null第五章 系统设计第五章 系统设计前面讨论的基本上是系统分析问题，本章讨论控制系统设计的有关问题。主要包括极点配置、状态观测、解耦控制等问题。第一节 概述第一节 概述现考虑被控对象为
其中，x(t)Rn，u(t)Rm，y(t)Rp。 若采用的状态反馈为
u(t) ＝K x(t) ＋ v(t) (5-1-2)
构成的闭环系统为
定理 5-1-1：n阶系统(5-1-1)完全能控的充要条件是以状态反馈(5-1-2)所构成的闭环系统(5-1-3)是完全能控的。
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
：（必要性，已知(5-1-1)能控，证明(5-1-3)能控）用反证法。设系统(5-1-1)是能控的，反设(5-1-3)不是完全能控的。则有 第一节 概述第一节 概述 rankU1＝rank[B, AB, …, An－1B]＝n
及 rankU2＝rank[B, (A+BK)B, …, (A+BK)n－1B]
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
是在模型中加入偏差反馈，即
将式(5-4-10)与(5-4-1)相减，且考虑式(5-4-7)的定义得
解为第四节 观测器及其设计方法第四节 观测器及其设计方法龙伯格(D. G. Luenberger)观测器框图，虚线以上为被控对象。uxyz+-+++++B∫∫CABCAzKz第四节 观测器及其设计方法第四节 观测器及其设计方法对于式(5-4-1)、(5-4-2)给出的n阶完全能观系统，显然，其对偶系统
完全能控。若对这个对偶系统施以状态反馈
则其闭环极点，即 的特征值是可以任意配置的。因此对式(5-4-1)、(5-4-2)的被控对象设计观测器，就可以归结为对其对偶系统(5-4-15)、(5-4-16)求状态反馈，使对偶系统的闭环极点是观测器所要求的极点。
定理5-4-1：系统(5-4-1)、(5-4-2)存在观测器，且观测器的极点可以任意配置的充分必要条件是该系统完全能观测。
推理5-4-1：若系统(5-4-1)、(5-4-2)是不完全能观的，则它存在观测器的充分必要条件是其不能观测部分的极点都具有负实部。并称这类系统是能检测的(detectable)。第四节 观测器及其设计方法第四节 观测器及其设计方法对于式(5-4-1)、(5-4-2)所描述的n阶系统，设rank C＝p，且系统的p个输出yi(t), i=1, 2, …, p 是由状态变量直接得到的。则经过适当地变换，式(5-4-2)中的输出矩阵C及状态变量x(t)就可以写成如下形式
将这个关系式代入(5-4-1)，对象的状态方程可写成
因此，它可以分解为两部分
显然，只要对式(5-4-19)的部分设计全阶观测器就可以了。第四节 观测器及其设计方法第四节 观测器及其设计方法对式(5-4-19)这部分状态不能直接检测的子系统，构造如式(5-4-10)的全阶(n－p阶)观测器，可以采取如下形式
显然，等式右边最后一项相当于估值误差的反馈作用。其中 是不能检测的，但由式(5-4-18)可以看出
将上式代入式(5-4-20)，整理后即得到最低阶观测器为
观测器中的矩阵KR与式(5-4-10)中的Kz是相当的，因此只要选择适当的KR ，使(A22－ KR A12)是稳定的，就可以设计出最低阶观测器。第四节 观测器及其设计方法第四节 观测器及其设计方法式(5-4-22)最低阶观测器框图u(t)y(t)+---+B1∫A12A11B2A21A22z(t)KR第四节 观测器及其设计方法第四节 观测器及其设计方法式(5-4-22)观测器需要输出y(t)的微分，为了避免使用这个信号，引进一个n－p维的变量w(t)，并使之满足
若以这个向量作为观测器的状态变量，则式(5-4-22)变换为
其中
