根据定理6-2-1，有
于是可知， 与 必有严格等价变换关系。可表示为
或表示为
所以它们有相同维数的可控子空间及相同的特征值。
④系统的不可观子空间不变。
⑤系统的可控不可观子空间不变。第二节 系统矩阵的变换第二节 系统矩阵的变换3。系统的等价变换
系统的等价变换也称为一般等价变换，简称s. e. 设有系统
其中T(s), U(s), V(s), W(s)为s的有理函数矩阵。则P(s)为有理分式矩阵， P(s)与由下列运算产生的有理分式矩阵P1(s)称为等价。
①用不恒等于零的有理函数乘P(s)的前r行(列)中的任一行(列)。
②用有理函数乘P(s)的前r行(列)中的任一行(列)后加到P(s)的另一行(列)上。
③交换P(s)的前r行(列)中任意两行(列)。
④对P(s)矩阵增加1行1列，使成为
或从上式的系统矩阵中删去第1行和第1列，而留下P(s) 。第二节 系统矩阵的变换第二节 系统矩阵的变换系统的等价变换有如下性质：
①系统在等价变换下不改变其传递函数矩阵G(s) ，因而不改变输入-输出特性。
②但等价变换可能改变P(s)的阶，即δ[det P(s)]≠δ[det P1(s)]，因而可能改变系统的内部动态特性。
③系统等价变换包括严格等价变换和相似变换，严格等价变换和相似变换是特殊的系统等价变换。
定理6-2-2：在系统等价的意义下，系统的传递函数矩阵是系统矩阵的一种标准形。
证明：对系统矩阵依次进行等价变换，即有第三节 解耦零点第三节 解耦零点解耦零点是多变量频域控制理论中一个重要而又复杂的问题，它与系统的最小阶实现问题有密切关系。
我们知道，单变量系统在形成传递函数时，如有零点与极点相重，则被消去，例如：
在s＝1处的零点与极点相消，说明这个系统不是最小阶的。
同样，在多变量系统在形成传递函数矩阵时，也可能发生类似的零点与极点相消的情况。这样消去的极点称为解耦零点。本节我们将详细讨论解耦零点及它与最小阶系统的关系。
然而，我们在把解耦零点的概念推广到多变量系统时需要谨慎。在形成传递函数矩阵时，可能还有一些极点和零点虽相重合但并不相消，例如：第三节 解耦零点第三节 解耦零点这里s ＝1的零点和极点就是相重合但并不相消。因此我们必须把那些相消的极点和零点（解耦零点）与虽相重合但并不相消的极点与零点区别开来。
1。解耦零点的概念
已知某系统矩阵
为讨论方便，我们设W(s)＝0，若T(s)和U(s)有非单模矩阵的左公因子Q1(s)，即
且 δ[det Q1(s)]≥1 则该系统的传递函数矩阵可简化如下：
由式(6-3-2)看出，在形成G(s)的过程中，因子Q1(s)被消去了。
第三节 解耦零点第三节 解耦零点显然det Q1(s)的所有零点是被消去的零点。由于这些被消去的零点与U(s)有关，即与系统输入端相联系，所以称为输入解耦零点(input decoupling zero)简称i.d.零点，以集合{βi}表示之。由于 n＝δ[det T(s)]>δ[det T1(s)]＝n1 可见一定存在一个次数低于P(s)的系统矩阵P1(s)，它与P(s)具有相同的传递函数矩阵，或者说，一定存在一个次数低于P(s)而与之等价的系统P1(s) 。
同样，若P(s)中T(s)和V(s)有非单模矩阵的右公因子Q2(s) ，即
且 δ[det Q2(s)]≥1 则该系统的传递函数矩阵可以简化如下：
第三节 解耦零点第三节 解耦零点在形成G(s)的过程中，因子Q2(s)被消去了，det Q2(s)的所有零点是被消去的零点。因它们与V(s)有关，即与系统输出端相联系，所以称为输出入解耦零点(output decoupling zero)简称o.d.零点，以集合{γi}表示之。由于 n＝δ[det T(s)]>δ[det T2(s)]＝n2 可见也存在一个次数低于P(s)的系统矩阵P2(s) 。
若det Q2(s)的零点既是输入解耦零点，又是输出解耦零点，既Q1(s) ＝Q2(s) ＝Q(s) ，则有
T(s)＝Q(s) T1(s)＝T2(s) Q(s)
U(s)＝Q(s)U1(s)
V(s)＝V1(s)Q(s)
且 det Q2(s)≥1 则有
第三节 解耦零点第三节 解耦零点或有
如果在以上两式中分别命 T0(s)＝T1(s)Q－1(s)
和 T0(s)＝Q－1(s)T2(s) 则两式均可化为
