null第三章 能控性与能观测性第三章 能控性与能观测性 能控性和能观测性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。自卡尔曼(R．E．Kalman)在20世纪60年代初引入这两个概念以来，已经证明它们对于系统控制和系统估计问题的研究具有基本的重要性。第一节 基本概念第一节 基本概念考虑由下式描述的n阶线性系统
容许控制定义为
定义3-1-1：对式(3-1-1) 描述的系统，若对某初始状态x(t0)=x0， t0 J，可以找到一个容许控制u(t)，经过一个有限时间(ta－t0)， t0 J ，ta>t0使状态变量由x(t0)=x0转移为x(ta)=0 ，则称状态x0在[t0, ta]上是能控的，或称是在时刻t0上是能控的；若以系统的状态空间中所有元素作为初始状态，且都能满足上述条件时，则称系统在[t0, ta]上是完全能控的，或称是在t0时刻上是能控的；若系统对任意初始时刻t0 J ，只要t0不在J的右端，都是完全能控的，则称系统是完全能控的。第一节 基本概念第一节 基本概念定义3-1-2：对式(3-1-1) 描述的系统，若对t0时刻，存在一个ta， t0
ta一定有：系统在[t0, tβ]上完全能控。这是很显然的，因为若系统在[t0, ta]上是能控的，则一定存在容许控制u*(t)满足式(3-2-2)，即使x(ta)=0。现在若在[t0, tβ]内取控制为
则在此u(t)的作用下，在t=ta时状态就能转移到零。而在[ta, tβ]内u(t) =0，故状态仍维持为零，即在[t0, tβ]上也是完全能控的。
第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质3。考虑有外部干扰f(t)存在的情况。此时状态方程为
其解为
当t=ta时有
上式中的{*}为常量，可以看作是新的初始状态。设在无干扰时系统在[t0, ta]上是完全能控的，当然在以{*}为初始状态时，系统仍是完全能控的，这表明干扰的存在不改变系统的能控性。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质4。能控状态的线性组合还是能控的。下面证明
设状态xi0 i=1,2,…在[t0, ta]上是能控的，则有
设αi i=1,2,…是任意实数，且记
则有
考虑到xi0是系统的状态空间X的任意元素，故其线性组合x*0仍是X的元素，即是系统的状态变量。由上式可以看出，对状态变量x*0存在控制u*(t)满足性质1所给出的恒等式条件，故它也是能控的。证毕。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质讨论：系统的所有能控状态的集合构成状态空间的一个子空间，称为能控子空间，记为X C。即
X C X [t0, ta]
显然，当X C ＝ X时，系统就是在[t0, ta]上完全能控的。而当X C X时，则 X自然可以分解成X C 与另外一个子空间X NC 的直和。如果将状态变量看作是几何空间的向量，则X C与X NC应该是两个正交的子空间，因此若
xC X C [t0, ta] X C X
xNC X NC [t0, ta] X NC X
有 xNC xC
即其内积 xTNCxC ＝0第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质现在考虑一个任意的容许控制u(τ)，则满足
的状态向量xC一定是能控的，即xC X C [t0, ta] 。现在以这个xC为初始状态，则系统在上述容许控制u(τ)的作用下，在t0=ta时的状态为
左乘以
得
以X NC中任意一个状态向量xNC的转置左乘上式两边，得
考虑到x(ta)=0， xTNCxC ＝0的事实，则有第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质上式对一切的xC X C都成立，由于u(τ)是任意的，它不一定是零向量，则上式成立时必有
再考虑以xNC X NC作为初始状态，但仍以原来的容许控制u(τ)为控制输入，则有
以及
以xNC的转置左乘上式两边，得
当t=ta时,且考虑式(3-2-6)，则有