则x(t)的估值为第四节 观测器及其设计方法第四节 观测器及其设计方法式(5-4-26)最低阶观测器框图（虚线以上为被控对象）u(t)y(t)(H)(F)w(t)x(t)B∫KRAB2－KRB1A21－KRA11A22－KRA12z(t)C∫第四节 观测器及其设计方法第四节 观测器及其设计方法因为状态观测的目的一般是为了状态反馈，所以可以直接估计u(t)＝Kx(t)，这样观测器的阶次也会降低。
对于式(5-4-1)、(5-4-2)所给出的n阶系统，若存在一个q阶动态系统
使t→∞时，有 S(t)－Kx(t)＝0 (5-4-27)
就称式(5-4-26)是能对线性函数Kx(t)进行估计的线性函数观测器。存在线性函数观测器(5-4-26)的充分必要条件是：
1。F是稳定的 (5-4-28)
2。存在q×n矩阵U满足下列矩阵方程第四节 观测器及其设计方法第四节 观测器及其设计方法若令e(t)＝w(t)－Ux(t)，则利用式(5-4-29)的关系可得到
及
由于F稳定，则有 及 。因此，线性函数观测器存在的充分条件显然是成立的。由于必要条件的证明比较繁琐，这里不再证明。第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统设下面的被控对象是完全能控能观的
则经过状态反馈 u(t)＝Kx(t)＋v(t) (5-5-2) 构成的闭环系统为
用估计值代替状态变量，则实际的反馈为
现考虑采用的状态观测器为最低阶观测器，且状态变量可分解为
则观测器的变量z(t)就是x(t)中不能检测的那一部分的估值。令观测器的估计误差为第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统则由式(5-4-23)有
其中T＝[－KR, In－p]，并由此得到
则由式(5-4-25)得状态变量x(t)的估计值为
其中：第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统对式(5-5-7)进行微分，并将式(5-5-1)及(5-4-24)代入，得
利用式(5-4-24)还可以导出以下的关系式
将这些关系式代入式(5-5-9)中，并利用式(5-5-6)，则得
闭环系统状态方程将成为第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统因此，状态方程及观测器估值误差方程可写成
显然，它所表示的是包含观测器在内的闭环系统。框图如下：∫∫BCA＋BKBKNFv(t)x(t)y(t)e(t)v(t)x(t)y(t)w(t)u(t)CK第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统下面在观测器基础上讨论输出动态补偿器问题。设状态反馈为u(t)＝Kx(t)＋v(t)，若以下面观测器（全阶）变量z(t)为对象状态变量的估值则u(t)＝Kz(t)＋v(t)
将此控制律代入对象及观测器的状态方程，则包括观测器在内的闭环系统可由下式描述
若以x(t)和z(t)作为闭环系统的变量，则上式也可以写成第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统不妨假设外部输入v(t)＝0，此时的反馈控制律为u(t)＝Kx(t)及u(t)＝Kz(t) ，而闭环系统（包括观测器）的动态方程成为
BCAKKz∫∫A－KzC＋BKv(t)=0u(t)y(t)z(t)x(t)闭环系统方框图如右。虚线框内称为动态补偿器或输出动态补偿器第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统动态补偿器的状态方程为
它的输出方程是 u(t)＝Kz(t) (5-5-17)
写成一般形式就是