式(6-3-6)、(6-3-7)表明，原G(s)中存在的两个因子Q(s)最后被消去了一个。显然det Q(s)的所有零点既是输入解耦零点也是输出解耦零点。同时还可以看出，当det Q(s)的零点作为输入解耦零点被消去后，便不再是输出解耦零点；反之亦然。我们称det Q(s)的所有零点为输入输出解耦零点(input-output decoupling zero)简称i.o.d.零点，以集合{δi}表示。把从系统全部解耦零点中除去i.d.零点后剩下的o.d.零点记为集合{θi}。第三节 解耦零点第三节 解耦零点我们定义，
系统解耦零点
＝ i.d.零点＋ o.d.零点－i.o.d.零点
＝ {βi} ＋ {γi} －{δi} (6-3-8)
上式可用右图形象地表示。
2。最小阶系统
对于给定的传递函数矩阵
G(s)＝V(s)T－1(s)U(s)＋W(s)
对应的系统矩阵
不是唯一的。每个P(s)都称为G(s)的一个系统矩阵实现。其中阶最低的一些系统矩阵，既不存在输入解耦零点(i.d.)，又不存在输出解耦零点(o.d.)，因而不存在给出相同的更低阶系统矩阵。第三节 解耦零点第三节 解耦零点这些系统矩阵P(s)称为最小阶系统。最小阶系统在形成传递函数矩阵的时，没有零极点对消现象，因而系统是完全可控可观的。
要检查一个系统矩阵P(s)是否最小阶，只需检查T(s)、U(s)（或T(s)、V(s) ）是否互质。检查方法如下： T(s)和U(s)左互质的充分必要条件是r×(r＋l)矩阵
[T(s) U(s)] (6-3-10)
对s的所有值的秩为r，如果这个矩阵对某个s＝ s0的秩比r小，则det [T(s0)]＝0。因此我们只需要在det [T(s)]的所有零点上检查式(6-3-10)的秩就可以了。如果在某个零点上，式(6-3-10)的秩小于r ，则矩阵[T(s) U(s)]有线性相关的行，系统为非最小阶系统。
同样也可以检查矩阵
在det [T(s)]的所有零点是否列满秩。如果在某零点上式(6-3-11) 秩小于r ，则式(6-3-11)有线性相关列，系统也是非最小阶系统。第三节 解耦零点第三节 解耦零点3。非最小阶系统矩阵的降阶
一个非最小阶系统矩阵通过等价变换可以在不改变其传递函数矩阵的条件下降阶，。下面介绍两种方法：
第一种方法
如果矩阵[T(s) U(s)]的秩小于r，则必有一满秩常数矩阵K使得对于det [T(s)]的某个零点s＝ s0， K [T(s) U(s)]中有一个零行，设为第i行。当T(s)、U(s)是实系数多项式矩阵时， K也一定是实数矩阵，且矩阵K [T(s) U(s)]的第i行一定能被(s－ s0)整除。因而可用下面的等价变换把P(s)变为P1(s) ， P1(s)比P(s)低1阶。降阶
步骤
新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤
归纳如下。
①用 左乘P(s) ，使其某一行(设为第i行)在det [T(s)]
的某一零点s＝ s0上成为零行。 第三节 解耦零点第三节 解耦零点②用(s－ s0) 除第i行。也就是
当s0是复数，即s0 ＝σ0＋jω0时，可通过如下等价变换实现降阶。
①用 左乘P(s)，其中M(s)是单模矩阵，使其某一行
(设为第i行)在det [T(s)]的某一零点s＝ s0上成为零行。第三节 解耦零点第三节 解耦零点②用(s－s0)(s－ ) 除第i行。其中 为s0的共轭，这样就把P(s)降了二阶。也就是
用类似的方法可以检验T(s)、V(s)是否互质，并P(s)使降阶。
第二种方法
若系统矩阵是非最小阶的，则T(s)、U(s)有左公因子存在，或是T(s)、V(s)有右公因子存在。第三节 解耦零点第三节 解耦零点要使系统降阶，就要先消去这些公因子。其方法是先将
[T(s) U(s)]化为Smith形。
L(s)[T(s) U(s)]R(s)＝[S(s) 0] (6-3-14)
式中L(s)、 R(s)分别为单模矩阵，则T(s)、U(s)的最大公因子为
gL(s)＝L－1(s)S(s) (6-3-15)
或者将 化为Smith形。
则T(s)、V(s)的最大右公因子为
gR(s)＝S(s)R－1(s) (6-3-17)
式(6-3-15)的证明如下。
在[T(s) U(s)]的Smith形中（接下页）第三节 解耦零点第三节 解耦零点
其中Si(s)是首一多项式，且每个Si(s)可以整除Si＋1(s) 。式(6-3-14)可以改写为
所以是T(s)、U(s)的一个左公因子。下面再证明它是最大的左公因子。第三节 解耦零点第三节 解耦零点把式(6-3-14)的两端用L－1(s)左乘，并把R(s)写成分块形式可得