这表明以xNC X NC为初始状态，无论怎样选择u(τ)都不能使状态到零，因此不满足性质1的条件，因此xNC是不能控状态。考虑到xNC是X NC中的任意元素，因此X NC是X 的不能控子空间。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质基于以上讨论，有下面一些有关能控性的定理。
定理3-2-1：状态变量x是系统(A(t)，B(t)，C(t))的不能控状态的充分必要条件是
证明：（必要性）由任意的容许控制u(τ)可以定义一个能控状态
现设状态是不能控的，则一定有
上式对所有的xC XC [t0, ta]都成立，考虑u(τ)的任意性，必有
故必要性得证。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质证明：（充分性）若式(3-2-8)成立，则对任意的容许控制u(τ)一定有
而根据这些任意容许控制可以得到与之相对应的能控状态
以xT左乘等式两边，得
故有x xC ，即x X NC是不能控状态，充分性得证，证毕。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质定理3-2-2：状态变量x是不能控得充分必要条件是
其中
证明：（必要性）设x是不能控状态，则由定理3-2-1有
则有
考虑到x是任意给定得不能控状态，即是一个确定的向量，因此
即 故必要条件成立。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质（充分性）设有
则
也成立，且可写成
其中 为m维列向量。考虑到hTh≥0，而它的积分等于零，因此只有h≡0，即有
满足定理3-2-1，故x是不能控状态，定理的充分条件得证。
证毕。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质定理3-2-3：系统(A(t), B(t), C(t))是在[t0, ta]上完全能控的充分必要条件是矩阵Φ(t0, τ )B(τ)是行线性独立的，其中τ [t0, ta]。
证明：（充分性）设Φ(t0, τ )B(τ)，τ [t0, ta]行线性独立，用反证法设系统在[t0, ta]上不是完全能控的，则由定理3-2-1，一定存在非零向量xNC X NC满足
这是一个关于变量xNC的线性齐次方程组，它若有非零解，其系数矩阵Φ(t0, τ )B(τ)必须是降秩的，即行线性相关。这与它是行线性独立的原假设条件相矛盾，故原反设不能成立。即在[t0, ta]上不存在非零的不能控状态xNC 。或者说系统的不能控子空间X NC是零空间。因此系统在[t0, ta]上是完全能控的，充分条件成立。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质证明：（必要性）设系统在[t0, ta]上完全能控，反设矩阵Φ(t0, τ )B(τ)是行线性相关的，则一定存在向量x使
根据定理3-2-1，x是不能控状态，即系统在[t0, ta]上不是完全能控的。这与系统是完全能控的假设相矛盾，故反设不能成立。而矩阵Φ(t0, τ )B(τ)应是行线性独立的，必要条件得证。证毕。
此外，由转移矩阵的传递特性有
Φ(ta, τ )B(τ)＝Φ(ta, t0)Φ(t0, τ )B(τ)
由于有det Φ(ta, t0)0，则当Φ(t0, τ )B(τ)是行线性独立时， Φ(ta, τ )B(τ)一定也是行线性独立。因此可将定理3-2-3的充分必要条件用
Φ(ta, τ )B(τ)
是行线性独立来代替。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质定理3-2-4：系统(A(t), B(t), C(t))是在[t0, ta]上完全能控的充分必要条件是下面矩阵满秩
这个定理可以由定理3-2-2直接推得。定理3-2-2指出，当x为不能控状态时，其充分必要条件是
显然当n×n矩阵QC[t0, ta]满秩时，满足上述齐次方程组的x只有零向量，即系统的不能控子空间X NC是零空间。因此系统在[t0, ta]上是完全能控的，定理得证。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质定理3-2-5：设系统(A(t), B(t), C(t))的和在[t0, ta]上分别是n－2和n－1次连续可微，且记