由动态补偿器反馈构成的闭环系统为若在式(5-5-19)中消去u(t)和y(t)，则这个闭环系统可改写成式(5-5-20)或(5-5-21)第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统闭环系统的方框图如右。
命题1：对式(5-5-1)的系统，经动态
补偿器(5-5-18)反馈的闭环极点包含
(A, B, C)的固定模Λ(A)，即系统
(A, B, C)的固定模经输出补偿器反馈
后均不改变。
证明：若系统(A, B, C)表示成Kalman标准结构形式，即
则系统的固定模定义为被控对象动态补偿器u(t)y(t)第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统经动态补偿器的闭环系统(5-5-21)的特征多项式为第五节 用状态观测器的反馈系统第五节 用状态观测器的反馈系统即闭环系统的极点中仍包含有固定模
证毕。
定理1：系统(5-5-1)能用动态补偿器任意极点配置（镇定）的充分必要条件是系统(5-5-1)能控能观（能稳能检测）。
这个定理可以用命题1来说明。第六节 解耦控制第六节 解耦控制解耦控制要解决的两个方面的问题：一是确定系统被解耦的充分必要条件，即解决系统能解耦的问题。二是确定解耦控制律及解耦系统的结构，即要解决解耦系统的具体综合问题。
一、应用串联补偿器的解耦控制
设一个n×n的耦合受控对象的输入-输出关系为
或简记为 Y(s)＝G(s)U(s) (5-6-2)
现在要求将被控对象转变成一个对角形矩阵GΛ(s)，即
其中 可与G(s)中的gii(s)相同，也可以不同。第六节 解耦控制第六节 解耦控制设在对象的输入端引入一串联补偿器D(s)，如下图所示
其中
使得 GΛ(s) ＝G(s)D(s) (5-6-5)
若为非奇异，则有 D(s) ＝G－1(s) GΛ(s) (5-6-6)
以上是引入串联补偿器的一般原理，目前工程上根据不同要求进行对角解耦的方法较多，以下介绍常见的几种。R1R2Rny1u1………u2uny2ynD(s)G(s)第六节 解耦控制第六节 解耦控制1。单位矩阵法
解耦后成为单位矩阵。可与调节器结合起来考虑。若解耦矩阵为R2，调节器矩阵为R1，则串联补偿器为R ＝ R2 R1 (5-6-7)
以双变量为例，有（方框图如下）x1--y2y1u2u1x2g11(s)g21(s)g12(s)g22(s)第六节 解耦控制第六节 解耦控制此时，被控对象的输入-输出关系为
上式写成矩阵形式为 y＝D－1Hu (5-6-10)
其中的D和H分别为
按单位矩阵设计法，就是使 D－1HR2＝I (5-6-13)
即
第六节 解耦控制第六节 解耦控制
即
2。按给定指标设计法
设给定解耦后的控制要求是
框图如右。可以得出 G＝(1＋W)－1W (5-6-18) 其中
W＝PR (5-6-19) 所以 (1＋W)G＝W (5-6-20)
W＝G(1－G)－1 (5-6-21) R＝P－1G(1－G)－1 (5-6-22)XYPR第六节 解耦控制第六节 解耦控制3。非对消解耦设计
设控制对象为
设有矩阵 N1(s)＝adjΦ(s) (5-6-23)
则
为对角矩阵。其中 m(s)＝detΦ(s) (5-6-26)
为保证物理上可实现，加入第二个补偿环节N2（对角的），则第六节 解耦控制第六节 解耦控制这里，ki、ni与di都是待定的，利用它们一方面可以保证最终的补偿环节是物理上可实现的，另一方面又可以满足对解耦后系统的控制要求。实际上的补偿环节是一个，而不是二个，即
下面证明采用上述方法，被控对象的零点仍然保留在解耦后的开环系统中。令
故P(s)的极点就是det Dr(s)的零点，而P(s)的零点就是det Nr(s)的零点。上式可写为
这里 Δ(s)＝det Dr(s)第六节 解耦控制第六节 解耦控制由于逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，即
以及 所以有
即