即 T(s)R11(s)＋U(s)R21(s)＝L－1(s)S(s) 如果Q(s)是T(s)、U(s)的任意一个左公因子，则Q(s)[T0(s)R11(s)＋U0(s)R21(s)]＝L－1(s)S(s) 因此显然T(s)和U(s)的任何左公因子也都是L－1(s)S(s)的左因子，所以L－1(s)S(s)是T(s)和U(s)的最大左公因子。式(6-3-17)可用类似的方法证明。求得gL(s)和gR(s)后，分别求出
由此组成 则P1(s)是最小阶系统，它与原系统矩阵P(s) 给出相同的传递函数矩阵。第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式1。G(s)的标准系统矩阵实现
定理6-4-1：任一没有i. d.零点的(r＋m)×(r＋l)维多项式系统矩阵P(s)，通过严格等价变换可以化为如下形式
其中，
①T(s)是下（上）三角阵，它的主对角线上的各元为首一多项式，其次数高于同行中所有其它非零元的次数。若某主对角元为1，则该行其它诸元均为0。
②当时s→∞，V(s)T－1(s) →0。
③当T(s)、V(s)互质时，式(6-4-1)为最小阶系统矩阵，由式(6-4-1)所确定的传递函数矩阵 G(s)＝V(s)T－1(s) ＋D(s) (6-4-2)
是G(s)的一种标准右MFD，当G(s)给定后，T(s)、V(s)、D(s) 是唯一确定的，所以式(6-4-1)是G(s)的一种标准系统矩阵实现。第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式定理6-4-2：任一没有o. d.零点的(r＋m)×(r＋l)维多项式系统矩阵P(s)，通过严格等价变换可以化为如下形式
其中，
①T1(s)是下（上）三角阵，它的主对角线上的各元为首一多项式，其次数高于同列中所有其它非零元的次数。若某主对角元为1，则该列其它诸元均为0。
②当时s→∞，T－11(s) U(s) →0。
③T1(s)、U(s)互质时，式(6-4-3)为最小阶系统矩阵，由式(6-4-3)所确定的传递函数矩阵 G(s)＝T－11(s) U(s)＋D(s) (6-4-4)
是G(s)的一种标准左MFD，当G(s)给定后，T1(s)、U(s)、D(s) 是唯一确定的，所以式(6-4-3)是G(s)的又一种标准系统矩阵实现。
上面两定理的证明从略。第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式2。Smith标准形
Smith标准形是多项式矩阵的一种重要的规范形，常用来
分析
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多项式矩阵的零点，求两个多项式矩阵的最大公因子，判断两个多项式矩阵的互质性，求有理分式矩阵的Smith-McMillan形等。任一多项式矩阵通过初等变换都可以化为Smith形。 Smith形的定义如下：
设有m×l的多项式矩阵N(s)，其秩为r≤min (m, l)，必可用m×m的单模矩阵L(s)和l×l的单模矩阵R(s)把变为其Smith形S(s)。第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式式中诸如Si(s), i＝1, 2, …, r，为首一多项式，称为N(s)的不变因子，且具有依次可整除性质：Si(s)|Si＋1(s), i＝1, 2, …, r－1 ，记号“|”表示“可整除”。
任一多项式矩阵的Smith形是唯一确定的，它的不变因子也是唯一确定的。
推论6-4-3：用单模矩阵左乘或右乘一个矩阵，不改变原矩阵的Smith形。
N(s)的所有不恒为零的k阶子式的首一最大公因子称为N(s)的k阶行列式因子，记做dk(s)。可以证明， N(s)的各阶行列式因子分别与其Smith形S(s)的各阶行列式因子相等，即有
若定义d0(s) ＝1，则有第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式3。Smith-McMillan标准形
Smith-McMillan标准形是有理分式矩阵的一种规范形，可用来研究有理分式矩阵的零点和极点等性质。它是传递函数矩阵的一种更深刻的结构形式，并为分析多变量系统的传递零点和极点提供了理论工具。其定义如下：
设G(s)为m×l的有理分式矩阵，其秩为r≤min (m, l)， G(s)的各元的首一最小公分母为d(s) ，则有
式中N(s)为m×l的多项式矩阵，设它的Smith形是