则当矩阵P(t)=[B1, B2, …, Bn]在t=ta上满秩时，系统(A(t), B(t), C(t))在[t0, ta]上是完全能控的。
证明：此定理给出了系统完全能控的充分条件，现用反证法证明。设P(t)在t=ta时是满秩的，但假定系统(A(t), B(t), C(t)) 在[t0, ta]上不是完全能控的，则一定存在不能控的非零向量xNC满足
由于xNC是一个确定的向量，则将上式对t求导有，第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质（续上页）
现将Φ(ta, t)Φ(t, ta)=I 对 t 求导，有
由此得
代入式(3-2-11)得第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质（续上页）若对后一恒等式继续求导n－1次，可依次得到
考虑到t=ta时，Φ(ta, t)=I，则对以上各式可写成一般表达式
或
即
由于xNC是非零向量，则上式成立时P(ta)必须是降秩矩阵。这与P(ta)是满秩的题设相矛盾，故系统在[ta, t]上不是完全能控的原假定不能成立，而是完全能控的。证毕。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质由定理3-2-5可直接得到下面定理（定常）
定理3-2-6：系统(A，B，C)是完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
的秩等于系统的阶次n（行满秩）即
rank U = n
且称
为系统的能控性指数。
由于是定常系统，故A、B、C均为常数矩阵，所以只要令定理3-2-5中的 即可得到本定理。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质 定理3-2-7：系统(A，B，C)是完全能控的充分必要条件是当系统的特征值互异时，与对角形对应的控制矩阵（B）不存在全为零的行；当系统有重特征值时，与约当标准形的每个约当块对应的控制矩阵的每个分块，其最后一行的元素不为零。
只要注意到，对矩阵作线性非奇异变换，不改变它的秩这一点，就可以从定理3-2-6得到定理3-2-7。第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质最后讨论离散时间系统的能控性判别问题。线性定常系统
x[k+1]=Fx[k]+Gu[k] (3-2-21)
的解为
则从初始时刻算起，第n步的状态为
显然，对任意状态x[0]，若它是能控的，就一定存在控制序列{u[0], u[1], …, u[n-1]}使x[n]=0。这意味着线性方程组
第二节 能控性的性质第二节 能控性的性质这个方程组有n个方程，由于u[i], i=0, 1, …, n-1是m维向量，故有n×m个变量。因此使方程组有解，其系数矩阵的秩必须是n
rank [Fn-1G, Fn-2G, …, G]=n (3-2-25)
应指出，条件式(3-2-25)成立时，方程组的解不是唯一的，即存在一个以上的控制序列时x[n]=0。但是方程组的最小范数解是唯一的，且为
其中，U= [Fn-1G, Fn-2G, …, G]。而当m=1，即对单输入系统，条件式(3-2-25)成立时，方程组的解是唯一的。此时矩阵U满秩。
显然矩阵U就是能控性矩阵，因此定理3-2-6所给出的关于能控性的判别定理也适用于离散系统。类似地，定理3-2-7同样适用。
第三节 能观测性的性质第三节 能观测性的性质本节自学第四节 系统结构第四节 系统结构线性非奇异变换不改变系统所固有的内在性质。设系统(A, B, C)经非奇异变换后得到系统 ，则有
1。变换后的极点不变，即
2。变换后传递
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
（阵）不变，即
3。变换后的不变零点不变，即
4。变换后的能控性与能观测性不变，即第四节 系统结构第四节 系统结构在上述性质中，不变零点的定义为满足下式的复数s。
rank P(s) < n + min (m, p) (3-4-1)
其中
称为系统矩阵，n、m、p分别是变量x(t)、u(t)和y(t)的维数。显然，当m = p = 1时，有