或 det [adj Dr(s)]＝Δn－1(s) (5-6-34)
对式(5-6-31)两边取行列式，并注意到式(5-6-34)，有第六节 解耦控制第六节 解耦控制由此可得到
把上式代入到(5-6-27)中，得
即
对于单位反馈闭环系统，其传递函数应为
可见，只要被控对象det Dr(s)与det Nr(s)无公因子时，被控对象得零点仍然保留在解耦后的闭环系统传递函数中。
以上讨论了应用串联补偿器实现解耦的三种方法，应用上述方法的前提是被控对象传递函数阵是满秩的，这一般都能满足。第六节 解耦控制第六节 解耦控制考虑多输入-多输出的线性定常系统
其中x为n维，u与y均为m维。现采用状态反馈结合输入变换的控制律，即取 u＝Kx＋Lv (5-6-40)
其中K为m×n维反馈矩阵，L为m×m维输入变换阵且为非奇异，v为m维参考输入。则闭环系统状态空间描述为
而且传递函数阵为 GKL(s)＝C(sI－A－BK)－1BL (5-6-42)
所谓解耦问题，是对由式(5-6-39)给出的多变量系统，寻找一个输入变换和状态反馈矩阵对{L, K}，使得由式(5-6-41)所给的状态反馈系统的传递函数阵GKL(s)为非奇异对角有理分式矩阵。第六节 解耦控制第六节 解耦控制即
考虑到关系式 y(s)＝GKL(s)v(s) (5-6-44)
可知当系统实现了解耦后，其输出变量和参考输入变量之间有关系式
这表明，尽管被控系统中包含着变量间的耦合，但通过外部的控制作用（状态变换和输入变换），可使一个m维的多输入-多输出系统化为m个相互独立的单输入-单输出控制系统，而实现一个输出变量仅由一个输入变量所完全控制。解耦控制大大简化了控制过程，使得对各个输出变量的控制均都可以单独进行。第六节 解耦控制第六节 解耦控制1。传递函数矩阵的两个特征量
设G(s)为m×m的传递函数矩阵，gi(s)为它的第i个行向量，且记
gi(s) ＝[gi1(s), gi2(s), …, gim(s)] (5-6-46)
再记σij为gij(s)的分母多项式的次数和gij(s)的分子多项式的次数之差，则G(s)的第一个特征量di定义为
di ＝min{σi1, σi2, …, σim}－1, i=1, 2, …, m (5-6-47)
显然， di必为非负整数。G(s)给定后，{d1, d2, …, dm}唯一确定。
G(s)的第二个特征量Ei定义为下式，为1×m的常值行向量。
下面我们指出两个特征量di和Ei的一些基本属性。
命题5-6-1：如果G(s)的相应的状态空间描述为[A, B, C]，且表ci为C的第i个行向量，则
① G(s)的第一个特征量可以表示为（接下页）第六节 解耦控制第六节 解耦控制
② G(s)的第二个特征量可以表示为
证明：利用G(s)＝C(sI－A)－1B即可导出
gi(s)＝ci(sI－A)－1B (5-6-51)
令 (sI－A)－1＝(Rn－1sn－1＋…＋R1s＋R0)/α(s) (5-6-52)
将上式代入式(5-6-51)，可得
设 α(s) ＝det(sI－A)＝sn＋αn－1sn－1＋…＋α1s＋α0 (5-6-54)
第六节 解耦控制第六节 解耦控制且
根据di的定义式(5-6-47)可知， gi(s)中各元传递函数的分母和分子多项式的次数之差的最小值为(di＋1)，这表明式(5-6-53)中与sn－1、sn－2、sn－di相关的各系数矩阵均为零，而与sn－di－1相关的系数矩阵必不为零。于是得到
和
这意味着di是使ciAkB≠0的正整数k的最小值。而当gi(s) ≡0时，也即ciAkB ＝0 (i=0, 1, …, n－1)时，则规定di ＝ n－1 。从而式(5-6-49)得证。第六节 解耦控制第六节 解耦控制再根据Ei的定义式(5-6-48)和gi(s)的关系式(5-6-53)，并注意到式(5-6-56)和式(5-6-57)，即得
于是命题得证。由上述命题可以进一步推得下述结论。