S(s)＝L(s)N(s)R(s)
其中L(s)、R(s)为单模矩阵，用它们乘G(s)，得第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式消去矩阵S(s)诸对角元Si(s)与d(s)之间得公因子后可得G(s)的Smith-McMillan形如下
式中ψ1(s)＝d(s) ，每对εi(s)与ψi(s)为互质的首一多项式，并有依次可整除性
εi(s) |εi＋1(s) ， ψi＋1(s) |ψi(s) ，i＝1, 2, …, r－1 (6-4-13)
对于给定的有理分式矩阵G(s) ，其Smith-McMillan形是唯一的。第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式4。矩阵P(s)的Smith标准形
定理1-4-3：设最小阶系统矩阵P(s)所生成的m×m传递函数矩阵G(s)的Smith-McMillan形M(s)如(6-4-12)所示，l＝m，则P(s)的Smith形为
其特征多项式T(s)的Smith标准形为
注意其中诸ψi按逆序排列。
证明：根据G(s)＝N(s)/d(s)和L(s)N(s)R(s)＝S(s)，不妨认为G(s)是由下面的系统矩阵所生成，不过此P0(s)未必是最小阶罢了。第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式在P(s)的第r－m＋1, r－m＋2, …, r行中分别约去所有公因子，这相当于消去d(s)Im与S(s) R－1(s)的左公因子，故不会影响所生成的G(s)，式(6-4-17)变为
因为对于i＝1, 2, …, m，εi和ψi不同时为0，而且L－1(s)和R－1(s)是单模矩阵，对于所有s值都不会降秩，所以式(6-4-18)中无线性相关行，由此可见P1(s)为最小阶系统。既然P(s)和P1(s)都是最小阶系统，又都对应于同一个传递函数矩阵G(s) ，所以P(s)和P1(s)之间必定是严格等价变换关系。用下面单模矩阵左乘式(6-4-18)第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式再用下面单模矩阵右乘式(6-4-18)
这不会改变式(6-4-18)的Smith形，而得出
把最后m行的适当倍数加到第r－m＋1, r－m＋2, …, r行上，然后进行互换，可把式(6-4-19)进一步变为如下形式
由此，式(6-4-15)得证。第四节 多项式矩阵的几种标准形式第四节 多项式矩阵的几种标准形式再回到式(6-4-16)，由诸ψi(s)的依次可整除性可知，在换行换列后式(6-4-16)符合Smith标准形，由于式(6-4-18)与P(s)严格等价，所以ST(s)也就是T(s)的Smith标准形，于是式(6-4-16)得证。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点1。基本概念
给定标量函数f(s)，若有f(s1)＝0，则称s1为f(s)的零点。
对于右图所示单输入-单输出系统
其中n(s)和d(s)都是s的多项式。Laplace变换把满足一定条件的函数u(t)视为许多个est（即eσtejωt）型函数之和，它的每一组分（模态）的参数σ和ω不同，幅度则正比于 。对于函数x(t)也是如此。式(6-5-1)中的g(s)就是系统对于复频率为s的组分的“增益”。
一般来说，系统的输出量由两部分组成：一部分是系统本身极点在输出端生成的模态，另一部分是由输入信号激励而生成的模态。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点如果在某个s＝s1下，g(s1)＝0，则输入信号中所含的组分 在输出端被阻断，这意味着s1是g(s)的一个零点。
如果在某个s＝s1下，g(s1)＝∞，即输入信号中不含组分 时在输出端仍产生 的组分，则意味着s1是g(s)的一个极点。
一般说，如果在g(s)的分子中含有因子(s＋β)，则由输入信号提供的组分e－βt在输出信号中被阻断，而称－β为系统的一个零点。如果在g(s)的分母中含有因子(s＋α)，则虽然输入信号中不含组分e－αt，在输出端仍能生成e－αt的组分，而称－α为系统的一个极点。
图 6-5-2图 6-5-3第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点例如在图6-5-2中