即，对单输入单输出而言，不变零点就是系统的传递函数零点。第四节 系统结构第四节 系统结构一、能控性结构 首先考虑如下系统的能控性子空间X C的构成。
定理3-4-1：系统(A, B, C)的状态空间X 的能控子空间X C是由其能控性矩阵的列向量所张成的，即
X C ＝span {B, AB, A2B, …, An-1B} (3-4-5)
证明：由能控性的性质可知，对任意能控状态x0 XC ，一定存在ta (>0)和容许控制u(t) t [0, ta] ，满足
而根据Calay-Hamilton定理第四节 系统结构第四节 系统结构（续上页）则有
其中
是一个确定的向量。式(3-4-6)表明，这个任意的能控状态x0是B, AB, …, An-1B的线性组合，因此有
x0 span {B, AB, A2B, …, An-1B}
及 X C span {B, AB, A2B, …, An-1B} (3-4-7)
设子空间X C的维数d(X C)=nC，则在状态空间X 中一定可以找到nNC = n－nC个线性无关的向量vnC+1, …, vn与能控子空间X C中任意向量x0正交，即有（接下页）第四节 系统结构第四节 系统结构（续上页）
考虑到u(τ)的任意性，则上述积分等于0就一定有
对此式连续求导至(n－1)次，则得
且对τ [0, ta]成立，因此取τ ＝0时有（接下页） 第四节 系统结构第四节 系统结构（续上页）
这表明vi，i=nC+1, nC+2, …, n与[B, AB, …, An-1B]的每一个列都是正交的，而vi是状态空间X 中的(n－nC)个线性无关的列向量，由此得知，子空间span [B, AB, …, An-1B]的维数为nC ，即与能控子空间的维数相等，而式(3-4-7)给出能控子空间X C是包含在这个子空间中的，则一定有
X C ＝ span {B, AB, A2B, …, An-1B} (3-4-10)
即它是系统能控性矩阵U的像空间
X C ＝ ImU (3-4-11) 定理得证。第四节 系统结构第四节 系统结构由这个定理可以看出，系统的状态空间的能控子空间维数等于该系统的能控性矩阵的秩。因此，rank U=n就成为系统(A, B, C)是完全能控的充分必要条件，从而给出了对定理3-2-6的证明。
当系统(A, B, C)不完全能控时，能控子空间的维数为rank U= nC 0)也应舍去。设最后保留下来的列向量为
显然，式(3-7-23)构成实现系统(3-7-22)的能控子空间的一组基向量。若再选出n’－n个与这组基向量线性无关的向量，如为
则式(3-7-24)的向量就是该实现系统不能控子空间的一组基向量。第七节 最小实现第七节 最小实现因此，式(3-7-23)和(3-7-24)合在一起就构成实现系统(3-7-22)的一组基向量，用这组基向量构成的坐标系对实现系统(3-7-22)进行变换，就完成对式(3-7-22)的能控性分解。无疑这个变换是
而变换矩阵T就是 T＝[S | M] (3-7-26) 其中
现令
则由T－1T＝I 有
由此得第七节 最小实现第七节 最小实现由于矩阵S是已知的，因此S的广义逆矩阵P可由下式求得
P＝(STS)－1ST (3-7-30)
这样就可以避免直接求变换矩阵T的逆矩阵。由于式(3-7-22)经式(3-7-25)的变换后，所得到的能控性分解的结构形式为
其中，x1(t)是式(3-7-22)的能控状态， x2(t)是其不能控状态。因此， x1(t)也就是G(s)的能控又能观实现，即最小实现的状态。由等价变换的关系可以得知有第七节 最小实现第七节 最小实现并由此得
A11＝PAS， B1＝PB， C1＝CS (3-7-31)
显然，这就是G(s)的最小实现，现将这一结果归纳为一个定理。
定理3-7-3：设式(3-7-22)是给定的传递函数矩阵G(s)的能观测性实现，则式(3-7-31)就是G(s)的最小实现，其中S和P矩阵分别由式(3-7-27)和(3-7-30)给出。
由对偶关系，可现求出的能控性实现，再对其做能观测性分解，也可得出的最小实现。
定理3-7-4：设式(3-7-22)是给定传递函数阵G(s)的一个能控性实现，则其最小实现为
其中，矩阵 由式(3-7-33)给出， 是 的左广义逆矩阵。
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