命题5-6-2：对于任意的矩阵对{L, K}，其中det L≠0，闭环系统式(5-6-41)的传递函数矩阵GKL(s)的第i个行向量可表为
其中第六节 解耦控制第六节 解耦控制而GKL(s)的两个特征量 和 可表为
命题5-6-3：对于任意的{L, K}，det L≠0，开环系统(5-6-39)和闭环系统(5-6-41)的传递函数矩阵的特征量di和 之间， Ei和 之间存在如下关系
证明：对任一i，由条件
可以导出第六节 解耦控制第六节 解耦控制
再由 和式(5-6-67)又可导出
此外，因L为非奇异，可知当 时上式将不为零。于是根据 和 的定义，即可由式(5-6-68)和式(5-6-69)断言
＝ di和 ＝ Ei L。第六节 解耦控制第六节 解耦控制2。动态解耦条件
定理5-6-1：线性定常被控系统(5-6-39)可采用状态反馈和输入变换，即存在矩阵对{L, K}使得系统(5-6-39)在控制律(5-6-40)的作用下可实现输入-输出动态解耦的充分必要条件是如下的m×m常数矩阵为非奇异。
证明：必要性
已知存在矩阵对{L, K} ，其中L非奇异，使得系统(5-6-39)在控制律(5-6-40)作用下可实现输入-输出解耦，即使闭环系统(5-6-41)的传递函数矩阵为如下的对角阵第六节 解耦控制第六节 解耦控制由此并利用式(5-6-48)可得
这表明 为对角线非奇异常阵。再由命题5-6-3可知 ＝EL且L为非奇异，从而即知E＝ L－1为非奇异，必要性得证。
充分性
我们采用构造性证明，已知E为非奇异，故E－1存在，从而取{L, K}为 L＝E－1， K＝－E－1F (5-6-72)
其中m×n阶常阵F定义为第六节 解耦控制第六节 解耦控制相应地可导出闭环系统的传递函数矩阵为
GKL(s)＝C(sI－A－BE－1F)－1BE－1 (5-6-74)
再利用式(5-6-61)可将其第i行表示为
进而注意到 ＝di及特征量 的定义，可知上式中有
或等价地有
利用式(5-6-77)和(5-6-63)还可以定出式(5-6-75)中剩下的其它各项为（接下页）第六节 解耦控制第六节 解耦控制
第六节 解耦控制第六节 解耦控制于是将式(5-6-76)和式(5-6-77)代入式(5-6-75)，可进一步得到
另一方面，根据Calay-Hamilton定理有
现将式(5-6-80)两边乘以 ，那么由于下式
而 ≠0，故得第六节 解耦控制第六节 解耦控制类似地，将式(5-6-80)两边乘以 ，又可得到
依此类推，可以得到
从而将式(5-6-82)～ (5-6-84)代入式(5-6-62)中，可以得到
这样，由式(5-6-79)和式(5-6-85)就可以把gKLi(s)表示为第六节 解耦控制第六节 解耦控制这表明，在式(5-6-72)的{L, K}选择下，闭环系统的传递函数矩阵为
即为对角阵且非奇异，也即实现了解耦，于是充分性得证。至此整个证明完成。
几点说明：
①定理5-6-1表明，被控系统(5-6-39)能否采用状态解耦和输入变换来实现解耦，唯一地决定于其传递函数矩阵G(s)的两组特征量di和Ei (i=1, 2, …, m)。从表面上看，系统的能控性或可稳性在这里是无关重要的。但是，为了保证解耦后的系统要能正常地运行，并具有良好的动态性能，仍要求被控系统是能控的，第六节 解耦控制第六节 解耦控制或至少是能稳的。否则，若不能保证解耦后的诸单变量系统是可镇定的，则不能保证闭环系统的渐进稳定性，此时解耦控制也就失去了意义。
②为了判断被控系统(5-6-39)能否采用状态反馈和输入变换来实现解耦，既可从系统的传递函数矩阵描述根据式(5-6-47)、(5-6-48)来组成判别矩阵E，也可以从系统的状态空间描述根据式(5-6-49)、(5-6-50)来组成判别矩阵E。
③从定理5-6-1的证明过程可以看出，对于一个可解耦的控制系统，当选取{L, K}为 L＝E－1， K＝－E－1F (5-6-88)