y(t)＝e－αt，则s＝－b是一个零点，它阻断了输入信号的e－bt组分（模态）。反之在图6-5-3中
这里输入信号不含的组分e－αt ，但由于s＝－a是g(s)的一个极点，因而在输出端生成了e－αt这个组分（模态）。
正因为如此，可以把传递函数的分子，即式(6-5-1)中的n(s)，称为零点多项式；把传递函数的分母，即式(6-5-1)中的d(s)，称为极点多项式。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点进而，如果g(s)的分子分母均有因子(s＋α)，则在y(t)中由极点－α所生成的组分e－αt被消去，而称－α为解耦零点。多变量系统的零点和极点的性质要比单变量的情况复杂得多，但基本概念是相容的。
2。多变量系统的极点和模态
考虑一个以状态空间形式描述的n阶系统
设矩阵A的所有特征值η1,η2, …,ηn彼此不同，A的特征值分解为第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点式中V是特征向量矩阵。设u＝0，而x的初值为x0，则x和y的解为
其中vi是V的第i列，即A的特征向量，而qi＝(V－1的第i行)x0是依赖于初值x0的常数，由上式得出第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点从上式中看出x(t)是 的线性组合，仿照单输入-单输出情况，我们把每个向量 称为系统的“模态”，把诸ηi称为系统的极点，共n个。当用系统矩阵描述系统时
系统的阶为n＝δ[det T(s)]，det T(s)的全部零点(det T(s)＝0的全部根)是系统的极点，共n个。当T(s)＝sI－A时，det (sI－A)的零点(即A的特征值{ηi})也就是系统的极点。系统的极点多项式可写作 ρ(s)＝det T(s)。在式(6-5-4)中：
①对于某给定的k，如果在任意的初值x0下均有qk＝0，则ηk是系统的一个输入解耦(i. d.)零点，输入信号中的 组分不能在输出端激励出 这个模态，即此模态对输入端解耦。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点②对于某给定的k，如果有Cvk＝0，则ηk是系统的一个输出解耦(o. d.)零点。这种情况下，虽然状态向量x(t)中仍含有 的组分，但在输出端不能观察到 这个模态，即此模态对输出端解耦。
③如果某个模态 对输入端和输出端两者均解耦，则ηk是系统的一个输入输出解耦(i. o. d.)零点。这时 这个模态与系统传递函数矩阵没有关系，特征值ηk不能通过输出反馈来改变。
3。传递函数矩阵的极点和零点
传递函数矩阵G(s)的Smith-McMillan形的所有不变因子εi(s)/ψi(s)的分母多项式ψi(s)的零点全体称为G(s)的极点。类似于单变量系统，它有在输出端生成输入信号中所没有的模态的作用。 G(s)的极点多项式为第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点所有分子多项式εi(s)的零点全体称为G(s)的零点，它也有阻断输入信号中相应模态的作用。 G(s)的零点多项式为
必须注意，传递函数矩阵的零点与G(s)的单个元的零点不同。例如矩阵
的Smith-McMillan形为
所以G(s)在s＝0处有一个零点，但G(s)的每个元都没有零点。
在计算G(s)的极点时，会发现传递极点与上节所定义的系统极点是重合的，但传递极点的数目可能比系统极点数目少，这是因为系统中可能存在解耦零点而引起的。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点通过化Smith-McMillan形来计算传递函数矩阵G(s)的极点和零点比较麻烦，一般需要借助于计算机。另一种计算传递函数矩阵G(s)的极点、零点的方法如下：
①G(s)的极点多项式ψ(s)就是G(s)的所有阶的全部不恒为零的子式的最小公分母，ψ(s)的全部零点就是G(s)的极点。
②G(s)的零点多项式ε(s)是G(s)的所有不恒为零的r阶子式的分子的最大公因子，其中r是G(s)的标准秩。而且所有r阶子式都必须化为以极点多项式ψ(s)为分母的形式。零点多项式ε(s)的全部零点就是G(s)的零点。
如果已知生成G(s)的系统矩阵P(s)，则G(s)的全部子式也可直接由系统矩阵P(s)计算出来，如式(6-1-33)。
4。系统的解耦零点、极点、零点与传递极点和传递零点的关系
如前所述，在形成传递函数矩阵时，系统可能失去一些零点，而失去的零点的集合就是失去的极点的集合。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点这些相消的零点和极点的集合称为系统的解耦零点，根据式(6-3-8) ， 系统解耦零点＝ i.d.零点＋ o.d.零点－i.o.d.零点
＝ {βi} ＋ {γi} －{δi}
系统极点包括传递函数矩阵的极点（传递极点）和系统的解耦零点，它们之间的关系如下：
系统极点＝传递极点＋系统解耦零点
＝传递极点＋ i.d.零点＋ o.d.零点－i.o.d.零点
即 {ηi}＝ {αi}＋{βi}＋{γi}－{δi} (6-5-7)
在上式中，我们用{αi}表示系统传递极点的集合。上式可用图6-5-4形象地表示。{βi}{δi}{γi}{αi}{ηi}图6-5-4{βi}{δi}{γi}{εi}{zi}图6-5-5第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点系统零点包括传递函数矩阵的零点（传递零点）和系统的解耦零点，它们之间的关系如下：
系统零点＝传递零点＋系统解耦零点
＝传递零点＋ i.d.零点＋ o.d.零点－i.o.d.零点
即 {zi}＝ {εi}＋{βi}＋{γi}－{δi} (6-5-8)
在上式中，我们用{εi}表示系统传递零点的集合。上式可用图6-5-5形象地表示。
多项式系统矩阵P(s)的所有最高阶的非零子式的最大公因子的全部零点，称为系统的不变零点。可以证明，在常数矩阵反馈下，这些不变零点保持不变。（见后面）
如果系统矩阵P(s)是方形矩阵，则最高阶子式就是它的行列式det P(s)，因此P(s)的不变零点就是det P(s)的全部零点。可以证明，在这种情况下，不变零点也就是全部的系统零点，即式(6-5-8)中的{zi}。系统的零点多项式为 Z(s)＝ det P(s)。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点反之，如果P(s)不是方阵，则可以证明，在常数矩阵反馈下，系统可能会失去一些解耦零点。在这种情况下，系统的不变零点就只是在常数矩阵反馈下保持不变的那些系统零点，而不是全部的系统零点。
系统零点、不变零点、
解耦零点和传递零点四者
之间的关系如图6-5-6所示。
图中画有阴影和虚线的部分
表示系统全部解耦零点的集合。
如果系统中不存在解耦零点，则系统零点、不变零点和传递零点三者是一致的。
例：设有方形系统矩阵传递零点不变零点系统零点图 6-5-6第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点要求分别求出系统的极点、零点、i. d.零点、o. d.零点、i. o. d.零点以及传递函数矩阵的零点和极点。
①按定义 det T(s)＝s2(s＋1)(s＋2) 所以系统极点为
{ηi}＝{0, 0, －1, －2}
② det P(s)＝s2(s＋1) 是P(s)的唯一的最高阶子式，因此它就是P(s)的5阶子式的最大公因子，所以系统零点为
{zi}＝ {0, 0, －1}
③当s＝0时， P(s)的第3行为全零行，故T(s)、 U(s)非互质，因而有一个i. d.零点 {βi} ＝ {0}
④当s2(s＋1)＝0时， P(s)的第3列为全零列，故T(s)、 V(s)非互质，因而有o. d.零点 {γi} ＝ {0, 0, －1}
⑤系统的i. o. d.零点为 {δi} ＝ {0} 第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点⑥传递零点为
{εi} ＝系统零点－系统解耦零点
＝{zi}－{βi}－{γi}＋{δi}
＝{0, 0, －1}－{0}－{0, 0, －1}＋{0}＝Φ
即传递零点是空集，也就是没有传递零点。
⑦传递极点为
{αi}＝系统极点－系统解耦零点
＝{ηi}－{βi}－{γi}＋{δi}
＝{0, 0, －1, －2}－{0}－{0, 0, －1}＋{0}
＝{－2}
所以这个系统矩阵对应的传递函数矩阵为
第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点5。严格等价变换下系统的极点、零点的性质
定理6-5-1：系统矩阵P(s)的系统极点、系统零点、 i. d.零点、 o. d.零点、传递极点和传递零点在严格等价变换下都是不变的。