时必可实现系统解耦，且解耦控制系统的传递函数矩阵为式(5-6-87)。从物理意义上看，解耦后每个单输入-单输出闭环控制系统的传递函数均具有多重积分器的特性，因此常称这类形式的解耦为积分型解耦。积分型解耦系统虽然因其不能令人满意的动态性能致使其本身没有实际应用意义，但它常常是用来综合性能满意的解耦控制系统的一个中间步骤，因而是有意义的。第六节 解耦控制第六节 解耦控制3。静态解耦问题
对于由式(5-6-39)给出的多变量被控系统，寻找一个输入变换和状态反馈矩阵对{L, K}，使得由控制律(5-6-40)作用下的闭环系统式(5-6-41)是渐进稳定的，且闭环控制系统的传递函数矩阵GKL(s)在s→0时为对角线非奇异常数矩阵，即
静态解耦的概念只适用于参考输入v的各分量为阶跃信号的情况，令
其中βi为非零常数，1(t)为单位阶跃函数。利用Laplace变换的终值定理，在(5-6-89)渐进稳定条件下，可得到稳定时的输出为第六节 解耦控制第六节 解耦控制
也即有
这表明，当系统实现静态解耦时，对于分量为阶跃信号的参考输入，可做到稳态下每个输出都只受同序号的一个输入的完全控制。但在过渡过程中，则输出和输入的交叉耦合关系并不消除。这一点是静态解耦和动态解耦之间的根本区别。
对于被控系统(5-6-39)，用以判别其能否可用状态反馈和输入变换实现静态解耦的判据由下述定理给出。第六节 解耦控制第六节 解耦控制定理5-6-2：存在{K, L}，L为非奇异，使得被控系统式(5-6-39)在控制律式(5-6-40)作用下实现静态解耦的充分必要条件是：
①被控系统是可稳的；
②被控系统的系数矩阵满足下式
证明：分成三步来进行。
第一步，证明下述关系式
设(A＋BK)－1存在，则由第六节 解耦控制第六节 解耦控制和
即可得出式(5-6-93)。
第二步，证明定理的充分性。
已知被控系统可稳，故存在K，使(A＋BK)的特征值均具有负实部，从而保证了(A＋BK)为非奇异，也即(A＋BK)－1存在。进而由式(5-6-94)和式(5-6-95)和定理的条件②可以得出
rank C (A＋BK)－1 B＝m (5-6-96)
这表明C (A＋BK)－1 B为非奇异，故可取
其中第六节 解耦控制第六节 解耦控制并且在上述{K, L}的选取下，闭环系统渐进稳定，同时成立
也即其为对角线常阵。这说明，在满足结论的两个条件下，必存在{K, L}使被控系统实现静态解耦。
第三步，证明定理的必要性。
根据定义，被控系统可实现静态解耦，当且仅当存在{K, L}，使闭环系统为渐进稳定，且GKL(0)＝－C(A＋BK)－1BL为非奇异对角阵。于是由系统的渐进稳定要求必有条件①成立。再因L为非奇异，因此GKL(0)的非奇异等价于C(A＋BK)－1B的非奇异性。由此，并利用式(5-6-93)可知，这即等同于要求条件②成立。所以必要性得证。第六节 解耦控制第六节 解耦控制不难看出，上述证明过程中还提供了寻找{K, L}使被控系统式(5-6-39)在控制律式(5-6-40)作用下实现静态解耦的算法。现将其归纳如下：
第一步，判断[A, B]是否可稳，系数矩阵的秩条件式(5-6-92)是否成立。
第二步，对于满足可静态解耦条件的可稳系统，确定一个状态反馈增益矩阵K，使(A＋BK)的特征值均具有负实部。
第三步，按照静态解耦后各单输入-单输出自治系统的稳态增益要求，确定 (i=1, 2, …, m)的值，且取 。
第四步，取输入变换矩阵 ，则有
举例：已知具有下述系数矩阵的系统第六节 解耦控制第六节 解耦控制求解其状态反馈结合输入变换的静态解耦控制律。
第一步，容易验证[A, B]能控， 满秩。
第二步，可以验证当取K为下式时，闭环系统极点为－1、－2和－3。
第三步，取 。
第四步，经计算得
从而求得状态反馈结合输入变换的静态解耦控制律为
浙公网安备 33021202002483