证明：①设
其中T1(s)＝M(s)T(s)N(s)，而M(s)、N(s)为单模矩阵。显然， det T1(s) ＝0的全部零点和det T(s) ＝0的全部零点相同，即系统极点{ηi}在严格等价变换下是不变的。
②由
得知[T(s) U(s)]和[T1(s) U1(s)]的Smith标准形相同，所以P(s)的i. d.零点{βi}在严格等价变换下不变。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点③由
得知 和 的Smith标准形相同，所以P(s)的o. d.零点{γi}在严格等价变换下不变。
④在严格等价变换下，系统的传递函数矩阵相同，所以其传递极点和传递零点不变。
⑤由于系统极点＝传递极点＋i. d.零点＋o. d.零点－i. o. d.零点
而在严格等价变换下，系统极点、传递极点、 i. d.零点、o. d.零点均不变，所以i. o. d.零点也不变，因而系统的解耦零点不变。
⑥由于 系统零点＝传递零点＋系统解耦零点
而在严格等价变换下，解耦零点和传递零点不变，所以系统零点也不变。 证毕。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点6。闭环系统的零点和极点
定理6-5-2：设开环系统矩阵为
根据式(6-1-37)，闭环系统矩阵为
当l＝m，且F(s)为m×m的多项式反馈矩阵，又det TC(s)不恒等于0时，则闭环系统的 i. d.零点、o. d.零点、i. o. d.零点、传递零点、系统零点分别与开环系统的i. d.零点、o. d.零点、i. o. d.零点、传递零点、系统零点相同。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点证明：以下我们用下标“O”表示开环系统的各量，而用下标“C”表示闭环系统各量。
①证明i. d.零点相同，即{βC} ＝ {βO}
由于det TC(s)不恒等于0，因此矩阵
经初等列变换可化为
单模矩阵变换不改变原矩阵的Smith形，所以[TC(s) UC(s)]与[T(s) U(s)] 有相同的Smith形。开环系统的i. d.零点就是T(s)、U(s)的最大左公因子的全部零点。根据式(6-3-15)知其最大左公因子为第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点 gL(s)＝L－1(s)S(s)
即i. d.零点与[T(s) U(s)]的Smith形零点相同。由于[TC(s) UC(s)]也有相同Smith形，所以闭环系统与开环系统有相同的i. d.零点。
②证明o. d.零点相同，即{γC} ＝ {γO}
按照①的思路，可将矩阵
用单模矩阵变换为
因此与 有相同的Smith形。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点开环系统的o. d.零点就是的最大右公因子的全部零点，根据式(6-3-17)有 gR(s)＝S(s) R－1(s)
因而开环与闭环有相同的o. d.零点。
③证明i. o. d.零点相同，即{δC} ＝ {δO}
若用有理函数矩阵Q(s)左乘闭环系统矩阵PC(s) ，来消去闭环系统的所有i. d.零点，即
而其中的第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点可经单模矩阵变换为
因此式(6-5-9)与式(6-9-10)这两个矩阵有相同的Smith形。这就表明，闭环系统消去i. d.零点后剩下的o. d.零点{θC}与开环系统消去i. d.零点后剩下的o. d.零点{θO}完全相同，因此开环系统与闭环系统有相同的i. o. d.零点。
顺便指出，根据以上分析可以推论，若PO(s)具有最小阶，则PC(s)也具有最小阶。
④证明系统零点相同及传递零点相同，即{zC}＝{zO}、{εC}＝{εO}。
闭环系统矩阵第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点可经行初等变换化为
再经初等列变换化为
再经行、列初等变换最后化为
从式(6-5-11)和式(6-5-12)可知，闭环系统矩阵PC(s)与开环系统矩阵PO(s)有相同的Smith形。第五节 系统的极点、零点及解耦零点第五节 系统的极点、零点及解耦零点如果开环传递函
浙公网安备 33021202002483